[일반물리학] 12. 만유인력 (1: 뉴턴의 만유인력법칙, 중력장)

만유인력 (1: 뉴턴의 만유인력법칙, 중력장)

뉴턴의 만유인력법칙(Newton's law of universal gravitional)에 의하면 우주의 모든 입자는 다른 두 입자의 질량의 곱에 비례하고 그들의 거리의 제곱에 반비례하는 힘으로 서로 잡아당긴다.

두 입자의 질량이 $m_{1}$과 $m_{2}$이고 거리가 $r$만큼 떨어져 있다면, 이 중력의 크기는 $$F_{g}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$$ 이다. 여기서 $G$는 만유인력상수이고 $G=6.673\times10^{-11}\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{Kg}^{2}$이다.

왼쪽 그림은 캐번디시의 장치라고 불리는 장치로 만유인력상수를 측정하는데 사용한다.

질량이 $M$인 두 개의 큰 공이 작은 공들에 다가가면 작은 공과 큰 공 사이에 작용하는 인력이 막대를 회전하게 하여 줄을 꼬이게 하고, 새로운 평형위치에 도달하게 한다. 회전각은 수직줄에 달려있는 거울에 반사된 빛의 방향변화를 측정함으로써 잴 수 있다.

위 식으로 주어지는 힘의 크기가 두 입자의 거리의 제곱에 반비례하기 때문에 역제곱법칙(inverse-square law)이라고도 한다.

입자 1이 입자 2에 작용하는 힘은 $$\vec{\mathrm{F}}_{12}=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\vec{\mathrm{r}}_{12}$$ ($\vec{\mathrm{r}}_{12}$와 $\vec{\mathrm{r}}_{21}$은 단위벡터이고 음(-)의 부호는 입자 2가 입자 1에 끌림을 나타낸다.)

이고 입자 2에 작용하는 힘은 입자 1을 향하고 뉴턴의 제 3법칙에 의해 $\vec{\mathrm{F}}_{12}=-\vec{\mathrm{F}}_{21}$이다.

중력은 두 물체에 어떤 물질이 끼어있든지 항상 작용하는 장힘(field force)이다. 이 힘은 입자사이의 거리의 제곱에 반비례하기 때문에 거리가 멀어지면 급속히 작아진다.

왼쪽 그림은 지구 표면에서 높이 $h$만큼 떠 있는 질량이 $m$인 물체를 나타낸 그림이다.

($M$은 지구의 질량) 질량이 $m$인 물체가 지구표면 근처에 있을 때, 이 물체에 작용하는 힘의 크기는$\displaystyle F_{g}=G\frac{Mm}{R^{2}}$이므로 이 물체의 중력가속도는 $$g=G\frac{M}{R^{2}}$$ 이다. 만약 질량이 $m$인 물체가 그림은 지구 표면에서 높이 $h$만큼 떠 있을 때, 이 물체에 작용하는 힘의 크기는 $\displaystyle F_{g}=G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}$이므로 이 물체의 중력가속도는 $$g=G\frac{M}{(R+h)^{2}}$$ 이다.

지구의 질량은 $M$이고 지구의 부피는 $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$이다.

그러면 지구의 밀도는 $$\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{gR^{2}}{G}\frac{3}{4\pi R^{3}}=\frac{3}{4}\frac{g}{\pi GR}$$ 이고

$g=9.8\text{m/s},\,G=6.67\times10^{-11}\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2},\,R=6.37\times10^{6}\text{m}$이므로 $\rho=5.51\times10^{3}\text{kg}/\text{m}^{3}$이다.

중력장(gravitational field)은 공간의 어느 곳에나 퍼져 있다. 중력장 $\vec{\mathrm{g}}$가 있는 곳에 질량 $m$인 물체가 놓여있으면 이 물체는 중력 $\vec{\mathrm{F}}=m\vec{\mathrm{g}}$를 받는다. 따라서 두 물체가 직접적으로 상호작용을 한다기 보다, 공간에 퍼져있는 장이 물체에 힘을 작용한다.

중력장 $\vec{\mathrm{g}}$는 $\displaystyle\vec{\mathrm{g}}=\frac{\vec{\mathrm{F}}_{g}}{m}$로 정의한다. 즉, 공간의 어느 지점에서 중력장은 그 점에 놓인 시험입자(test particle)에 작용하는 중력을 그 시험입자의 질량으로 나눈 것이다.

중력을 만들어내는 물체를 원천입자(source particle)이라고 한다. 원천입자의 대표적인 예는 지구이다.

지표면에서 질량이 $m$인 물체에 작용하는 중력은 지구중심을 향하고 크기가 $mg$이다.

물체에서 작용하는 중력의 크기는 $\displaystyle G\frac{M}{r^{2}}$이므로 지구 중심으로부터 거리 $r$만큼 떨어진 곳에서 중력장 $\vec{\mathrm{g}}$는 $$\vec{\mathrm{g}}=\frac{\vec{\mathrm{F}}_{g}}{m}=-G\frac{M}{r^{2}}\vec{\mathrm{r}}$$ 이다. 여기서 $\vec{\mathrm{r}}$은 지구로부터 지름방향으로 나가는 단위벡터이고, 음(-)의 부호는 장이 지구중심으로 향하는 것을 의미한다.

지표면의 작은 영역에서 아래로 향하는 중력장 $\vec{\mathrm{g}}$는 그림과 같이 거의 일정하다. 위 식은 지표면 바깥의 모든 점에서 성립하며, $r=R$(지구반지름)인 지표면에서 $\vec{\mathrm{g}}$의 크기는 $9.80\text{N}/\text{kg}(\text{m}/\text{s}^{2})$이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning