[일반물리학] 12. 만유인력 (2: 케플러의 법칙)

만유인력 (2: 케플러의 법칙)

케플러의 제 1법칙(Kepler's first law): 모든 행성은 태양을 한 초점에 놓는 타원궤도를 따라서 움직인다.

왼쪽 그림은 타원이다. 점 \(F_{1}\)과 \(F_{2}\)를 타원의 초점(Focus), \(a\)를 긴반지름, \(b\)를 짧은 반지름이라고 한다. 이때 \(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)이다.

장축(majoraxis)의 길이는 타원 위의 두 점을 지나며 중심을 지나는 가장 긴 길이인 \(2a\)이고

단축(minoraxis)의 길이는 타원 위의 두 점을 지나며 중심을 지나는 가장 짧은 길이인 \(2b\)이다.

타원이 얼마나 찌그러져 있는가를 나타내는 이심률(eccentricity)은 \(\displaystyle e=\frac{c}{a}\)이다.

\(e=0\)일 때, 원(\(c=0\)), \(0<e<1\)일 때, 타원, \(e=1\)일 때, 포물선, \(e>1\)일 때, 쌍곡선이다.

태양으로부터 가장 가까운 거리에 있는 점을 근일점이라 하고 가장 먼 거리에 있는 점을 원일점이라고 한다. 지구 주위를 공전하는 물체들에게는 이러한 점을 각각 근지점, 원지점이라고 한다.

케플러의 제 1법칙은 중력의 거리제곱에 반비례하는 성질의 결과이다.

케플러의 제 2법칙(Kepler's second law): 태양에서 행성까지를 잇는 반지름벡터는 같은시간 동안에 같은 넓이를 쓸고 지나간다.

질량이 \(M_{p}\)인 행성이 타원궤도로 태양주위를 돌고 있다. 행성을 하나의 계로 생각한다.

태양이 행성에 비해 훨씬 더 큰 질량을 가지고 있으면, 태양은 움직이지 않는다.(\(M_{s}\gg M_{p}\))

태양이 행성에 작용하는 중력은 중심력이며, 태양을 향하는 지름방향이다. 그러므로 이 중심력이 행성에 작용하도록 하는 토크는 \(\vec{\mathrm{F}}_{g}\)가 \(\vec{\mathrm{r}}\)과 평행하므로 \(\vec{0}\)이다.

외부에서 계에 작용하는 알짜토크의 합은 \(\displaystyle\sum{\vec{\tau}}=\frac{d\vec{\mathrm{L}}}{dt}\)(계의 각운동량의 변화율)이다. 그러므로 외부에서 행성에 작용하는 토크가 \(\vec{0}\)일 때, 각운동향은 변화가 없으며, 행성의 각운동량 \(\vec{\mathrm{L}}\)은 상수이다. 즉

$$\vec{\mathrm{L}}=\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{p}}=M_{p}\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{v}}=\text{constant}$$

시간간격 \(dt\)동안 위의 그림에서 반지름벡터 \(\vec{\mathrm{r}}\)은 면적 \(dA\)를 쓸고 지나가는데 이 면적은 벡터 \(\vec{\mathrm{r}}\)과 \(d\vec{\mathrm{r}}\)이 만든 평행사변형의 넓이 \(|\vec{\mathrm{r}}\times d\vec{\mathrm{r}}|\)의 절반이다. 시간간격 \(dt\)동안 행성이 지나간 거리는 \(d\vec{\mathrm{r}}=\vec{\mathrm{v}}dt\)이므로

$$dA=\frac{1}{2}|\vec{\mathrm{r}}\times d\vec{\mathrm{r}}|=\frac{1}{2}|\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{v}}dt|=\frac{L}{2M_{p}}dt\,\left(|\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{v}}|=\frac{|\vec{\mathrm{L}}|}{M_{p}}=\frac{L}{M_{p}}\right)$$

이고 따라서 면적속도는 \(\displaystyle\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2M_{p}}\)이다.

즉, 태양과 행성을 연결하는 반지름벡터는 동일한 시간에 동일한 넓이를 쓸고 지나간다.

(이 결론은 중력이 중심력이기 때문에 행성의 각운동량이 보존된다는 사실에 기인한다. 그러므로 이 법칙은 힘이 거리의 제곱에 반비례하든 아니든간에, 힘이 중심력이면 어떤 상황에서도 적용할 수 있다.)

케플러의 제 3법칙(Kepler's third law): 모든 행성의 공전주기의 제곱은 그 행성궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.(\(T^{2}=kr^{3}\))

왼쪽 그림은 질량이 \(M_{s}\)인 태양 주위를 원운동하는 질량 \(M_{p}\)인 행성을 나타낸 것이다.

행성이 원운동할 때, 행성의 구심가속도를 제공하는 것이 중력이므로

$$F_{g}=G\frac{M_{s}M_{p}}{r^{2}}=M_{p}a=M_{p}\frac{v^{2}}{r}$$

이다. 행성의 궤도속력은 주기가 \(T\)라면 \(\displaystyle v=\frac{2\pi r}{T}\)이므로 \(\displaystyle G\frac{M_{s}}{r^{2}}=\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^{2}\frac{1}{r}\)이고 \(\displaystyle T^{2}=\left(\frac{4\pi^{2}}{GM_{s}}\right)r^{3}\)이다.

지구주위를 도는 달 같은 위성의 궤도에 대해서 \(\displaystyle\frac{T^{2}}{r^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{GM_{E}}\)(\(M_{E}\)는 지구질량)이 되고 지구궤도 반지름을 말하는 천문단위(astronomical unit)는 \(\text{AU}\)이다.

또한 타원궤도일 때, \(r\)을 긴반지름 \(a\)로 꾼다. 즉, \(\displaystyle T^{2}=\left(\frac{4\pi^{2}}{GM_{s}}\right)a^{3}\).

아래의 표는 태양계 행성들의 질량, 반지름, 회전주기, 태양으로부터의 거리, 케플러 제 3법칙에 따른 비례상수값 이다.

케플러의 제 3법칙을 이용하여 태양의 질량 \(M_{s}\)를 구할 수 있다. 태양을 도는 지구의 공전주기가 \(3.156\times10^{7}\text{s}\), 태양으로부터 지구까지의 거리가 \(1.496\times10^{11}\)이므로 케플러 제 3법칙으로부터

$$M_{s}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}=\frac{4\pi^{2}(1.496\times10^{11}\text{m})^{3}}{(6.67\times10^{-11}\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2})(3.156\times10^{7}\text{s})^{2}}=1,99\times10^{30}\text{kg}$$이다.

왼쪽 그림은 지구주위를 도는 인공위성을 나타낸 것이다. 이 인공위성이 받는 힘은 구심력 뿐이므로

$$F_{g}=G\frac{M_{E}m}{r^{2}}=ma=m\frac{v^{2}}{r}$$이므로

$$|\vec{\mathrm{v}}|=\sqrt{\frac{GM_{E}}{r}}=\sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}}$$이다.

이때 \(r\)을 케플러 제 3법칙을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

$$r=\left(\frac{GM_{E}T^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{\frac{1}{3}}$$

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning