[일반물리학] 13. 유체역학 (1: 압력과 부력)

유체역학 (1: 압력과 부력)

물질은 고체, 액체, 기체, 플라즈마(이온화) 상태로 분류할 수 있다. 유체(fluid)는 약한 응집력과 용기벽에 의해 작용하는 힘으로 결합된 무질서한 분자들의 집합이고 액체와 기체는 모두 유체이다.

다음은 정지유체의 세 가지 성질들이다.

(1) 유체가 용기벽에 작용하는 힘은 항상 그 벽에 수직이다.

(2) 밀폐된 용기속의 유체에 작용한 외부압력은 그대로 용기의 모든 부분에 전달된다.

(3) 유체 내부의 임의의 초점에서 모든 방향으로의 압력은 같다.

압력(pressure)은 단위면적당 힘의 크기로 정의한다. 즉 \(\displaystyle P=\frac{F}{A}\)이고 SI단위는 \(\text{N}/\text{m}^{2}=\text{Pa}\)(파스칼)이다(\(1\text{Pa}=1\text{N}/\text{m}^{2}\)).

압력은 스칼라량이고 압력이 면 위의 위치에 따라 다르면, 면적요소(또는 작은면적) \(dA\)에 작용하는 미소힘 \(dF\)는 \(dF=PdA\)이다\(\displaystyle\left(P=\frac{dF}{dA}\right)\).

물질의 밀도는 단위부피당 질량으로 정의된다. 즉 \(\displaystyle\rho=\frac{dm}{dV}\)

왼쪽 그림은 밀도가 \(\rho\)인 정지한 액체이고 이 액체 속에는 원통이 있다. 원통 밑부분(깊이가 \(d+h\))에 가해지는 압력은 \(P\), 윗부분(깊이가 \(d\))에 가해지는 압력은 \(P_{0}\)이고 이 액체의 밀도 \(\rho\)는 유체 내부에서 일정하다(압축할 수 없다). 액체의 질량을 \(M\)이라 하면, 원통이 평형상태에 있기 때문에 이 원통에 작용하는 알짜힘은 \(\vec{0}\)이다. 즉$$\sum{\vec{\mathrm{F}}}=PA\vec{j}-P_{0}A\vec{j}-Mg\vec{j}=\vec{0}$$이므로 \(PA-P_{0}A-\rho Ahg=0\)이고 \(P=P_{0}+\rho gh\)이다.

액체 내부에서 압력이 \(P_{0}\)인 위치로부터 길이가 \(h\)인 지점의 압력 \(P\)는 \(P_{0}\)보다 \(\rho gh\)만큼 크다. 만약 액체가 대기중에 노풀되어 \(P_{0}\)가 액체표면의 압력이라면 \(P_{0}\)의 값은 대기압이 된다.

(대기압: \(P_{0}=1.00\text{atm}=1.013\times10^{5}\text{Pa}\))

유체에 작용하는 압력의 변화는 유체 내의 각 점과 용기의 벽에 똑같이 전달된다. 이를 파스칼의 법칙(Pascal's law)이라 한다. 식으로 나타내면 다음과 같다.$$P=\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{F_{2}}{A_{2}}$$

단면적이 \(A_{1}\)인 작은 피스톤에 크기가 \(F_{1}\)인 힘 \(\vec{\mathrm{F}_{1}}\)을 가하면 압축되지 않는 액체를 통해 단면적이 \(A_{2}\)인 큰 피스톤에 압력이 전달된다. 양쪽의 압력이 같아야 하므로 \(\displaystyle P=\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{F_{2}}{A_{2}}\)가 성립한다.

면적 \(A_{1}\)과 \(A_{2}\)를 적당히 선택해서 작은 힘을 입력했을 때, 큰 힘이 출력되는 수압기를 제작할 수 있다. 유압브레이크, 자동차리프트, 유압 잭, 지게차 등이 이러한 원리(파스칼의 원리)를 이용한 것이다.

이 계에서는 액체가 추가되지 않고 감소하지 않으므로 왼쪽의 피스톨이 \(\Delta x_{1}\)만큼 아래로 움직일 때 내려간 액체의 부피와 오른쪽 피스톤이 \(\Delta x_{2}\)만큼 위로 움직일 때 상승한 액체의 부피가 같다. 즉 \(A_{1}\Delta x_{1}=A_{2}\Delta x_{2}\)이므로 \(\displaystyle\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{\Delta x_{2}}{\Delta x_{1}}\)이고 \(\displaystyle\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{\Delta x_{2}}{\Delta x_{1}}\)이다. 그러면 \(F_{1}\Delta x_{1}=F_{2}\Delta x_{2}\)이고 이 식의 양 변은 각각의 힘이 피스톤에 한 일에 해당한다.

따라서 힘 \(\vec{F_{1}}\)이 압력피스톤에 한 일과 힘 \(\vec{F_{2}}\) 가 출력피스톤에 한 일은 같으며, 이것은 에너지가 보존되어야 하기 때문이다.

왼쪽 그림에서 물이 높이 \(H\), 밑바닥의 폭이 \(w\)인 댐에 꽉 차있다. 밑바닥에서 높이 \(y\) 지점에서 댐에 가해지는 압력은 \(P=\rho gh=\rho g(H-y)\)이다(\(h\)는 수면에서 \(y\)지점까지의 깊이). 압력 \(P\)는 \(y\)의 값에 따라 변한다.

이때 왼쪽 그림에서 댐의 빨간색 부분의 넓이는 \(wdy\)이고 빨간색 부분에 가해지는 힘은 \(dF=PdA=\rho ghwdy=\rho gw(H-y)dy\)이다. 그렇다면 댐이 받는 힘은 다음과 같다.

$$F=\int{PdA}=\rho gw\int_{0}^{H}{(H-y)dy}=\frac{1}{2}\rho gwH^{2}$$

이때 수면에서의 압력은 \(P_{\text{top}}=0\)이고 밑바닥에서의 압력은 \(P_{\text{bottom}}=\rho gH\)이다. 그러면 평균압력은 \(\displaystyle P_{\text{avg}}=\frac{P_{\text{top}}+P_{\text{bottom}}}{2}=\frac{1}{2}\rho gwH\)이다. 댐에 물이 닿는 면적이 \(wH\)이므로 댐이 받는 힘은 \(\displaystyle F=P_{\text{avg}}A=\left(\frac{1}{2}\rho gwH\right)\times(wH)=\frac{1}{2}\rho gwH^{2}\)이고 이는 앞의 결과와 같다.

왼쪽 그림은 수은을 이용하여 대기압을 측정하는 수은기압계이다. 수은기둥때문에 생기는 점 A의 압력과 대기압에 의해 생기는 점 B의 압력은 같다(그렇지 않으면 압력차에 의한 알짜힘이 존재하게 되고, 수은이 한 쪽에서 다른 쪽으로 이동하여 결국은 평형상태에 이르게 될 것이다.)

따라서 대기압은 \(P=\rho_{\text{Hg}}gh\)(\(\rho_{Hg}\)는 수은의 밀도이고 \(h\)는 수은기둥의 높이)이다.

대기압이 변하면 수은기둥의 높이가 변하게 되고, 따라서 수은기둥의 높이로부터 대기압을 측정할 수 있게 된다.

대기압이 \(1\text{atm}=1.013\times10^{5}\text{Pa}\)인 경우, 수은기둥의 높이는 \(\displaystyle h=\frac{P_{0}}{\rho_{\text{Hg}}g}=\frac{1.013\times10^{5}\text{Pa}}{(13.6\times10^{3}\text{Kg/m}^{3})(9.80\text{m/s}^{2})}=0.760\text{m}\)이다.

1기압은 \(0^{\circ}\text{C}\)에서 수은기둥의 높이가 정확히 \(0.7600\text{m}\)에 해당하는 압력으로 정의한다.

평형상태에서는 점 A에서의 압력과 점 B에서의 압력이 같아야 한다(그렇지 않으면 구부러진 관 속의 액체는 알짜힘을 받아 움직이게 될 것이다). 점 A에서의 압력은 용기속 기체의 압력 \(P\)이다. 따라서 미지의 압력 \(P\)와 점 B에서의 압력이 같다고 놓으면 \(P=P_{0}+\rho gh\)임을 알 수 있다(\(\rho\)는 액체의 밀도). 여기서 \(P\)를 절대압력(absolute pressure), 압력차 \(P-P_{0}\)을 계기압력(gauge pressure)이라 한다. (자전거 타이어에서 측정하는 압력은 계기압력이다.)

유체에 잠긴 물체에 작용하여 위로 떠오르게 하는 힘을 부력(buoyant force)이라고 한다. 부력과 관련된 원리에는 아르키메데스 원리(Archimedes's principle)가 있는데 이는 "어떤 물체에 작용하는 부력은 그 물체에 의해 밀려난 유체의 무게와 같다" 이다.

왼쪽 그림은 유체 속에 있는 육면체를 나타낸 것이다. 육면체의 밑면에 작용하는 압력을 \(P_{\text{bot}}\), 윗면에 작용하는 압력을 \(P_{\text{top}}\), 유체의 밀도를 \(\rho_{\text{fluid}}\)라고 하면 \(P_{\text{bot}}=P_{\text{top}}+\rho_{\text{fluid}}gh\)이다.

육면체 밑면의 압력은 위로 향하는 힘을 만들고(\(P_{\text{bot}}A\)), 육면체 윗면의 압력은 아래로 향하는 힘을 만든다(\(P_{\text{top}}A\))(\(A\)는 육면체 밑면의 면적이다). 이 두가지 힘에 의해 나타나는 것이 부력 \(\vec{\mathrm{B}}\)이고 이 부력의 크기는 \(B=|\vec{\mathrm{B}}|=(P_{\text{bot}}-P_{\text{top}})A=(\rho_{\text{fluid}}gh)A(=F_{\text{bot}}-F_{\text{top}}=\rho_{\text{fluid}}g[(h+l)-l]A=\rho_{\text{fluid}}ghA\))이다. 육면체에 의해 밀려난 유체의 부피가 \(V=Ah\)이고 질량이 \(\rho_{\text{fluid}}V\)일 때 육면체에 작용하는 부력은 \(B=\rho_{\text{fluid}}gV\)이다. 이때 \(B=Mg\)이고 \(Mg\)는 육면체에 의해 밀려난 유체의 무게이다. 이 결과는 아르키메데스의 원리와 같다.

경우 1: 완전히 잠겨있는 물체

(유체의 밀도: \(\rho_{\text{fluid}}\), 물체의 부피:\(V_{\text{obj}}\), 물체의 질량: \(M\), 물체의 밀도: \(\rho_{\text{obj}}\))

부력은 \(B=\rho_{\text{fluid}}gV_{\text{obj}}\), 물체의 무게는 \(F_{g}=Mg=\rho_{\text{obj}}gV_{\text{obj}}\)이므로, 물체에 작용하는 알짜힘은 \(B-F_{g}=(\rho_{\text{fluid}}-\rho_{\text{obj}})gV_{\text{obj}}\)이다.

(\(\rho_{\text{fluid}}>\rho_{\text{obj}}\): 위로 가속, \(\rho_{\text{fluid}}=\rho_{\text{obj}}\): 평형상태(알짜힘이 \(\vec{0}\)), \(\rho_{\text{fluid}}<\rho_{\text{obj}}\): 가라앉음)

이는 유체 속에 잠겨있는 물체의 운동방향은 물체의 유체와 유체의 밀도에 의해서만 결정됨을 나타낸다.

경우 2: 떠 있는 물체

(물체의 부피: \(V_{text{obj}}\), 물체의 밀도: \(\rho_{\text{obj}}<\rho_{\text{fluid}}\)(유체의 밀도))

물체는 일부만 물 속에 잠겨있다. 이 경우는 위쪽 방향의 부력이 아래방향의 중력과 같다(평형상태).

물체에 의해 밀려난 부피는 \(V_{\text{obj}}\), 부력의 크기는 \(|\vec{\mathrm{B}}|=B=\rho_{\text{fluid}}gV_{\text{fluid}}\), 물체의 무게는 \(|\vec{F}_{g}|=F_{g}=Mg=\rho_{\text{obj}}gV_{\text{obj}}\), \(F_{g}=B\)이므로 \(\rho_{\text{fluid}}gV_{\text{fluid}}=\rho_{\text{obj}}gV_{\text{obj}}\)이고 \(\rho_{\text{fluid}}V_{\text{fluid}}=\rho_{\text{obj}}V_{\text{obj}}\)이다. 이는 떠 있는 물체의 전체부피 중 유체표면 아래쪽의 부피가 차지하는 비율은 유체밀도에 대한 물의 밀도의 비율과 같음을 나타낸다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning