[일반물리학] 14. 단조화 운동 (1)

[일반물리학] 14. 단조화 운동 (1)

용수철이 늘어나거나 수축되어있지 않을 때, 물체는 계의 평형위치(equilibrium position)에 있게 되며 그 위치를 $x=0$(용수철의 원래길이)이라 한다.

물체와 연결된 용수철이 원래길이$0$에서 $x$만큼 늘어났을 때 물체가 받는 힘은 훅의 법칙에 의해 $F_{s}=-kx$이다. 용수철 힘 처럼 $F=-kx$형태로 나타나는 식을 갖는 힘을 복원력(restoring force)이라 한다. 복원력은 항상 평형위치($x=0$)를 향하고, 힘의 방향은 변위와 반대방향이다. 뉴턴의 운동 제 2법칙으로부터 복원력 $F=ma_{x}=-kx$의 가속도는 $\displaystyle a_{x}=-\frac{k}{m}x$이고 가속도가 물체의 변위에 비례하고 변위의 반대방향으로 운동함을 알 수 있다. 이러한 운동을 단조화 운동(simple harmonic motion)이라고 한다.

물체는 $x=\pm A$사이에서 진동한다. 물체와 바닥 사이의 마찰이 없으면 보존력만이 작용하므로 이 운동은 영원히 지속된다. 실제로 모든 계에는 마찰력이 존재하기 때문에 운동이 영원히 지속되지 않는다.

$x=\pm A$ 사이를 단조화 운동하는 입자의 가속도는 $\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x$이므로 $\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x$이고 여기서 $\displaystyle\omega^{2}=\frac{k}{m}$으로 나타내면 다음의 식을 얻는다. $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega^{2}x$$ 이 미분방정식의 해는 $x=A\cos(\omega t+\phi)$이고 여기서 $A$는 운동의 진폭(amplitude)이고 양(+)의 방향 또는 음(-)의 방향과 상관없이 평형점으로부터 입자의 최대거리를 나타내고, $\omega$는 각진동수(진동이 얼마나 빨리 행해지는지의 척도)이고 단위는 $\text{rad}/\text{s}$, $\phi$는 위상상수(phase constant)로 입자의 처음변위와 처음속도에 의해 결정된다. $(\omega t+\phi)$를 운동의 위상(phase)이라고 한다. $x=A\cos(\omega t+\phi)$식으로부터 다음이 성립한다. $$\frac{dx}{dt}=-\omega A\sin(\omega t+\phi),\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega^{2}A\cos(\omega t+\phi)=-\omega^{2}x$$

입자가 한번의 완전한 반복운동을 하는데 걸리는 시간을 주기(period)라 하고 식 $\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}$로 주어지는데 이 식은 식 $[\omega(t+T)+\phi]-(\omega t+\phi)=2\pi$에서 얻어진 식이다. 진동수(frequency)는 입자가 단위시간당 진동하는 횟수이고 주기의 역수이다. 즉 $\displaystyle f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$이고 단위는 $\text{Hz}$(헤르츠)이다. 이때 $$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T},\,T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\,f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\,\left(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\right)$$ 이 성립한다. 이 식에서 용수철이 뻣뻣할수록($k$값이 클 수록) 진동수는 커지게 되고, 입자의 질량이 증가할수록 진동수가 작아짐을 알 수 있다.

왼쪽의 그래프는 단조화 운동을 하는 입자의 변위, 속도, 가속도를 나타낸 그래프이다.

$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-\omega A\sin(\omega t+\phi),\,a=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega^{2}A\cos(\omega t+\phi)$이므로 속도 $v$의 극값은 $\pm\omega A$, 가속도 $a$의 극값은 $\pm\omega^{2}A$이다.

그러면 속도의 최댓값은 $\displaystyle v_{\text{max}}=\omega A=A\sqrt{\frac{k}{m}}$이고 가속도의 최댓값은 $\displaystyle a_{\text{max}}=\omega^{2}A=\frac{k}{m}A$이다.

또한 속도의 위상은 변위의 위상과 $\displaystyle\frac{\pi}{2}\text{rad}(90^{\circ})$만큼 차이가 나고 가속도의 위상은 변위의 위상과 $\pi\text{rad}(180^{\circ})$만큼 차이가 난다.

다음은 초기조건을 이용하여 변위 $x$를 결정하는 예제들이다.

$x(0)=A,\,v(0)=0$이므로 $x(0)=A\cos\phi=A$, $v(0)=-\omega A\sin\phi=0$이고 $\phi=0$이며 따라서 $x(t)=A\cos t$이다.

$x(0)=0,\,v(0)=v_{i}$이므로 $x(0)=A\cos\phi=0$, $v(0)=-\omega A\sin\phi=v_{i}$이고 $\displaystyle\phi=\pm\frac{\pi}{2}$, $\displaystyle A=\mp\frac{v_{i}}{\omega}$이며 이때 $A>0,\,v_{i}>0$이므로 $\displaystyle\phi=-\frac{\pi}{2}$이고 따라서 $\displaystyle x(t)=\frac{v_{i}}{\omega}\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{v_{i}}{\omega}\sin\omega t$이다.

단조화 운동을 하는 물체의 지면 사이에 마찰이 없다고 하자. 그러면 계는 고립된 상태에 있고 전체 역학적에너지는 일정하며 진폭은 $x=A\cos(\omega t+\phi)$이다. 이때 블록의 운동에너지는 $$K=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\sin^{2}(\omega t+\phi)=\frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}(\omega t+\phi)$$ 이고 $x$만큼 늘어난 용수철에 저장된 탄성위치에너지는 $$U=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t+\phi)$$ 이므로 단조화진동의 전체에너지는 $$E=K+U=\frac{1}{2}kA^{2}[\sin^{2}(\omega t+\phi)+\cos^{2}(\omega t+\phi)]=\frac{1}{2}kA^{2}$$ 이다. 이는 단조화진동자의 전체 역학적에너지는 일정하고 진폭의 제곱에 비례함을 보여준다.

다음은 변위, 시간에 대한 운동에너지와 위치에너지를 그래프로 나타낸 것이다($\phi=0$).

다음은 한번의 완전한 운동주기동안 블록-용수철 계의 위치, 속도, 가속도, 운동에너지, 위치에너지를 나타낸 것이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning