[일반물리학] 14. 단조화 운동 (1)

[일반물리학] 14. 단조화 운동 (1)

용수철이 늘어나거나 수축되어있지 않을 때, 물체는 계의 평형위치(equilibrium position)에 있게 되며 그 위치를 \(x=0\)(용수철의 원래길이)이라 한다.

물체와 연결된 용수철이 원래길이\(0\)에서 \(x\)만큼 늘어났을 때 물체가 받는 힘은 훅의 법칙에 의해 \(F_{s}=-kx\)이다. 용수철 힘 처럼 \(F=-kx\)형태로 나타나는 식을 갖는 힘을 복원력(restoring force)이라 한다. 복원력은 항상 평형위치(\(x=0\))를 향하고, 힘의 방향은 변위와 반대방향이다. 뉴턴의 운동 제 2법칙으로부터 복원력 \(F=ma_{x}=-kx\)의 가속도는 \(\displaystyle a_{x}=-\frac{k}{m}x\)이고 가속도가 물체의 변위에 비례하고 변위의 반대방향으로 운동함을 알 수 있다. 이러한 운동을 단조화 운동(simple harmonic motion)이라고 한다.

물체는 \(x=\pm A\)사이에서 진동한다. 물체와 바닥 사이의 마찰이 없으면 보존력만이 작용하므로 이 운동은 영원히 지속된다. 실제로 모든 계에는 마찰력이 존재하기 때문에 운동이 영원히 지속되지 않는다.

\(x=\pm A\) 사이를 단조화 운동하는 입자의 가속도는 \(\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x\)이므로 \(\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x\)이고 여기서 \(\displaystyle\omega^{2}=\frac{k}{m}\)으로 나타내면 다음의 식을 얻는다.$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega^{2}x$$이 미분방정식의 해는 \(x=A\cos(\omega t+\phi)\)이고 여기서 \(A\)는 운동의 진폭(amplitude)이고 양(+)의 방향 또는 음(-)의 방향과 상관없이 평형점으로부터 입자의 최대거리를 나타내고, \(\omega\)는 각진동수(진동이 얼마나 빨리 행해지는지의 척도)이고 단위는 \(\text{rad}/\text{s}\), \(\phi\)는 위상상수(phase constant)로 입자의 처음변위와 처음속도에 의해 결정된다. \((\omega t+\phi)\)를 운동의 위상(phase)이라고 한다. \(x=A\cos(\omega t+\phi)\)식으로부터 다음이 성립한다.$$\frac{dx}{dt}=-\omega A\sin(\omega t+\phi),\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega^{2}A\cos(\omega t+\phi)=-\omega^{2}x$$

입자가 한번의 완전한 반복운동을 하는데 걸리는 시간을 주기(period)라 하고 식 \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}\)로 주어지는데 이 식은 식 \([\omega(t+T)+\phi]-(\omega t+\phi)=2\pi\)에서 얻어진 식이다. 진동수(frequency)는 입자가 단위시간당 진동하는 횟수이고 주기의 역수이다. 즉 \(\displaystyle f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}\)이고 단위는 \(\text{Hz}\)(헤르츠)이다. 이때$$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T},\,T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\,f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\,\left(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\right)$$이 성립한다. 이 식에서 용수철이 뻣뻣할수록(\(k\)값이 클 수록) 진동수는 커지게 되고, 입자의 질량이 증가할수록 진동수가 작아짐을 알 수 있다.

왼쪽의 그래프는 단조화 운동을 하는 입자의 변위, 속도, 가속도를 나타낸 그래프이다.

\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=-\omega A\sin(\omega t+\phi),\,a=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega^{2}A\cos(\omega t+\phi)\)이므로 속도 \(v\)의 극값은 \(\pm\omega A\), 가속도 \(a\)의 극값은 \(\pm\omega^{2}A\)이다.

그러면 속도의 최댓값은 \(\displaystyle v_{\text{max}}=\omega A=A\sqrt{\frac{k}{m}}\)이고 가속도의 최댓값은 \(\displaystyle a_{\text{max}}=\omega^{2}A=\frac{k}{m}A\)이다.

또한 속도의 위상은 변위의 위상과 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\text{rad}(90^{\circ})\)만큼 차이가 나고 가속도의 위상은 변위의 위상과 \(\pi\text{rad}(180^{\circ})\)만큼 차이가 난다.

다음은 초기조건을 이용하여 변위 \(x\)를 결정하는 예제들이다.

\(x(0)=A,\,v(0)=0\)이므로 \(x(0)=A\cos\phi=A\), \(v(0)=-\omega A\sin\phi=0\)이고 \(\phi=0\)이며 따라서 \(x(t)=A\cos t\)이다.

\(x(0)=0,\,v(0)=v_{i}\)이므로 \(x(0)=A\cos\phi=0\), \(v(0)=-\omega A\sin\phi=v_{i}\)이고 \(\displaystyle\phi=\pm\frac{\pi}{2}\), \(\displaystyle A=\mp\frac{v_{i}}{\omega}\)이며 이때 \(A>0,\,v_{i}>0\)이므로 \(\displaystyle\phi=-\frac{\pi}{2}\)이고 따라서 \(\displaystyle x(t)=\frac{v_{i}}{\omega}\cos\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{v_{i}}{\omega}\sin\omega t\)이다.

단조화 운동을 하는 물체의 지면 사이에 마찰이 없다고 하자. 그러면 계는 고립된 상태에 있고 전체 역학적에너지는 일정하며 진폭은 \(x=A\cos(\omega t+\phi)\)이다. 이때 블록의 운동에너지는$$K=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\sin^{2}(\omega t+\phi)=\frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}(\omega t+\phi)$$이고 \(x\)만큼 늘어난 용수철에 저장된 탄성위치에너지는$$U=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t+\phi)$$이므로 단조화진동의 전체에너지는$$E=K+U=\frac{1}{2}kA^{2}[\sin^{2}(\omega t+\phi)+\cos^{2}(\omega t+\phi)]=\frac{1}{2}kA^{2}$$이다. 이는 단조화진동자의 전체 역학적에너지는 일정하고 진폭의 제곱에 비례함을 보여준다.

다음은 변위, 시간에 대한 운동에너지와 위치에너지를 그래프로 나타낸 것이다(\(\phi=0\)).

다음은 한번의 완전한 운동주기동안 블록-용수철 계의 위치, 속도, 가속도, 운동에너지, 위치에너지를 나타낸 것이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning