[일반물리학] 12. 만유인력 (3: 중력위치에너지)

만유인력 (3: 중력위치에너지)

질량이 $m$인 물체가 지구로부터 받는 중력의 크기는 $\displaystyle F(r)=-G\frac{M_{E}m}{r^{2}}$이다. 여기서 음의 부호(-)는 힘이 인력임을 나타낸다. 이때 물체가 지구중심으로부터의 거리가 $r_{i}$인 A위치에서 거리가 $r_{f}$인 B위치로 이동할 때의 위치에너지 변화는 $\displaystyle\Delta U=U_{f}-U_{i}=-\int_{r_{i}}^{r_{f}}{F(r)dr}$이다. 위치에너지의 변화는 처음과 나중의 지구중심으로부터의 거리에만 의존한다.

$$U_{f}-U_{i}=-\int_{r_{i}}^{r_{f}}{F(r)dr}=GM_{E}m\int_{r_{i}}^{r_{f}}{\frac{1}{r^{2}}dr}=-GM_{E}m\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right)$$ 이므로 위치에너지의 기준이 계의 형태(배치)는 임의로 선택할 수 있다.

$r_{i}=\infty$에서 $U_{i}=0$으로 하면 지구 중심으로부터의 거리가 $r$일 때의 중력위치에너지(Gravitational potential energy)는

$$U(r)=-G\frac{M_{E}m}{r}$$ 이고 $r\geq R_{E}$일 때 성립한다. 이 식은 어떤 두 입자간에도 적용할 수 있다. 예를 들어 질량이 $m_{1}$, $m_{2}$인 물체 사이의 거리가 $r$일 때 이 두 입자계가 갖는 중력위치에너지는 $\displaystyle U=-G\frac{m_{1}m_{2}}{r}$이다.

힘이 인력이고 입자사이의 거리가 무한대일 때 위치에너지를 $0$으로 했기 때문에 위치에너지는 음(-) 이다. 둘 사이에 작용하는 힘이 인력이기 때문에 둘 사이의 거리를 멀리하기 위해서 외부에서는 양(+)의 일을 해야 한다. 두 입자가 멀어지면서 외부에서 한 일은 위치에너지를 증가시킨다. 즉, $r$이 증가하면서 $U$의 값은 증가한다.

서로 거리 $r$만큼 떨어져 있고 질량이 각각 $m_{1},\,m_{2}$인 정지해 있는 두 입자를 무한히 먼 곳으로 떨어뜨려놓기 위해서는 외부에서 적어도 $\displaystyle G\frac{m_{1}m_{2}}{r}$만큼의 일을 해야 한다. 이는 위치에너지의 절댓값이 결합에너지와 같음을 뜻한다.

(만일 외부에서 계의 결합에너지보다 더 큰 에너지를 공급하면 입자들이 서로 무한히 멀리 떨어지게 되고 남는 에너지는 계의 입자들의 운동에너지 형태로 바뀌게 된다.)

이러한 계의 개념을 세 개 이상의 입자들에도 적용할 수 있다. 이러한 경우, 계의 전체 위치에너지는 각 쌍의 위치에너지를 모두 더하면 된다. 즉

$$U_{\text{total}}=U_{12}+U_{23}+U_{31}=-G\left(\frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}}+\frac{m_{2}m_{3}}{r_{23}}+\frac{m_{1}m_{3}}{r_{31}}\right)$$

계의 역학적 에너지는 $E=K+U$이다. 이때 $\displaystyle K=\frac{1}{2}mv^{2},\,U=-G\frac{Mm}{r}$이므로

$$E=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{Mm}{r}$$

이다. 지구-태양계 처럼 속박된 궤도를 가진 계에서는 $r$이 무한대로 갈 때, $U$가 $0$으로 간다고 했기 때문에 $E$는 항상 $0$보다 작다.

이때 지구는 태양을 중심으로 하는 원운동을 하므로 $\displaystyle F_{g}=G\frac{Mm}{r^{2}}=ma=m\frac{v^{2}}{r}$이고 따라서 $\displaystyle K=\frac{1}{2}mv^{2}=G\frac{Mm}{2r}$이고 운동에너지는 양(+)의 값을 갖고 위치에너지의 절댓값의 절반임을 알 수 있다. 그러면 역학적에너지는

$$E=K+U=-G\frac{Mm}{2r}-G\frac{Mm}{r}=-G\frac{Mm}{2r}$$

이고 이 결과는 원형궤도의 전체 역학적에너지가 음(-)의 값을 가짐을 보여준다. 참고로 이 공식은 원운동 또는 타원운동을 하는 경우에만 사용할 수 있다. 긴 반지름이 $a$인 타원궤도로 운동할 경우에는 $E=-G\frac{Mm}{2a}$이다.

계가 고립되어 있으면, 전체 에너지는 일정하다. 즉 $\displaystyle E=\frac{1}{2}mv_{i}^{2}-G\frac{Mm}{r_{i}}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-G\frac{Mm}{r_{f}}$

이는 중력으로 인해 유한한 궤도를 가진 두 물체로 이루어진 계에서 전체 에너지와 전체 각운동량이 운동상수임을 보여준다.

임의의 위치에서 계의 전체에너지는 $\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{Mm}{r}$이다.

지표면에서 $v=v_{i},\,r=r_{i}=R_{E}$이고 물체가 최고 높이에 도달하면 $v=v_{f}=0,\,r=r_{f}=r_{\text{max}}$이다. 지구 계의 전체에너지는 보존되므로

$$\frac{1}{2}mv_{i}^{2}-G\frac{M_{E}m}{R_{E}}=-G\frac{M_{E}m}{r_{\text{max}}}$$

이고 $\displaystyle v_{i}^{2}=2GM_{E}\left(\frac{1}{R_{E}}-\frac{1}{r_{\text{max}}}\right)$이다. 최고높이 $h=r_{max}-R_{E}$가 주어지면, 이 식으로 처음속력을 구할 수 있다.

지구로부터 무한히 멀어지기 위해 지표면에서 물체가 가져야 하는 최소한의 속력을 탈출속력(escape speed)이라고 한다. 이 최소속력으로 출발하면 물체는 지구로부터 점점 멀어지면서($r_{\text{max}}\,\rightarrow\,\infty$) 속력은 $0$에 접근하게 된다. 즉 $r_{\text{max}}\,\rightarrow\,0$으로 놓고 $v_{i}=v_{\text{esc}}$라 하면 $\displaystyle E=\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2}-G\frac{M_{E}m}{R_{E}}=0$이므로 $\displaystyle v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM_{E}}{R_{E}}}$이다.

물체의 처음속력이 $v_{\text{esc}}$로 주어지면 계의 전체에너지는 $0$이다. $r\,\rightarrow\,\infty$일 때 물체의 운동에너지와 계의 위치에너지는 모두 $0$이다.

$v_{i}>v_{\text{esc}}$이면 전체 에너지는 $0$보다 크고 물체는 $r\,\rightarrow\,\infty$에서도 남는 운동에너지를 가진다.

질량이 $M$이고 반지름의 길이가 $R$인 행성의 표면에서 탈출속력은 $\displaystyle v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning