[일반물리학] 13. 유체역학 (2: 유체동역학)

[일반물리학] 13. 유체역학 (2: 유체동역학)

여기서 다뤄지는 유체는 운동하는 유체이다.

유체를 구성하는 각각의 입자(미소부피속의 유체, 분자 하나하나를 뜻하지 않음)가 매끄러운 경로를 따라 이동하여 다른 입자들의 경로와 교차되지 않는 경우의 유체의 흐름을 층흐름(laminar flow)이라 하고, 한 지점을 지나는 모든 유체입자의 속도가 일정한 정상류이다.

어떤 한계속력 이상에서 유체의 흐름은 난류(turbulence)가 된다. 난류는 작은 소용돌이로 대표되는 비정상류이다.

유체에서 내부마찰력(또는 점성력)의 크기를 나타내기 위해 점성도(viscosity)라는 용어를 사용한다. 유체 내부의 내부마찰력은 유체 내의 두 인접층이 서로 상대적으로 이동하기 위하여 생기는 저항과 관계된다.

아래 그림의 담배연기는 처음에 아래쪽에서 층흐름으로 움직이다가 위로 올라가서 난류가 된다.

이상유체(ideal fluid)는 다음의 네 가지 가정들을 만족한다.

1. 비점성유체(The fluid is nonviscous): 비점성유체에서는 내부마찰력을 무시한다. 물체는 점성력을 받지않고 유체를 통과한다.

2. 정상류(The fluid is steady): 정상류에서는 한 지점을 통과하는 모든 입자들의 속도가 같다.(일정)

3. 비압축성(The fluid is incompressible): 비압축성 유체의 밀도는 항상 일정하게 유지된다고 가정한다.

4. 비회전성흐름(The fluid is irrotational): 유체가 어느 한 점에 대해서도 각운동량을 갖고 있지 않다면, 유체의 흐름은 비회전성이다.

정상류에서 유체입자가 흘러가는 경로를 유선(streamline)이라 하고, 입자의 속도는 항상 유선의 접선방향이다. 유선들이 모여있는 형태를 흐름의 관(tube of flow)이라 한다. 유선은 서로 교차되지 않기 때문에 유체입자들은 이 관의 안쪽이나 바깥쪽으로 흐를 수 없다.

왼쪽 그림은 크기가 일정하지 않은 관으로 흐르는 이상유체를 나타낸 것이다. 층흐름일 때 유체속의 입자들은 유선을 따라 이동한다. 시간간격 \(\Delta t\)동안 아래쪽 끝에 있는 유체는 \(\Delta x=v_{1}\Delta t\)만큼 이동한다. 아래쪽 관의 단면적을 \(A_{1}\), 이상유체의 밀도를 \(\rho\)(일정)라 하면, 왼쪽 색칠된 부분의 질량은 \(m_{1}=\rho A_{1}\Delta x_{1}=\rho A_{1}v_{1}\Delta t\)이다. 갘은 방법으로 시간 \(\Delta t\)동안 관의 상단을 통해 이동하는 유체의 질량은 \(m_{2}=\rho A_{2}v_{2}\Delta t\)이다. 그러나 유체가 비압축성이고 흐름이 정상류이기 때문에 시간 \(\Delta t\)동안 단면적 \(A_{1}\)을 통과한 유체의 질량과 단면적 \(A_{2}\)를 통과한 유체의 질량은 같다. 즉 \(m_{1}=m_{2}\)이고 \(\rho A_{1}v_{1}=\rho A_{2}v_{2}\)이다. 이 식으로부터 $$A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}=일정$$ 이고 이 식을 유체의 연속방정식(equation of continuity for fluid)이라고 한다. 이는 비압축성 유체의 경우, 관의 모든 지점에서 유체의 속력과 단면적의 곱이 일정하다는 것을 의미한다.

부피/시간 의 차원을 갖는 곱 \(Av\)를 부피선속(volume flux) 또는 흐름률(flow rate)이라 한다.

(\(Av\)가 일정할 조건은 유체가 중간에 새나가지 않을 때, 동일한 시간동안 관 한쪽을 통해 들어오는 유체의 양과 흘러나가는 유체의 양이 같아야 한다.)

시간 \(\Delta t\)동안 유체가 작용한 힘들이 한 알짜일은 $$W=F_{1}\Delta x_{1}-F_{2}\Delta x_{2}=P_{1}A_{1}\Delta x_{1}-P_{2}A_{2}\Delta x_{2}=(P_{1}-P_{2})V$$이고 유체가 비압축성이므로 영역 1과 영역 2의 부피는 같다. 즉, \(V=A_{1}\Delta x_{1}=A_{2}\Delta x_{2}\). \(\Delta t\)시간 동안 관을 통과하는 유체의 운동에너지의 변화는$$\Delta K=\left(\frac{1}{2}mv_{2}^{2}+K_{\text{uns}}\right)-\left(\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+K_{\text{uns}}\right)=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}$$이다. 정상류에 대해서 생각하므로 음영없는 부분의 운동에너지 \(K_{\text{uns}}\)는 변하지 않고, 두 영역의 부피가 같으므로 질량도 같다. 음영없는 부분의 중력위치에너지 \(U_{\text{uns}}\)는 변하지 않으므로 중력위치에너지의 변화는$$\Delta U=(mgy_{2}+U_{\text{uns}})-(mgy_{1}+U_{\text{uns}})=mgy_{2}-mgy_{1}$$이다.

비보존력이 계에 한 알짜일은 계의 역학적에너지의 변화와 같으므로 \(W=\Delta K+\Delta U\)이다. 그러면

$$(P_{1}-P_{2})V=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+mgy_{2}-mgy_{1}$$이므로$$P_{1}-P_{2}=\frac{1}{2}\frac{m}{V}v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\frac{m}{V}v_{1}^{2}+\frac{m}{V}gy_{2}-\frac{m}{V}gy_{1}=\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho gy_{2}-\rho gy_{1}\,\left(\rho=\frac{m}{V}\right)$$이고 따라서$$P_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho gy_{1}=P_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho gy_{2}$$이다.

이 식은 이상유체에 적용되는 베르누이 방정식(Bernoull's equation)이다.$$P+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gy=일정$$(위 식은 비압축성 유체에 대해서 성립하지만, 속력과 압력 사잉의 관계는 기체에 대해서도 성립한다.)

이 식으로부터 유체의 속력이 증가하면, 유체의 압력이 줄어들고, 고도가 높아지면 압력이 낮아짐을 알 수 있다.

유체가 정지해 있을 때는 \(v_{1}=v_{2}=0\)이며, 이때 \(P_{1}-P_{2}=\rho g(y_{2}-y_{1})=\rho gh\)이다.

유체동역학의 응용

왼쪽 그림은 날개를 지나는 유체(공기)를 나타낸 것이다. 기류가 \(\vec{v}_{1}\) 의 속도로 오른쪽에서 수평으로 날개에 접근하고 경사진 날개는 기류를 \(\vec{v}_{2}\)의 속도로 아래방향으로 편향시킨다. 날개에 의해 편향되기 때문에 날개는 기류에 힘을 가하게 되고 뉴턴의 제 3법칙에 의해 기류는 크기가 같은 반대방향의 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)를 날개에 작용한다. 이 힘은 양력(lift)이라는 수직성분과, 끌림(drag: 항력, 저항력)이라는 수평성분을 갖는다.

날개의 곡률은 베르누이 방정식에 의해 날개 위쪽의 압력이 날개 아래쪽의 압력보다 낮게 만들어준다. 날개의 각이 증가하면 날개위에 난류가 발생하여 압력을 감소시킨다.

일반적으로 유체가 물체의 주위를 통과할 때 유체의 진행방향이 변하게 되어 물체에 양력을 미치게 된다. 양력에 영향을 주는 요인으로는 물체의 형태, 물체의 유체에 대한 방향, 회전운동 및 물체 표면의 상태 등이 있다.

왼쪽 그림은 회전하는 골프공을 나타낸 것이다. 회전하는 골프공은 위로 상승하는 힘을 받아 회전이 없는 골프공보다 더 멀리 날아간다.

(골프공 표면의 작은 홈 때문에 공기에 대한 마찰력이 증가하여 표면에 공기를 밀착시키는 효과를 준다. 밀착된 공기는 아래방향으로 편향되어 흐른다.)

왼쪽 그림에서 액체에 잠겨있는 관 위를 통과하는 공기의 흐름은 관 속에 있는 액체를 상승시켜 바깥으로 방출한다. 공기가 흐르면 압력이 감소해서 액체가 공기가 흐르는 곳으로 빨려 올라와 분산된다.

(많은 장치들이 유체의 속력차이에서 비롯되는 압력차를 이용한다. 예를 들자면 스포이드는 윗 부분을 눌러서 압력을 감소하게 해서 액체를 빨아들인다.)

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning