[일반물리학] 14. 단조화운동 (2: 단조화운동과 등속원운동과의 비교, 진자)

[일반물리학] 14. 단조화운동 (2: 단조화운동과 등속원운동과의 비교, 진자)

삼각형 \(OPQ\)로부터 \(\theta=\omega t+\phi\)이므로 \(x(t)=A\cos\theta=A\cos(\omega t+\phi)\) 이고 각속력 \(\omega\)는 단조화운동의 각진동수 \(\omega\)와 같다.

위의 그림을 보면 직선을 따라 일어나는 단조화 운동은 기준원의 지름을 반복하는 등속원운동의 그림자로 나타낼 수 있다.

이때 \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi),\,v_{x}(t)=-\omega A\sin(\omega t+\phi),\,a_{x}(t)=-\omega^{2}A\cos(\omega t+\phi)=-\omega^{2}x\)이다.

단진자(simple pendulum)

중력의 접선성분은 \(mg\sin\theta\)이고 항상 변위와 반대방향인 \(\theta=0\)쪽으로 작용한다. 그러므로 접선방향으로의 힘은 복원력이고 \(\displaystyle F_{t}=-mg\sin\theta=m\frac{d^{2}s}{dt^{2}}\)로 나타낼 수 있다. 여기서 \(s\)는 호를 따라 측정된 변위이고, 음(-)의 부호는 \(F_{t}\)가 평형위치 쪽으로 향한다는 것을 나타낸다.

\(s=L\theta\)이고 \(L\)이 일정하기 때문에 \(\displaystyle\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\frac{g}{L}\sin\theta\)이다.

\(\theta\)가 작으면 \(\displaystyle\sin\theta\approx\theta\)이므로 \(\displaystyle\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\frac{g}{L}\theta\)로 나타낼 수 있다. 즉, \(\theta\)가 작을 때 단조화운동으로 근사시킬 수 있다. 이때 미분방정식 \(\displaystyle\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\frac{g}{L}\theta\)의 해는 \(\theta(T)=\theta_{\max}\cos(\omega t+\phi)\)(\(\theta_{\max}\)는 최대 각변위)이고 각진동수는 \(\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}\), 이 운동의 주기는 \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{g}{L}}\)이다. 이는 단진자의 주기와 진동수는 줄의 길이와 중력가속도에만 의존함을 나타낸다.

물리진자(physical pendulum)

중력은 점 \(O\)를 지나는 축 주위에 대해 토크(돌림힘)가 생기도록 한다. 이때 점 \(O\)에 대한 토크의 크기는 \(mgd\sin\theta\)이고, \(I\)는 \(O\)를 지나는 축에 대한 관성모멘트이고, \(\displaystyle\sum{\tau}=I\alpha\)이므로 식 \(\displaystyle I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-mgd\sin\theta\)를 얻는다.

(음(-)의 부호는 그림에서 \(O\)에 대한 토크가 시계방향(\(\theta\)를 줄이는 방향)으로 작용한다는 것을 나타낸다. 즉, 중력은 복원토크를 만든다.)

\(\theta\)가 작으면 \(\sin\theta\approx\theta\)이므로 \(\displaystyle\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\left(\frac{mgd}{I}\right)\theta=-\omega^{2}\theta\)이다. 그러면 미분방정식 \(\displaystyle\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\frac{mgd}{I}\theta\)의 해는 \(\theta(t)=\theta_{\max}\cos(\omega t+\phi)\)(\(\theta_{\max}\)는 최대 각변위)이고 각진동수 \(\omega\)는 \(\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{mgd}{I}}\)이다.

그러면 주기는 \(T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}\)이다.

참고로 \(I=md^{2}\)(모든 질량이 질량중심에 집중되어 있을 때)일 때, 물리진자의 주기는 단진자의 주기와 같아진다.

비틀림진자(torsional pendulum)

강체가 어떤 작은 각 \(\theta\)로 비틀릴 때, 비틀린 철사는 각변위에 비례하는 복원토크를 강체에 작용한다. 즉 \(\tau=-\kappa\theta\)이다. (\(\kappa\)는 철사의 비틀림상수)이다. \(\displaystyle\sum{\tau}=I\alpha\)이므로 \(\displaystyle\tau=-\kappa\theta=I\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\)이고

\(\displaystyle\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\frac{\kappa}{I}\theta\)이다.

이 식은 각진동수가 \(\omega=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}\), 주기가 \(T=2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}\)인 단조화 진동자의 운동방정식이 된다. 이러한 계를 비틀림진자라고 한다. 이때 철사의 탄성한계를 초과하지 않으면 작은 각에 대한 제한이 없다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning