[일반물리학] 14. 단조화운동 (3: 감쇠진동)

[일반물리학] 14. 단조화운동 (3: 감쇠진동)

실제로 진동운동은 마찰력과 같은 비보존력의 존재로 인해 계의 역학적에너지는 시간이 지남에 따라 감소한다. 이러한 경우 운동이 감쇠된다고 한다.

저항력(resistive force)은 속력에 비례하며 운동방향과 반대쪽으로 작용한다.

저항력은 \(\vec{\mathrm{R}}=-b\vec{v}\)(\(b\)는 감쇠계수)로 나타내어진다. 계의 복원력은 \(-kx\)이므로

$$\sum{F_{x}}=-kx-bv_{x}=ma_{x}$$이고$$-kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$이다.

저항력이 최대 복원력에 비해 작을 때(\(b\)가 작을 때) 미분방정식 \(\displaystyle-kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\)의 해는 \(\displaystyle x=Ae^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\phi)\)의 형태가 되고, 여기서 진동의 각진동수는 \(\displaystyle\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\left(\frac{b}{2m}\right)^{2}}\)이다.

\(\displaystyle\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\)는 저항력이 없을 때(비감쇠 진동자)의 각진동수를 나타내고 이를 고유진동수(natural frequency)라고 한다. 그러면 \(\displaystyle\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\left(\frac{b}{2m}\right)^{2}}\)이다.

저항력이 복원력에 비례하여 작을 때 운동의 진동특성은 보존되지만, 진폭은 시간에 따라서 줄어들며 운동은 궁극적으로 멈추게 된다. 이런 식으로 움직이는 계를 감쇠진동자(damped oscillator)라고 한다. 진동의 진폭이 시간에 따라 지수함수적으로 감소한다.

왼쪽의 그림은 감쇠진동자에 대한 변위 대 시간의 그래프이다.

\(\displaystyle\frac{b}{2m}<\omega_{0}\)일 때 계는 저감쇠(under damped) (파란색 곡선)

\(\displaystyle\frac{b}{2m}=\omega_{0}\)일 때 계는 임계감쇠(critically damped) (빨간색 곡선)

\(\displaystyle\frac{b}{2m}>\omega_{0}\)일 때 계는 과감쇠(over damped) (검은색)

참고: 임계감쇠와 과감쇠인 계에 대해서는 각진동수 \(\omega\)가 없고 해로 \(\displaystyle x=Ae^{-\frac{b}{2m}t}\cos(\omega t+\phi)\)는 타당하지 않다(수학적으로 임계감쇠일 때 \(\omega=0\), 과감쇠일 때 \(\omega\)는 허수가 된다).

운동주기당 가해지는 에너지가 저항력에 의한 에너지손실과 정확히 같다면 운동의 진폭은 일정하게 유지된다.

강제진동의 예로 \(F(t)=F_{0}\sin\omega t\)가 있고 이는 주기적으로 변화는 외력에 의해 움직이는 감쇠진동자이다. \(\omega\)는 구동력의 각진동수이고 \(F_{0}\)은 상수이다. 구동력의 각진동수 \(\omega\)는 변수이고, 진동자의 고유진동수 \(\omega_{0}\)는 \(k\)와 \(m\)의 값에 의해 결정된다.

뉴턴의 운동 제 2법칙으로부터 \(\displaystyle\sum{F}=ma\)이므로$$F_{0}\sin\omega t-b\frac{dx}{dt}-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$$이고 이 미분방정식의 해는$$x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=\left[\frac{F_{0}m(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})}{m^{2}(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+b^{2}\omega^{2}}\sin\omega t-\frac{F_{0}b\omega}{m^{2}(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+b^{2}\omega^{2}}\cos\omega t\right]$$이다. 여기서 \(x_{h}(t)\)는 \(\displaystyle m\frac{dx^{2}}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0\)의 해이다.

충분한 시간이 경과한 후, 주기당 에너지 주입량이 저항력에 의한 에너지손실량과 같을 때, 계는 진동의 진폭이 일정하게 유지되는 정상상태의 조건에 도달한다, 이 경우에 \(\displaystyle F_{0}\sin\omega t-b\frac{dx}{dt}-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\)의 해는 \(\displaystyle x(t)=\frac{F_{0}}{\sqrt{m^{2}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+b^{2}\omega^{2}}}\cos(\omega t+\phi)\) 이고(\(t\,\rightarrow\,\infty\)일 때, \(x_{h}(t)\,\rightarrow\,0\)) \(\displaystyle\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\)은 비감쇠진동자(\(b=0\))의 고유 각진동수이다.

작은 감쇠에 대해 구동력의 진동수가 고유진동수와 비슷할 때 \((\omega\approx\omega_{0})\)일 때 진폭은 크게 된다.

고유진동수 \(\omega_{0}\)근처에서 진폭의 급격한 증가를 공명(resonance)이라고 하며 \(\omega_{0}\)를 계의 공명진동수(resonance frequency)라고 한다.

공명상태에서 가해진 힘은 소곧와 같은 위상에 있고 진동자에 전달된 일률은 최대가 된다.

실제로 어떤 형태로든지 감쇠가 항상 존재하기 때문에 진폭의 무한한 증가는 일어나지 않는다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning