[일반물리학] 11. 정적평형

정적평형

강체에 하나의 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)가 작용한다고 하자. 그 결과는 작용점 \(P\)의 위치에 따라 달라질 것이다. 점 \(O\)에서 점 \(P\)까지의 위치벡터를 \(\vec{\mathrm{r}}\)이라 하면, 점 \(P\)에 작용하는 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)에 의해 생긴 토크는 \(\vec{\tau}=\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{F}}\)이다. 

그림에서 \(\vec{\tau}\)의 방향은 그림의 면에서 나오는 쪽을 향한다. (오른손 법칙)

힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)가 작용하면 물체는 점 \(O\)를 지나는 축에 대하여 회전하며, 그 정도는 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 세기 뿐만 아니라 모멘트 팔 \(d\)에 따라 달라진다.(\(|\vec{\tau}|=|\vec{\mathrm{F}}|d\)) 강체에 작용하는 알짜토크는 각가속도를 일으키는 원인이 된다.(\(\displaystyle\sum{\tau}=I\alpha\))

이렇게 회전하는 강체의 각가속도가 \(0\)인 경우, 이러한 물체를 회전평형(rotational equilibrium) 상태에 있다고 한다. 회전평형에 관한 필요조건은 어떤 축에 대해서라도 알짜토크는 반드시 \(0\)이어야 한다는 것이다. 어떤 물체가 평형상태에 있으려면 다음 두 가지 필요조건을 만족해야 한다.

1. 물체에 작용하는 알짜 외력이 반드시 \(\vec{0}\)이어야 한다. 즉 \(\displaystyle\sum{\vec{\mathrm{F}}}=\vec{0}\) (병진평형, 선가속도=0)

2. 어떤 축에 관해서든 물체에 작용하는 알짜외부토크가 반드시 \(\vec{0}\)이어야 한다. 즉 \(\displaystyle\sum{\vec{\tau}}=\vec{0}\) (회전평형, 각가속도=0)

위의 조건은 평형상태에 있는 강체를 분석하는 모형을 기술하고 있다. 여기서 다루는 특별한 경우인 정적평형(static equilibrium)에서는 물체가 관측자에 대해 정지해 있어서 선속도나 가속도를 갖지 않는다.

왼쪽 그림은 여러개의 힘이 작용하여 그 합력이 \(\displaystyle\sum{\vec{\mathrm{F}}}=\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots=\vec{0}\)인 물체이다.

점 \(O\)를 관통하는 축에 대한 알짜토크는 \(\displaystyle\sum{\vec{\tau}_{O}}=\vec{\mathrm{r}_{1}}\times\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{r}_{2}}\times\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{r}_{3}}\times\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots\)이고

점 \(O'\)을 관통하는 축에 대한 알짜토크는

\(\displaystyle\begin{align*}\sum{\vec{\tau}_{O'}}&=(\vec{\mathrm{r}_{1}}-\vec{\mathrm{r'}})\times\vec{\mathrm{F}_{1}}+(\vec{\mathrm{r}_{2}}-\vec{\mathrm{r'}})\times\vec{\mathrm{F}_{2}}+(\vec{\mathrm{r}_{3}}-\vec{\mathrm{r'}})\times\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots\\&=\vec{\mathrm{r}_{1}}\times\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{r}_{2}}\times\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{r}_{3}}\times\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots-\vec{\mathrm{r'}}(\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots)\end{align*}\)

알짜힘이 \(\vec{0}\)이므로(\(\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots=\vec{0}\)) \(O'\)을 관통하는 축에 대한 토크는 \(O\)축에 대한 토크와 같음을 알 수 있다. 따라서 만일 어떤 물체가 병진평형상태에 있고, 하나의 축에 대한 알짜토크가 \(\vec{0}\)이면, 다른 어떠한 축에 대해서도 알짜토크는 반드시 \(\vec{0}\)이다.

한 물체의 모든 서로 다른 질량성분에 작용하는 서로 다른 중력의 모두는 무게중심(center of gravity)점에 작용하는 단 하나의 중력과 같다.

질량중심의 \(x\)좌표: \(\displaystyle x_{\text{CM}}=\frac{\sum_{i}{m_{i}x_{i}}}{\sum_{i}{m_{i}}}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+\cdots}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots}\)

(\(y\)성분을 정의하려면, 위 식에서 각각의 \(x\)성분을 \(y\)성분으로 바꾸면 된다.)

각가의 입자들에 작용하는 중력은 원점에 대한 토크를 주며, 토크의 크기는 입자의 무게(중력)에 모멘트 팔을 곱한 것과 같다. (예: 힘 \(m_{1}\vec{\mathrm{g}_{1}}\)에 의한 토크의 크기는 \(m_{1}g_{1}x_{1}\)이다. (\(\vec{\tau}_{1}=\vec{x_{1}}\times(m_{1}\vec{\mathrm{g}_{1}})\)))

\(M=m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots\)을 물체의 전체질량이라고 하면

\(Mg_{\text{CG}}x_{\text{CG}}=(m_{1}+m_{2}+\cdots)g_{\text{CG}}x_{\text{CG}}=m_{1}g_{1}x_{1}+m_{2}g_{2}x_{2}+\cdots\)

(개개의 입자에 작용하는 토크는 \(M\vec{\mathrm{g}_{\text{CG}}}\)가 작용하여 생기는 토크와 같다.)

무게 전반에 대하여 \(g\)(중력가속도)가 균일하면(\(g_{\text{CG}}=g_{1}=g_{2}=\cdots\))

\(\displaystyle x_{\text{CG}}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+\cdots}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots}\)

이다. 이는 \(\vec{\mathrm{g}}\)가 물체 전반에 대해 균일하면 무게중심의 위치는 질량중심의 위치와 같다는 것을 뜻한다.

계가 평형상태에 있으려면 알짜외력이 \(\vec{0}\)이어야 하며 알짜 외부토크 역시 \(\vec{0}\)이어야 한다.(계의 무게중심이 지지점 위에 있을 때)

왼쪽 그림의 시소는 질량이 \(M\)이고 길이가 \(l\)인 균일한 판자로 만들어져 있고 왼쪽에는 아버지가, 오른쪽에는 딸이 앉아있다.

수직항력의 크기를 \(n\)이라 하고 윗방향을 \(+y\)라 하면 \(n-m_{f}g-m_{d}g-Mg=0\)이므로 \(n=(m_{f}+M+m_{d})g\)이다.

계가 균형을 이루기 위한 아버지의 위치 \(d\)를 구하면 \(\displaystyle\sum{\tau}=0\)이어야 하므로 \(\displaystyle(m_{f}g)d-(m_{d}g)\frac{l}{2}=0\)이고 따라서 \(\displaystyle d=\left(\frac{m_{d}}{m_{f}}\right)\frac{1}{2}l\)이다.

회전축을 다른 곳에 둘 때 \(d\)식은 회전축과 무관하므로 \(d\)식은 일정하다.

만약 회전축이 아버지가 않은 자리에 있다고 하면 \(\displaystyle\sum{\tau}=0\)이므로 \(nd-Mgd-m_{d}g\left(d+\frac{l}{2}\right)=0\)이고 이때 \(n=(m_{f}+M+m_{d})g\)이므로 \(\displaystyle d=\left(\frac{m_{d}}{m_{f}}\right)\frac{1}{2}l\)이다. 즉, 회전축이 달라져도 \(d\)식은 일정하다.

수직 벽은 매끈하고(마찰이 없음) 사다리와 지면 사이의 정지마찰계수는 \(\mu_{s}=0.40\)이다.

지면에서 사다리를 받치는 힘은 수직항력 \(\vec{\mathrm{n}}\)과 정지마찰력 \(\vec{\mathrm{f}_{s}}\)의 벡터합이다. 이때 벽에는 마찰이 없으므로 벽이 사다리를 미는 반작용력 \(\vec{\mathrm{p}}\)는 수평으로만 작용한다. 사다리꼴이 미끄러지지 않은 최소각도를 \(\theta_{\min}\)이라고 하자.

\(\sum{F_{x}}=f_{s}-p=0,\,\sum{F_{y}}=n-mg=0\)이므로 \(p=f_{s},\,n=mg\)이고 최대정지마찰력이 \(f_{s,\,\max}=\mu_{s}n\)이므로 \(p=f_{s,\,\max}=\mu_{s}n=\mu_{s}mg\)이고 \(\displaystyle\sum{\tau_{O}}=Pl\sin\theta_{\min}-mg\frac{l}{2}\cos\theta_{\min}=0\)이다. 그러면 \(\displaystyle\frac{\sin\theta_{\min}}{\cos\theta_{\min}}=\tan\theta_{\min}=\frac{mg}{2p}=\frac{mg}{2\mu_{s}mg}=\frac{1}{2\mu_{s}}=1.25\)이고 따라서 \(\theta_{\min}=\tan^{-1}(1.25)=51^{\circ}\)이고 \(\theta\geq51^{\circ}\)일 때 사다리꼴이 미끄러지지 않는다. 사다리가 미끄러지기 시작하는 각도는 오직 마찰계수에만 의존하고 사다리의 길이나 질량과는 무관하다.

위의 왼쪽 그림은 휠체어의 큰 바퀴가 보도 경계턱을 굴러 올라가는 모습이다. 바퀴가 도로에서 막 올라서려는 순간, 점 \(B\)에서 땅이 바퀴에 작용하는 수직항력은 \(0\)이고 이 순간에는 오직 세 힘 \(\vec{\mathbb{R}},\,\vec{\mathrm{F}},\,m\vec{\mathrm{g}}\) 뿐이다.

힘 \(\vec{\mathrm{R}}\)은 지점 \(A\)에서 경계턱이 바퀴에 작용하는 힘이다. 따라서 회전축을 점 \(A\)가 지나도록 잡으면 토크방정식에서 힘 \(\vec{\mathrm{R}}\)을 포함시킬 필요가 없다.

점 \(A\)를 지나는 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 모멘트 팔은 \(2r-h\)이고 바퀴에 작용하는 중력 \(m\vec{\mathrm{g}}\)의 모멘트 팔은 \(d=\sqrt{r^{2}-(r-h)^{2}}=\sqrt{2rh-h^{2}}\)이다. \(\displaystyle\sum{\tau_{A}}=mgd-F(2r-h)=mg\sqrt{2rh-h^{2}}-F(2r-h)=0\)이므로 환자가 수평방향으로 작용해야 되는 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 크기는 \(\displaystyle F=\frac{mg\sqrt{2rh-h^{2}}}{2r-h}\)이다.

\(\vec{\mathrm{R}}\)의 크기 \(R\)을 구하면 \(\displaystyle\sum{F_{x}}=F-R\cos\theta=0,\,\sum{F_{y}}=R\sin\theta-mg=0\)이므로 \(\frac{R\sin\theta}{R\cos\theta}=\tan\theta=\frac{mg}{F}\)이고 \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{mg}{F}\right)\)이다. 따라서 \(R=\sqrt{F^{2}+(mg)^{2}}\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning