[일반물리학] 11. 정적평형

정적평형

강체에 하나의 힘 $\vec{\mathrm{F}}$가 작용한다고 하자. 그 결과는 작용점 $P$의 위치에 따라 달라질 것이다. 점 $O$에서 점 $P$까지의 위치벡터를 $\vec{\mathrm{r}}$이라 하면, 점 $P$에 작용하는 힘 $\vec{\mathrm{F}}$에 의해 생긴 토크는 $\vec{\tau}=\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{F}}$이다. 

그림에서 $\vec{\tau}$의 방향은 그림의 면에서 나오는 쪽을 향한다. (오른손 법칙)

힘 $\vec{\mathrm{F}}$가 작용하면 물체는 점 $O$를 지나는 축에 대하여 회전하며, 그 정도는 힘 $\vec{\mathrm{F}}$의 세기 뿐만 아니라 모멘트 팔 $d$에 따라 달라진다.($|\vec{\tau}|=|\vec{\mathrm{F}}|d$) 강체에 작용하는 알짜토크는 각가속도를 일으키는 원인이 된다.($\displaystyle\sum{\tau}=I\alpha$)

이렇게 회전하는 강체의 각가속도가 $0$인 경우, 이러한 물체를 회전평형(rotational equilibrium) 상태에 있다고 한다. 회전평형에 관한 필요조건은 어떤 축에 대해서라도 알짜토크는 반드시 $0$이어야 한다는 것이다. 어떤 물체가 평형상태에 있으려면 다음 두 가지 필요조건을 만족해야 한다.

1. 물체에 작용하는 알짜 외력이 반드시 $\vec{0}$이어야 한다. 즉 $\displaystyle\sum{\vec{\mathrm{F}}}=\vec{0}$ (병진평형, 선가속도=0)

2. 어떤 축에 관해서든 물체에 작용하는 알짜외부토크가 반드시 $\vec{0}$이어야 한다. 즉 $\displaystyle\sum{\vec{\tau}}=\vec{0}$ (회전평형, 각가속도=0)

위의 조건은 평형상태에 있는 강체를 분석하는 모형을 기술하고 있다. 여기서 다루는 특별한 경우인 정적평형(static equilibrium)에서는 물체가 관측자에 대해 정지해 있어서 선속도나 가속도를 갖지 않는다.

왼쪽 그림은 여러개의 힘이 작용하여 그 합력이 $\displaystyle\sum{\vec{\mathrm{F}}}=\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots=\vec{0}$인 물체이다.

점 $O$를 관통하는 축에 대한 알짜토크는 $\displaystyle\sum{\vec{\tau}_{O}}=\vec{\mathrm{r}_{1}}\times\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{r}_{2}}\times\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{r}_{3}}\times\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots$이고

점 $O'$을 관통하는 축에 대한 알짜토크는

$\displaystyle\begin{align*}\sum{\vec{\tau}_{O'}}&=(\vec{\mathrm{r}_{1}}-\vec{\mathrm{r'}})\times\vec{\mathrm{F}_{1}}+(\vec{\mathrm{r}_{2}}-\vec{\mathrm{r'}})\times\vec{\mathrm{F}_{2}}+(\vec{\mathrm{r}_{3}}-\vec{\mathrm{r'}})\times\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots\\&=\vec{\mathrm{r}_{1}}\times\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{r}_{2}}\times\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{r}_{3}}\times\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots-\vec{\mathrm{r'}}(\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots)\end{align*}$

알짜힘이 $\vec{0}$이므로($\vec{\mathrm{F}_{1}}+\vec{\mathrm{F}_{2}}+\vec{\mathrm{F}_{3}}+\cdots=\vec{0}$) $O'$을 관통하는 축에 대한 토크는 $O$축에 대한 토크와 같음을 알 수 있다. 따라서 만일 어떤 물체가 병진평형상태에 있고, 하나의 축에 대한 알짜토크가 $\vec{0}$이면, 다른 어떠한 축에 대해서도 알짜토크는 반드시 $\vec{0}$이다.

한 물체의 모든 서로 다른 질량성분에 작용하는 서로 다른 중력의 모두는 무게중심(center of gravity)점에 작용하는 단 하나의 중력과 같다.

질량중심의 $x$좌표: $\displaystyle x_{\text{CM}}=\frac{\sum_{i}{m_{i}x_{i}}}{\sum_{i}{m_{i}}}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+\cdots}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots}$

($y$성분을 정의하려면, 위 식에서 각각의 $x$성분을 $y$성분으로 바꾸면 된다.)

각가의 입자들에 작용하는 중력은 원점에 대한 토크를 주며, 토크의 크기는 입자의 무게(중력)에 모멘트 팔을 곱한 것과 같다. (예: 힘 $m_{1}\vec{\mathrm{g}_{1}}$에 의한 토크의 크기는 $m_{1}g_{1}x_{1}$이다. ($\vec{\tau}_{1}=\vec{x_{1}}\times(m_{1}\vec{\mathrm{g}_{1}})$))

$M=m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots$을 물체의 전체질량이라고 하면

$Mg_{\text{CG}}x_{\text{CG}}=(m_{1}+m_{2}+\cdots)g_{\text{CG}}x_{\text{CG}}=m_{1}g_{1}x_{1}+m_{2}g_{2}x_{2}+\cdots$

(개개의 입자에 작용하는 토크는 $M\vec{\mathrm{g}_{\text{CG}}}$가 작용하여 생기는 토크와 같다.)

무게 전반에 대하여 $g$(중력가속도)가 균일하면($g_{\text{CG}}=g_{1}=g_{2}=\cdots$)

$\displaystyle x_{\text{CG}}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+\cdots}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots}$

이다. 이는 $\vec{\mathrm{g}}$가 물체 전반에 대해 균일하면 무게중심의 위치는 질량중심의 위치와 같다는 것을 뜻한다.

계가 평형상태에 있으려면 알짜외력이 $\vec{0}$이어야 하며 알짜 외부토크 역시 $\vec{0}$이어야 한다.(계의 무게중심이 지지점 위에 있을 때)

왼쪽 그림의 시소는 질량이 $M$이고 길이가 $l$인 균일한 판자로 만들어져 있고 왼쪽에는 아버지가, 오른쪽에는 딸이 앉아있다.

수직항력의 크기를 $n$이라 하고 윗방향을 $+y$라 하면 $n-m_{f}g-m_{d}g-Mg=0$이므로 $n=(m_{f}+M+m_{d})g$이다.

계가 균형을 이루기 위한 아버지의 위치 $d$를 구하면 $\displaystyle\sum{\tau}=0$이어야 하므로 $\displaystyle(m_{f}g)d-(m_{d}g)\frac{l}{2}=0$이고 따라서 $\displaystyle d=\left(\frac{m_{d}}{m_{f}}\right)\frac{1}{2}l$이다.

회전축을 다른 곳에 둘 때 $d$식은 회전축과 무관하므로 $d$식은 일정하다.

만약 회전축이 아버지가 않은 자리에 있다고 하면 $\displaystyle\sum{\tau}=0$이므로 $nd-Mgd-m_{d}g\left(d+\frac{l}{2}\right)=0$이고 이때 $n=(m_{f}+M+m_{d})g$이므로 $\displaystyle d=\left(\frac{m_{d}}{m_{f}}\right)\frac{1}{2}l$이다. 즉, 회전축이 달라져도 $d$식은 일정하다.

수직 벽은 매끈하고(마찰이 없음) 사다리와 지면 사이의 정지마찰계수는 $\mu_{s}=0.40$이다.

지면에서 사다리를 받치는 힘은 수직항력 $\vec{\mathrm{n}}$과 정지마찰력 $\vec{\mathrm{f}_{s}}$의 벡터합이다. 이때 벽에는 마찰이 없으므로 벽이 사다리를 미는 반작용력 $\vec{\mathrm{p}}$는 수평으로만 작용한다. 사다리꼴이 미끄러지지 않은 최소각도를 $\theta_{\min}$이라고 하자.

$\sum{F_{x}}=f_{s}-p=0,\,\sum{F_{y}}=n-mg=0$이므로 $p=f_{s},\,n=mg$이고 최대정지마찰력이 $f_{s,\,\max}=\mu_{s}n$이므로 $p=f_{s,\,\max}=\mu_{s}n=\mu_{s}mg$이고 $\displaystyle\sum{\tau_{O}}=Pl\sin\theta_{\min}-mg\frac{l}{2}\cos\theta_{\min}=0$이다. 그러면 $\displaystyle\frac{\sin\theta_{\min}}{\cos\theta_{\min}}=\tan\theta_{\min}=\frac{mg}{2p}=\frac{mg}{2\mu_{s}mg}=\frac{1}{2\mu_{s}}=1.25$이고 따라서 $\theta_{\min}=\tan^{-1}(1.25)=51^{\circ}$이고 $\theta\geq51^{\circ}$일 때 사다리꼴이 미끄러지지 않는다. 사다리가 미끄러지기 시작하는 각도는 오직 마찰계수에만 의존하고 사다리의 길이나 질량과는 무관하다.

위의 왼쪽 그림은 휠체어의 큰 바퀴가 보도 경계턱을 굴러 올라가는 모습이다. 바퀴가 도로에서 막 올라서려는 순간, 점 $B$에서 땅이 바퀴에 작용하는 수직항력은 $0$이고 이 순간에는 오직 세 힘 $\vec{\mathbb{R}},\,\vec{\mathrm{F}},\,m\vec{\mathrm{g}}$ 뿐이다.

힘 $\vec{\mathrm{R}}$은 지점 $A$에서 경계턱이 바퀴에 작용하는 힘이다. 따라서 회전축을 점 $A$가 지나도록 잡으면 토크방정식에서 힘 $\vec{\mathrm{R}}$을 포함시킬 필요가 없다.

점 $A$를 지나는 힘 $\vec{\mathrm{F}}$의 모멘트 팔은 $2r-h$이고 바퀴에 작용하는 중력 $m\vec{\mathrm{g}}$의 모멘트 팔은 $d=\sqrt{r^{2}-(r-h)^{2}}=\sqrt{2rh-h^{2}}$이다. $\displaystyle\sum{\tau_{A}}=mgd-F(2r-h)=mg\sqrt{2rh-h^{2}}-F(2r-h)=0$이므로 환자가 수평방향으로 작용해야 되는 힘 $\vec{\mathrm{F}}$의 크기는 $\displaystyle F=\frac{mg\sqrt{2rh-h^{2}}}{2r-h}$이다.

$\vec{\mathrm{R}}$의 크기 $R$을 구하면 $\displaystyle\sum{F_{x}}=F-R\cos\theta=0,\,\sum{F_{y}}=R\sin\theta-mg=0$이므로 $\frac{R\sin\theta}{R\cos\theta}=\tan\theta=\frac{mg}{F}$이고 $\theta=\tan^{-1}\left(\frac{mg}{F}\right)$이다. 따라서 $R=\sqrt{F^{2}+(mg)^{2}}$이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning