[일반물리학] 9. 고정축에 대한 강체의 회전 (2: 관성모멘트, 평행축 정리)

고정축에 대한 강체의 회전 (2: 관성모멘트, 평행축 정리)

크기가 있는 강체의 관성모멘트는 그 물체가 각각 질량이 $\Delta m_{i}$인 많은 수의 작은 요소들로 이루어졌다고 가정하여 구할 수 있다. 식 $\displaystyle I=\sum_{i}{r_{i}^{2}\Delta m_{i}}$를 사용하고 이 합에 대해 $\Delta m_{i}\,\rightarrow\,0$일 때의 극한을 구한다. 이 극한에서 합은 물체의 부피에 대한 적분이 된다. $$I=\lim_{\Delta m_{i}\,\rightarrow\,0}{\sum_{i}{r_{i}^{2}\Delta m_{i}}}=\int{r^{2}dm}$$ 관성모멘트를 계산할 때, 질량요소($dm$) 보다 부피요소($dV$)를 사용하여 계산하는 것이 쉽기 때문에 밀도 $$\rho=\frac{m}{V}$$ ($\rho$: 밀도, $m$: 질량, $V$: 부피)

를 이용하여 바꿀 수 있다. 즉 $\rho=\frac{m}{V}$로부터 $\displaystyle dm=\rho dV\,\left(\rho=\frac{dm}{dV}\right)$가 되므로 $$I=\int{r^{2}dm}=\int{\rho r^{2}dV}$$ 물체가 균일하면 밀도 $\rho$는 일정하므로 알려진 기하학적 형태에 대해 그 적분값을 계산할 수 있다. $\rho$가 일정하지 않으면 위치에 대한 변화를 알아야 적분할 수 있다.

참고:

부피질량밀도 ($\rho=\frac{m}{V}$): 단위부피에 대한 질량을 표시

표면질량밀도 ($\sigma=\rho t$, $t$는 물체의 두께): 단위면적에 대한 질량을 표시

선질량밀도 ($\lambda=\rho A$, $A$는 물체의 단면적): 단위길이에 대한 질량을 표시

다음은 여러가지 모양의 균일한 강체의 관성모멘트이다.

굴렁쇠/얇은 실린더	가운데가 빈 실린더	속이 꽉 찬 실린더/디스크	사각형판
회전축이 중심을 지나는 길고 가는 막대	회전축이 끝을 지나는 길고 가는 막대	속이 꽉 찬 구	속이 빈 구 껍질

위 물체들에 대한 관성모멘트 공식유도:

굴렁쇠/얇은 실린더: 질량 $M$, 전체반지름 $R$

$$I_{\text{CM}}=\int{r^{2}dm}=R^{2}\int{dm}=MR^{2}$$ 이므로 $\displaystyle I_{\text{CM}}=MR^{2}$

가운데가 빈 실린더: 질량 $M$, 뚫린 부분의 반지름 $R_{1}$, 전체반지름 $R_{2}$, 밀도 $\rho$, 높이 $h$

전체질량이 $M=\rho\pi(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})h$이므로 $m=\rho\pi(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})h$라고 하면 $dm=2\rho\pi(r_{2}dr_{2}-r_{1}dr_{1})$이므로 $$\begin{align*}I_{\text{CM}}&=\int{r^{2}dm}=2\pi\rho h\int{r^{2}(r_{2}dr_{2}-r_{1}dr_{1})}=2\pi\rho h\left(\int_{0}^{R_{2}}{r_{2}^{3}dr_{2}}-\int_{0}^{R_{1}}{r_{1}^{3}dr_{1}}\right)=\frac{1}{2}\pi\rho h(R_{2}^{4}-R_{1}^{4})\\&=\frac{1}{2}\rho(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})\pi h(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})=\frac{1}{2}M(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})\end{align*}$$ 이고 따라서 $\displaystyle I_{\text{CM}}=\frac{1}{2}M(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})$

속이 꽉 찬 실린더/디스크: 질량 $M$, 전체반지름 $R$

단면적의 넓이는 $\pi R^{2}$이므로 $A=\pi r^{2}$라 하면 $dA=2\pi rdr$이고 두께가 균일하기 때문에 $\displaystyle\frac{M}{\pi R^{2}}=\frac{dm}{dA}$이다. 그러면 $$dm=\frac{M}{\pi R^{2}}dA=\frac{M}{\pi R^{2}}2\pi rdr=\frac{2M}{R^{2}}rdr$$ 이고 따라서 $$I_{\text{CM}}=\int{r^{2}dm}=\frac{2M}{R^{2}}\int_{0}^{R}{r^{3}dr}=\frac{1}{2}MR^{2}$$

사각형판: 질량 $M$, 전체 가로길이 $a$, 전체 세로길이 $b$, 면밀도 $\sigma$

사각형판의 가로길이를 $x$, 세로길이를 $y$라 하면 $M=\sigma ab$이므로 $$I_{\text{CM}}=\int{r^{2}dm}=\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}{\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}{(x^{2}+y^{2})dx}dy}=\frac{1}{12}\rho ab(a^{2}+b^{2})=\frac{1}{12}(a^{2}+b^{2})$$

회전축이 중심을 지나는 길고 가는 막대: 질량 $M$, 전체길이 $L$, 선밀도 $\lambda$

$\displaystyle\lambda=\frac{M}{L}$이므로 막대의 길이를 $x$라 하면 $dm=\lambda dx=\frac{M}{L}dx$이고 $r^{2}=x^{2}$이므로 $$I_{\text{CM}}=\int{r^{2}dm}=\frac{M}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}{x^{2}dx}=\frac{1}{12}ML^{2}$$

회전축이 끝을 지나는 길고 가는 막대: 질량 $M$, 전체길이 $L$, 선밀도 $\lambda$

$\displaystyle\lambda=\frac{M}{L}$이므로 막대의 길이를 $x$라 하면 $dm=\lambda dx=\frac{M}{L}dx$이고 $r^{2}=x^{2}$이므로 $$I_{\text{CM}}=\int{r^{2}dm}=\frac{M}{L}\int_{0}^{L}{x^{2}dx}=\frac{1}{3}ML^{2}$$

속이 꽉 찬 구: 질량 $M$, 전체반지름 $R$, 밀도 $\rho$

속이 꽉 찬 구의 관성모멘트는 디스크(구의 잘린 단면)들의 합으로 구한다.

구의 중심에서 잘린 단면적까지의 높이를 $l$이라 하면, $R^{2}=a^{2}+l^{2}$이므로 단면의 관성모멘트는 $I=\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}(R^{2}-l^{2})$이다. 그러면 $\displaystyle dI=\frac{1}{2}(R^{2}-l^{2})dm$이고 디스크 하나의 질량은 $m=\rho\pi a^{2}l=\rho\pi(R^{2}-l^{2})$l이므로 $dm=\rho\pi(R^{2}-l^{2})dl$이고 $$dI=\frac{1}{2}(R^{2}-l^{2})dm=\frac{1}{2}(R^{2}-l^{2})\rho\pi(R^{2}-l^{2})dl=\frac{1}{2}\rho\pi(R^{4}-2R^{2}l^{2}+l^{2})dl$$ 이다. 그러면 $$I_{\text{CM}}=\int{dI}=\frac{1}{2}\rho\pi\int_{-R}^{R}{(R^{4}-2R^{2}l^{2}+l^{4})dl}=\frac{8}{15}\rho\pi R^{5}=\left(\frac{4}{3}\rho\pi R^{3}\right)\frac{2}{5}R^{2}$$ 이고 $M=\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}$이므로 따라서 $\displaystyle I_{\text{CM}}=\frac{2}{5}MR^{2}$이다.

속이 빈 구 껍질: 질량 $M$, 전체반지름 $R$, 면밀도 $\sigma$

왼쪽 그림에서 색칠된 부분의 단면의 질량은 $dm=\sigma\cdot2\pi(R\cos\theta)(Rd\theta)$이고 $z=R\sin\theta,\,dz=R\cos\theta d\theta$이므로 $dm=2\pi R\sigma dz$이다. $r^{2}=R^{2}-z^{2}$이므로 $$I_{\text{CM}}=\int{r^{2}dm}=\int_{-R}^{R}{(R^{2}-z^{2})\sigma2\pi Rdz}=\frac{8}{3}\sigma\pi R^{4}$$ 이고 이때 $M=4\pi R^{2}\sigma$이므로 $$I_{\text{CM}}=\frac{2}{3}(4\pi R^{2}\sigma)R^{2}=\frac{2}{3}MR^{2}$$

평행축 정리(parallel-axis theorem)

질량중심을 지나며 그림면에 수직인 축에 대한 관성모멘트를 $I_{\text{CM}}$이라 하면 $z$축에 대한 관성모멘트는 $I_{z}=I_{\text{CM}}+MD^{2}$이다.

(평행축 정리 유도)

실린더의 관성모멘트는 그 길이에 관계없기 때문에, $z$축을 따라 질량이 어떻게 분포하고 있는지에 관계없다.(3차원 물체를 그림처럼 평평한 물체로 압축시킨다고 생각) 이러한 과정에서 모든 질량은 $xy$평면에 도달할 때 까지 $z$축에 나란하게 움직인다. 이제 물체의 질량중심의 좌표는 $(x_{\text{CM}},\,y_{\text{CM}},\,z_{\text{CM}})=(0,\,0,\,0)$이고 질량요소 $dm$의 좌표는 $(x,\,y,\,0)$이다.

$z$축으로부터 질량요소까지의 거리가 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$이기 때문에 $z$축에 대한 관성모멘트는 $\displaystyle I=\int{r^{2}dm}=\int{(x^{2}+y^{2})dm}$이다. 여기서 질량요소 $dm$의 좌표 $(x,\,y)$는 질량중심을 원점으로 하는 좌표계에서의 좌표 $x',\,y'$와 연관시킬 수 있다. 만약 $\mathrm{O}$를 중심으로 하는 원래의 좌표계에서 질량중심좌표가 $(x_{\text{CM}},\,y_{\text{CM}},\,z_{\text{CM}})=(0,\,0,\,0)$이면 그림에서 새로운 좌표계(primed)와 원래 좌표계(unprimed)의 좌표는 $x=x'+x_{\text{CM}},\,y=y'+y_{\text{CM}},\,z=z'+z_{\text{CM}}$의 관계가 있다. 따라서 $$I=\int{\left[(x'+x_{\text{CM}})^{2}+(y'+y_{\text{CM}})^{2}\right]dm}=\int{[(x')^{2}+(y')^{2}]dm}+2x_{\text{CM}}\int{x'dm}+2y_{\text{CM}}\int{y'dm}+(x_{\text{CM}}^{2}+y_{\text{CM}}^{2})\int{dm}$$ 이 된다.

$\displaystyle I_{\text{CM}}=\int{[(x')^{2}+(y')^{2}]dm}$은 $z$축과 평행하고 질량중심을 통과하는 축에 대한 관성모멘트이고 질량중심의 정의에 의해 $\displaystyle\int{x'dm}=\int{y'dm}=0$, $\int{dm}=M$, $D^{2}=x_{\text{CM}}^{2}+y_{\text{CM}}^{2}$이므로 따라서 $I=I_{\text{CM}}+MD^{2}$.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning