[편미분방정식] 8. 직교성과 일반 푸리에급수

[편미분방정식] 8. 직교성과 일반 푸리에급수

구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 실함수 \(f(x)\), \(g(x)\)의 내적(inner product)을 다음과 같이 정의한다.$$\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}$$\(\langle f,\,g\rangle=0\)이면 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 직교(orthogonal)한다고 한다. 예를들어 모든 고유함수들은 서로 다른 고유함수와 서로 직교한다. \(X_{1}(x)\)와 \(X_{2}(x)\)를 서로 다른 고유함수라고 하자. 그러면$$-X_{1}''=-\frac{d^{2}X_{1}}{dx^{2}}=\lambda_{1}X_{1},\,-X_{2}''=-\frac{d^{2}X_{2}}{dx^{2}}=\lambda_{2}X_{2}$$이고, 이 두 함수들은 경계조건을 만족한다. \(\lambda_{1}\neq\lambda_{2}\)라고 하자. 그러면 다음 등식이 성립하고$$-X_{1}''X_{2}+X_{1}X_{2}''=(-X_{1}'X_{2}+X_{1}X_{2})'$$다음의 그린의 제2 항등식(Green's second identity)을 얻는다.$$\int_{a}^{b}{(-X_{1}''X_{2}+X_{1}X_{2}'')dx}=\left[(-X_{1}'X_{2}+X_{1}X_{2}')\right]_{a}^{b}$$위의 적분식에서 좌변은 \(X_{1}\)과 \(X_{2}\)에 대한 미분방정식을 이용하고, 우변은 다음의 경계조건들을 이용한다.

1. 디리클레(Dirichlet): 두 고유함수 모두 양 끝에서 0이 된다. 즉$$X_{1}(a)=X_{1}(b)=X_{2}(a)=X_{2}(b)=0$$이므로 적분식의 우변은 0이다. 

2. 노이만(Neumann): 1계도함수가 0이므로 위의 적분식의 우변은 0이다. 

3. 주기(periodic): \(j=1,\,2\)라고 하면$$X_{j}(a)=X_{j}(b),\,X'_{j}(a)=X'_{j}(b)$$이므로 적분식의 우변은 0이다.

위의 3가지 경우로부터 위의 적분식은 다음과 같고,$$(\lambda_{1}-\lambda_{2})\int_{a}^{b}{X_{1}X_{2}dx}=0$$그러므로 \(X_{1}\)과 \(X_{2}\)는 직교한다. 

경계조건의 쌍들을 계획하자.$$\begin{align*}\alpha_{1}X(a)+\beta_{1}X(b)+\gamma_{1}X'(a)+\delta_{1}X'(b)&=0\\ \alpha_{2}X(a)+\beta_{2}X(b)+\gamma_{2}X'(a)+\delta_{2}X'(b)&=0\,(\text{#})\end{align*}$$여기의 상수 8개는 모두 실수이다. 이러한 경계조건들의 집합이 대칭(symmetric)이라는 것은 위의 조건 (#)을 만족하는 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 임의의 쌍에 대해 다음의 등식이 성립하는 것이다.$$\left[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\right]_{a}^{b}=0$$디리클레, 노이만, 주기 경계조건들은 대칭이다. 여기서부터 고유함수(eigenfunction)는 미분방정식 \(-X''=\lambda X\)의 해 중에서 조건 (#)을 만족하는 것들이다. 그린의 제2 항등식으로부터 다음의 정리가 성립한다.

정리 1. 대칭 경계조건 하에서 서로 다른 고유값에 대응되는 고유함수들은 서로 직교한다. 그러므로 임의의 함수가 고유함수들의 급수로 전개되면, 그 상수들을 결정할 수 있다.

증명: 고유값이 다른(\(\lambda_{1}\neq\lambda_{2}\)) 두 고유함수 \(X_{1}(x)\), \(X_{2}(x)\)에 대해 그린의 제2 항등식을 적용하면 다음과 같다.$$\int_{a}^{b}{(-X_{1}''X_{2}+X_{1}X_{2}'')dx}=\left[(-X_{1}'X_{2}+X_{1}X_{2}')\right]_{a}^{b}$$경계조건이 대칭이므로 위의 적분식의 우변은 0이 된다. 미분방정식으로부터 위의 식은 다음과 같게 되고$$(\lambda_{1}-\lambda_{2})\int_{a}^{b}{X_{1}X_{2}dx}=0$$따라서 직교성이 증명되었다. 

\(X_{n}(x)\)가 고유값 \(\lambda_{n}\)에 대한 고유함수이고$$\phi(x)=\sum_{n}{A_{n}X_{n}(x)}$$(\(A_{n}\)은 상수)가 수렴하는 급수이면, 직교성에 의해$$\langle\phi,\,X_{m}\rangle=\langle\sum_{n}{A_{n}X_{n}},\,X_{m}\rangle=\sum_{n}{A_{n}\langle X_{n},\,X_{m}\rangle}=A_{m}\langle X_{m},\,X_{m}\rangle$$이므로, \(c_{m}=\langle X_{m},\,X_{m}\rangle\)라고 하면$$A_{m}=\frac{\langle\phi,\,X_{m}\rangle}{c_{m}}$$이고 이것은 계수에 대한 공식이다.

주의할 점은 1. 지금까지 수렴성에 대한 문제는 피했다. 2. 두 고유함수의 고유값이 같으면, 그 두 고유함수는 직교가 아니다. 그러나 직교가 아니더라도 그람-슈미츠 과정을 통해 직교하게 만들 수 있다.

구간 \((a,\,b)\)에서 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 복소함수일 때, \((a,\,b)\)에서의 내적을 다음과 같이 정의한다.$$\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}{f(x)\overline{g(x)}dx}$$\(\langle f,\,g\rangle=0\)이면, \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 서로 직교한다고 한다.

경계조건들의 집합이 대칭(또는 에르미트, hermitian)이라는 것은 조건 (#)을 만족하는 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 임의의 쌍에 대해 다음의 등식이 성립하는 것이다.$$\left[f'(x)\overline{g(x)}-f(x)\overline{g'(x)}\right]_{a}^{b}=0$$

정리 2. 정리 1의 조건하에서 모든 고유값들은 실수이다. 게다가 고유함수들이 실함수가 되게 선택할 수 있다. 

증명: \(\lambda\)를 고유값이라 하고(복소수일 가능성 포함), \(X(x)\)를 이 고유값에 대한 고유함수라 하자(복소수일 가능성 포함). 그러면 \(-X''=\lambda X\)이고, 이 미분방정식에 복소공액을 취하면 \(-\overline{X}''=\overline{\lambda}\overline{X}\)이다. 그러면 \(\overline{\lambda}\)도 고유값이다. 함수 \(X\)와 \(\overline{X}\)를 그린의 제2 항등식에 적용하면$$\int_{a}^{b}{(-X''\overline{X}+X\overline{X}'')dx}=\left[(-X'\overline{X}+X\overline{X}')\right]_{a}^{b}=0$$이고 경계조건이 대칭이므로$$(\lambda-\overline{\lambda})\int_{a}^{b}{X\overline{X}dx}=0$$이고 \(X\overline{X}=|X|^{2}\geq0\)이므로 \(X\)는 0이 아니다. 그러면 \(\lambda-\overline{\lambda}=0\)이고 이것은 \(\lambda\)가 실수임을 뜻한다. 

조건 (#)하에서 식 \(-X''=\lambda X\)(\(\lambda\)는 실수)를 고려하자. \(X(x)\)가 복소함수이면, \(X(x)=Y(x)+iZ(x)\)(\(Y(x)\), \(Z(x)\)는 실함수)로 나타낼 수 있고, \(-Y''-iZ''=\lambda Y+i\lambda Z\)이다. 실수부와 허수부로 분리하면 \(-Y''=\lambda Y\), \(-Z''=\lambda Z\)이고 여전히 \(Y\)와 \(Z\)에 대해서 경계조건이 성립하는데 그 이유는 조건 (#)의 8개의 상수들이 실수이기 때문이다. 그래서 실수 고유값 \(\lambda\)는 실 고유함수 \(Y\)와 \(Z\)를 갖고 따라서 \(X\)와 \(\overline{X}\)는 \(Y\)와 \(Z\)로 대체가능하다. 선형결합 \(aX+b\overline{X}\)는 \(cY+dZ\)와 가고, \(a\), \(b\)는 \(c\), \(d\)와 관련이 있다.

정리 3. 정리 1의 조건하에서 경계조건을 만족하는 모든 실함수 \(f(x)\)에 대해 다음 부등식이 성립하면$$\left[f(x)f'(x)\right]_{a}^{b}\leq0$$음의 고유값은 존재하지 않는다. 

증명: 생략

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley