[편미분방정식] 8. 직교성과 일반 푸리에급수

[편미분방정식] 8. 직교성과 일반 푸리에급수

구간 $[a,\,b]$에서 정의된 실함수 $f(x)$, $g(x)$의 내적(inner product)을 다음과 같이 정의한다. $$\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}$$ $\langle f,\,g\rangle=0$이면 $f(x)$와 $g(x)$는 직교(orthogonal)한다고 한다. 예를들어 모든 고유함수들은 서로 다른 고유함수와 서로 직교한다. $X_{1}(x)$와 $X_{2}(x)$를 서로 다른 고유함수라고 하자. 그러면 $$-X_{1}''=-\frac{d^{2}X_{1}}{dx^{2}}=\lambda_{1}X_{1},\,-X_{2}''=-\frac{d^{2}X_{2}}{dx^{2}}=\lambda_{2}X_{2}$$ 이고, 이 두 함수들은 경계조건을 만족한다. $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$라고 하자. 그러면 다음 등식이 성립하고 $$-X_{1}''X_{2}+X_{1}X_{2}''=(-X_{1}'X_{2}+X_{1}X_{2})'$$ 다음의 그린의 제2 항등식(Green's second identity)을 얻는다. $$\int_{a}^{b}{(-X_{1}''X_{2}+X_{1}X_{2}'')dx}=\left[(-X_{1}'X_{2}+X_{1}X_{2}')\right]_{a}^{b}$$ 위의 적분식에서 좌변은 $X_{1}$과 $X_{2}$에 대한 미분방정식을 이용하고, 우변은 다음의 경계조건들을 이용한다.

1. 디리클레(Dirichlet): 두 고유함수 모두 양 끝에서 0이 된다. 즉 $$X_{1}(a)=X_{1}(b)=X_{2}(a)=X_{2}(b)=0$$ 이므로 적분식의 우변은 0이다. 

2. 노이만(Neumann): 1계도함수가 0이므로 위의 적분식의 우변은 0이다. 

3. 주기(periodic): $j=1,\,2$라고 하면 $$X_{j}(a)=X_{j}(b),\,X'_{j}(a)=X'_{j}(b)$$ 이므로 적분식의 우변은 0이다.

위의 3가지 경우로부터 위의 적분식은 다음과 같고, $$(\lambda_{1}-\lambda_{2})\int_{a}^{b}{X_{1}X_{2}dx}=0$$ 그러므로 $X_{1}$과 $X_{2}$는 직교한다. 

경계조건의 쌍들을 계획하자. $$\begin{align*}\alpha_{1}X(a)+\beta_{1}X(b)+\gamma_{1}X'(a)+\delta_{1}X'(b)&=0\\ \alpha_{2}X(a)+\beta_{2}X(b)+\gamma_{2}X'(a)+\delta_{2}X'(b)&=0\,(\text{#})\end{align*}$$ 여기의 상수 8개는 모두 실수이다. 이러한 경계조건들의 집합이 대칭(symmetric)이라는 것은 위의 조건 (#)을 만족하는 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 임의의 쌍에 대해 다음의 등식이 성립하는 것이다. $$\left[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\right]_{a}^{b}=0$$ 디리클레, 노이만, 주기 경계조건들은 대칭이다. 여기서부터 고유함수(eigenfunction)는 미분방정식 $-X''=\lambda X$의 해 중에서 조건 (#)을 만족하는 것들이다. 그린의 제2 항등식으로부터 다음의 정리가 성립한다.

정리 1. 대칭 경계조건 하에서 서로 다른 고유값에 대응되는 고유함수들은 서로 직교한다. 그러므로 임의의 함수가 고유함수들의 급수로 전개되면, 그 상수들을 결정할 수 있다.

증명: 고유값이 다른($\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$) 두 고유함수 $X_{1}(x)$, $X_{2}(x)$에 대해 그린의 제2 항등식을 적용하면 다음과 같다. $$\int_{a}^{b}{(-X_{1}''X_{2}+X_{1}X_{2}'')dx}=\left[(-X_{1}'X_{2}+X_{1}X_{2}')\right]_{a}^{b}$$ 경계조건이 대칭이므로 위의 적분식의 우변은 0이 된다. 미분방정식으로부터 위의 식은 다음과 같게 되고 $$(\lambda_{1}-\lambda_{2})\int_{a}^{b}{X_{1}X_{2}dx}=0$$ 따라서 직교성이 증명되었다. 

$X_{n}(x)$가 고유값 $\lambda_{n}$에 대한 고유함수이고 $$\phi(x)=\sum_{n}{A_{n}X_{n}(x)}$$ ($A_{n}$은 상수)가 수렴하는 급수이면, 직교성에 의해 $$\langle\phi,\,X_{m}\rangle=\langle\sum_{n}{A_{n}X_{n}},\,X_{m}\rangle=\sum_{n}{A_{n}\langle X_{n},\,X_{m}\rangle}=A_{m}\langle X_{m},\,X_{m}\rangle$$ 이므로, $c_{m}=\langle X_{m},\,X_{m}\rangle$라고 하면 $$A_{m}=\frac{\langle\phi,\,X_{m}\rangle}{c_{m}}$$ 이고 이것은 계수에 대한 공식이다.

주의할 점은 1. 지금까지 수렴성에 대한 문제는 피했다. 2. 두 고유함수의 고유값이 같으면, 그 두 고유함수는 직교가 아니다. 그러나 직교가 아니더라도 그람-슈미츠 과정을 통해 직교하게 만들 수 있다.

구간 $(a,\,b)$에서 $f(x)$와 $g(x)$가 복소함수일 때, $(a,\,b)$에서의 내적을 다음과 같이 정의한다. $$\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}{f(x)\overline{g(x)}dx}$$ $\langle f,\,g\rangle=0$이면, $f(x)$와 $g(x)$는 서로 직교한다고 한다.

경계조건들의 집합이 대칭(또는 에르미트, hermitian)이라는 것은 조건 (#)을 만족하는 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 임의의 쌍에 대해 다음의 등식이 성립하는 것이다. $$\left[f'(x)\overline{g(x)}-f(x)\overline{g'(x)}\right]_{a}^{b}=0$$

정리 2. 정리 1의 조건하에서 모든 고유값들은 실수이다. 게다가 고유함수들이 실함수가 되게 선택할 수 있다. 

증명: $\lambda$를 고유값이라 하고(복소수일 가능성 포함), $X(x)$를 이 고유값에 대한 고유함수라 하자(복소수일 가능성 포함). 그러면 $-X''=\lambda X$이고, 이 미분방정식에 복소공액을 취하면 $-\overline{X}''=\overline{\lambda}\overline{X}$이다. 그러면 $\overline{\lambda}$도 고유값이다. 함수 $X$와 $\overline{X}$를 그린의 제2 항등식에 적용하면 $$\int_{a}^{b}{(-X''\overline{X}+X\overline{X}'')dx}=\left[(-X'\overline{X}+X\overline{X}')\right]_{a}^{b}=0$$ 이고 경계조건이 대칭이므로 $$(\lambda-\overline{\lambda})\int_{a}^{b}{X\overline{X}dx}=0$$ 이고 $X\overline{X}=|X|^{2}\geq0$이므로 $X$는 0이 아니다. 그러면 $\lambda-\overline{\lambda}=0$이고 이것은 $\lambda$가 실수임을 뜻한다. 

조건 (#)하에서 식 $-X''=\lambda X$($\lambda$는 실수)를 고려하자. $X(x)$가 복소함수이면, $X(x)=Y(x)+iZ(x)$($Y(x)$, $Z(x)$는 실함수)로 나타낼 수 있고, $-Y''-iZ''=\lambda Y+i\lambda Z$이다. 실수부와 허수부로 분리하면 $-Y''=\lambda Y$, $-Z''=\lambda Z$이고 여전히 $Y$와 $Z$에 대해서 경계조건이 성립하는데 그 이유는 조건 (#)의 8개의 상수들이 실수이기 때문이다. 그래서 실수 고유값 $\lambda$는 실 고유함수 $Y$와 $Z$를 갖고 따라서 $X$와 $\overline{X}$는 $Y$와 $Z$로 대체가능하다. 선형결합 $aX+b\overline{X}$는 $cY+dZ$와 가고, $a$, $b$는 $c$, $d$와 관련이 있다.

정리 3. 정리 1의 조건하에서 경계조건을 만족하는 모든 실함수 $f(x)$에 대해 다음 부등식이 성립하면 $$\left[f(x)f'(x)\right]_{a}^{b}\leq0$$ 음의 고유값은 존재하지 않는다. 

증명: 생략

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley