[편미분방정식] 9. 완비성

[편미분방정식] 9. 완비성

다음은 대칭 경계조건 하의 고유값 문제이다.$$X''(x)+\lambda X(x)=0\,(a<x<b)$$고유값들은 실수이고 무한개의 고유값들이 존재한다. 이때 고유값들은 다음과 같이 양의 무한대로 발산하는 수열을 이룬다.$$\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{3}\leq\cdots\,\rightarrow\,\infty$$그리고 이 고유값에 대응하는 고유함수들은 다음과 같다.$$X_{1},\,X_{2},\,X_{3},\,...$$이들은 쌍별로 직교이다.

구간 \((a,\,b)\)에서의 임의의 함수 \(f(x)\)에 대한 푸리에 계수(Fourier coefficient)는 다음과 같이 정의되고$$A_{n}=\frac{\langle f,\,X_{n}\rangle}{\langle X_{n},\,X_{n}\rangle}=\frac{\int_{a}^{b}{f(x)\overline{X_{n}(x)}dx}}{\int_{a}^{b}{|X_{n}(x)|^{2}dx}}$$푸리에급수는 \(\displaystyle\sum_{n}{A_{n}X_{n}(x)}\)이다. 

무한급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}\)가 구간 \((a,\,b)\)에서 \(f(x)\)로 (점별로)수렴한다는 것은 각 \(a<x<b\)에 대하여 무한급수가 \(f(x)\)로 수렴한다는 것이다. 즉 \(a<x<b\)에 대하여 다음이 성립하는 것이다.$$\left|f(x)-\sum_{n=1}^{N}{f_{n}(x)}\right|\,\rightarrow\,0\,\text{as}\,N\,\rightarrow\,\infty$$무한급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 \(f(x)\)로 균등수렴(converges uniformly)한다는 것은 다음이 성립한다는 것이다.$$\max_{a\leq x\leq b}{\left|f(x)-\sum_{n=1}^{N}{f_{n}(x)}\right|}\,\rightarrow\,\infty\,\text{as}\,N\,\rightarrow\,\infty$$무한급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f_{n}(x)}\)가 \((a,\,b)\)에서 \(f(x)\)로 평균제곱수렴(converges in the mean-square, 또는 \(L^{2}\))한다는 것은 다음이 성립하는 것이다.$$\int_{a}^{b}{\left|f(x)-\sum_{n=1}^{N}{f_{n}(x)}\right|^{2}dx}\,\rightarrow\,0\,\text{as}\,N\,\rightarrow\,\infty$$균등수렴은 점별수렴 과 \(L^{2}\)수렴보다 강력한 수렴조건이다. 

푸리에급수 \(\displaystyle\sum_{n}{A_{n}X_{n}(x)}\)가 다음의 두 조건들을 만족하면 \([a,\,b]\)에서 \(f(x)\)로 균등수렴한다. 

(i) \([a,\,b]\)에서 \(f(x)\), \(f'(x)\), \(f''(x)\)가 존재하고 연속이다. 

(ii) \(f(x)\)는 주어진 경계조건들을 만족한다.

기존의 푸리에급수(사인, 코사인, 전체)의 경우, \(f''(x)\)의 존재성이 불필요하다.  

함수 \(f(x)\)가 다음의 조건을 만족하면, 푸리에급수는 \((a,\,b)\)에서 \(f(x)\)로 평균제곱수렴한다.$$\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}<\infty$$함수 \(f(x)\)가 \(x=c\)에서 점프 불연속(jump discontinuous)이라는 것은 한쪽극한 \(f(c+)\)와 \(f(c-)\)가 존재하지만 값이 같지 않은 것이다. \(x=c\)에서 점프 불연속의 값은 \(f(c+)-f(c-)\)이다. 

함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 구분연속(piecewise continuous)이라는 것은 유한개의 점프 불연속점을 갖고 나머지에서 연속인 것이다. 

푸리에급수의 점별수렴

(i) 푸리에급수(전체, 사인, 코사인)가 \((a,\,b)\)에서 \(f(x)\)로 점별수렴한다는 것은 \(f(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 연속함수이고 \(f'(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 구분연속인 것이다. 

(ii) 일반적으로 \(f(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 구분연속이고 \(f'(x)\)도 \([a,\,b]\)에서 구분연속이면, 푸리에급수는 모든 점 \(x\)에서 수렴하고 그 합은 다음과 같다.$$\sum_{n}{A_{n}X_{n}(x)}=\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}$$그 합은 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대하여 \(\displaystyle\frac{1}{2}\{f_{\text{ext}}(x+)+f_{\text{ext}}(x-)\}\)이고 여기서 \(f_{\text{ext}}(x)\)는 확장함수이다. 확장함수의 정의는 다음과 같다.

구간 \((0,\,l)\)에서 정의된 임의의 함수 \(\phi(x)\)에 대해

(1) \(\phi(x)\)의 우확장(even extension)은 다음과 같고$$\phi_{\text{even}}(x)=\begin{cases}\phi(x)\,&(0<x<l)\\ \phi(-x)\,&(-l<x<0)\end{cases}$$(2) \(\phi(x)\)의 기확장(odd extension)은 다음과 같다.$$\phi_{\text{odd}}(x)=\begin{cases}\phi(x)\,&(0<x<l)\\-\phi(-x)\,&(-l<x<0)\\0\,&(x=0)\end{cases}$$  

따라서 점프 불연속점에서 급수는 좌, 우 극한의 평균으로 수렴한다. 

함수 \(f(x)\)가 \(f(x)\)와 \(f'(x)\)이 구분연속인 구간에서 주기가 \(2l\)인 주기함수이면, 푸리에급수는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}\)로 수렴한다. 

구간 \((0,\,\pi)\)에서 정의된 함수 \(f(x)=1\)의 푸리에 사인급수는 다음과 같다.$$\sum_{n\,\text{odd}}{\frac{4}{n\pi}\sin nx}$$이 푸리에 사인급수에 \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\)를 대입하면$$1=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sum_{n\,\text{odd}}{\frac{4}{n\pi}(-1)^{\frac{(n-1)}{2}}}=\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{m}}{2m+1}}$$이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\frac{\pi}{4}&=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots\\&=\sin1+\frac{1}{3}\sin3+\frac{1}{5}\sin5+\cdots\end{align*}$$

앞에서 함수 \(\langle f,\,g\rangle\)의 내적을 다음과 같이 정의했었다.$$\langle f,\,g\rangle=\int_{a}^{b}{f(x)\overline{g(x)}dx}$$\(f\)의 \(L^{2}\)노름(norm)을 다음과 같이 정의한다.$$\|f\|=\sqrt{\langle f,\,f\rangle}=\sqrt{\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}}$$다음의$$\|f-g\|=\sqrt{\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|^{2}dx}}$$를 \(f\)와 \(g\)사이의 거리(distance)라고 하고, 위의 양을 \(L^{2}\)거리(metric)라고 한다. 

최소제곱근사(Least-Square Approximation)

\(\{X_{n}\}\)을 직교함수들의 집합이라 하고 \(\|f\|<\infty\), \(N\)을 고정된 자연수라 하자. \(N\)개의 상수 \(c_{1},\,c_{2},\,...,\,c_{N}\)이 존재해서 다음의 식을 최소화한다.$$\left|f-\sum_{n=1}^{N}{c_{n}X_{n}}\right|$$이 경우 \(c_{1}=A_{1},\,...,\,c_{N}=A_{N}\)이다. 

증명: 오차(나머지)를 다음과 같이 정의하자.$$E_{N}=\left\|f-\sum_{n=1}^{N}{c_{n}X_{n}}\right\|^{2}=\int_{a}^{b}{\left|f(x)-\sum_{n=1}^{N}{c_{n}X_{n}(x)}\right|dx}$$위의 오차를 전개하면$$\begin{align*}E_{N}&=\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}-2\sum_{n=1}^{N}{c_{n}\int_{a}^{b}{f(x)X_{n}(x)dx}}+\sum_{n=1}{N}{\sum_{m=1}^{N}{c_{n}c_{m}\int_{a}^{b}{X_{n}(x)X_{m}(x)dx}}}\\&=\|f\|^{2}-2\sum_{n=1}^{N}{c_{n}\langle f,\,X_{n}\rangle}+\sum_{n=1}{N}{c_{n}^{2}\|X_{n}\|^{2}}\\&=\sum_{n=1}^{N}{\|X_{n}\|^{2}\left\{c_{n}-\frac{\langle f,\,X_{n}\rangle}{\|X_{n}\|^{2}}\right\}^{2}}+\|f\|^{2}-\sum_{n=1}^{N}{\frac{\langle f,\,X_{n}\rangle^{2}}{\|X_{n}\|^{2}}}\end{align*}$$이고, 이 오차가 최소가 되기 위해서는 \(\displaystyle c_{n}=\frac{\langle f,\,X_{n}\rangle}{\|X_{n}\|^{2}}=A_{n}\)이어야 한다. 

최소제곱근사의 증명과정에서 \(\displaystyle c_{n}=\frac{\langle f,\,X_{n}\rangle}{\|X_{n}\|^{2}}=A_{n}\)일 때의 오차는$$0\leq E_{N}=\|f\|^{2}-\sum_{n=1}^{N}{\frac{\langle f,\,X_{n}\rangle^{2}}{\|X_{n}\|^{2}}}=\|f\|^{2}-\sum_{n=1}^{N}{A_{n}^{2}\|X_{n}\|^{2}}$$이므로$$\sum_{n=1}^{N}{A_{n}^{2}\int_{a}^{b}{|X_{n}(x)|^{2}dx}}\leq\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}$$이고 따라서 다음의 베셀 부등식(Bessel's inequality)을 얻는다.$$\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}^{2}\int_{a}^{b}{|X_{n}(x)|^{2}dx}}\leq\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}$$\(f(x)\)의 푸리에급수가 \(f(x)\)로 평균제곱수렴할 필요충분조건은 다음의 등식이 성립하는 것이다.$$\sum_{n=1}^{\infty}{|A_{n}|^{2}\int_{a}^{b}{|X_{n}(x)|^{2}dx}}=\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}$$이 부등식을 파세발 항등식(Parseval's equality)이라고 한다.

증명: 평균제곱수렴은 \(E_{N}\,\rightarrow\,0\)을 뜻하고, 이것은 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{N}{|A_{n}|^{2}\|X_{n}\|^{2}}\,\rightarrow\,\|f\|^{2}\)를 뜻한다.

직교함수들의 무한집합 \(\{X_{1}(x),\,X_{2}(x),\,...\}\)가 완비(complete)라는 것은 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}<\infty\)인 함수 \(f\)에 대하여 파세발 항등식이 성립하는 것이다. 예를들어 대칭 경계조건에서의 미분방정식 \(X''+\lambda X=0\,(a<x<b)\)을 만족하는 고유함수들의 집합은 완비이다. 따라서 다음의 결과를 얻는다.

\(\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(x)|^{2}dx}<\infty\)이면, 파세발 항등식은 성립한다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley