[편미분방정식] 6. 노이만 조건

[편미분방정식] 6. 노이만 조건

다음은 노이만 조건(Neumann condition)을 고려한 파동방정식이다. $$\begin{align*}u_{tt}&=c^{2}u_{xx}\,(0<x<l)\\u_{x}(0,\,t)&=0=u_{x}(l,\,t)\\u(x,\,0)&=\phi(x),\,u_{t}(x,\,0)=\psi(x)\end{align*}$$ 디리클레 조건에서는 $u(0,\,t)=0=u(l,\,t)$이었는데 여기는 $u_{x}(0,\,t)=0=u_{x}(l,\,t)$이다. 이때 고유함수들은 다음의 방정식의 해이다. $$-X''=\lambda X,\,X'(0)=X'(l)=0$$ 양의 고유값이 $\lambda=\beta^{2}>0$일 때 $X(x)=C\cos\beta x+D\sin\beta x$이므로 $$X'(x)=-C\beta\sin\beta x+D\beta\cos\beta x$$ 이고 $0=X'(0)=D\beta$이므로 $D=0$이고 $$0=X'(l)=-C\beta\sin\beta l$$ 이므로 $C=0$이 아니라 $\sin\beta l=0$이어야 하고 따라서 $\beta=\frac{n\pi}{l}$이다. 그러므로 고유값은 $$\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2},\,\left(\frac{2\pi}{l}\right)^{2},\,...$$ 이고 고유함수는 $$X_{n}(x)=\cos\frac{n\pi x}{l}\,(n\in\mathbb{N})$$ 이다. 여기서(노이만 조건)는 디리클레 조건과 달리 0은 고유값이고, 음수나 복소수는 고유값이 아니다. $\lambda=0$이라고 하면 $X''=0$이므로 $X(x)=C+Dx$이고 $X'(x)=D$이다. 노이만 조건에서 $D=0$이어야 하므로 $C$는 임의의 수가 될 수 있고, 따라서 $\lambda=0$은 고유값이고, 또한 상수함수도 고유함수이다. 따라서 고유값을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}\,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$$ 노이만 조건을 고려한 확산방정식의 해는 다음과 같고 $$u(x,\,t)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}e^{-\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}kt}\cos\frac{n\pi x}{l}}$$ 여기서 $A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,...$들은 상수이고 $\phi(x)$는 다음과 같다. $$\phi(x)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}}$$ 노이만 조건을 고려한 파동방정식에서 $\lambda=0$이면, $X$는 상수이고, $T''(t)=\lambda c^{2}T(t)=0$이므로 $T(t)=A+Bt$이다. 따라서 이 파동방정식의 해는 $$u(x,\,t)=\frac{1}{2}A_{0}+\frac{1}{2}B_{0}t+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}\right)\cos\frac{n\pi x}{l}}$$ 이고 이때 $\phi(x)$와 $\psi(x)$는 다음과 같다. $$\begin{align*}\phi(x)&=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}}\\ \psi(x)&=\frac{1}{2}B_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n\pi c}{l}B_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}}\end{align*}$$ 디리클레 조건과 노이만 조건이 혼합된 경우, 예를들어 $u(0,\,t)=u_{x}(l,\,t)=0$일 때, 고유값 문제는 다음과 같고 $$-X''=\lambda X,\,X(0)=X'(l)=0$$ 고유값과 고유함수는 다음과 같다. $$\lambda_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\frac{\pi^{2}}{l^{2}},\,X_{n}(x)=\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\pi x}{l}\,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$$ 다른 예로 다음의 슈뢰딩거 방정식을 고려하자. $$\begin{align*}u_{t}&=iu_{xx}\,(0<x<l)\\u_{x}(0,\,t)&=u_{x}(l,\,t)=0\\u(x,\,0)&=\phi(x)\end{align*}$$ 변수분리법으로 풀면 $$\frac{T'}{iT}=\frac{X''}{X}=-\lambda\,(\text{constant})$$ 이므로 $T(t)=e^{-i\lambda t}$이고 $X$는 다음의 방정식을 만족하므로 $$-X''=\lambda X,\,X'(0)=X'(l)=0$$ 그 해는 다음과 같다. $$u(x,\,t)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}e^{-i\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}t}\cos\frac{n\pi x}{l}}$$   

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley