[편미분방정식] 6. 노이만 조건

[편미분방정식] 6. 노이만 조건

다음은 노이만 조건(Neumann condition)을 고려한 파동방정식이다.$$\begin{align*}u_{tt}&=c^{2}u_{xx}\,(0<x<l)\\u_{x}(0,\,t)&=0=u_{x}(l,\,t)\\u(x,\,0)&=\phi(x),\,u_{t}(x,\,0)=\psi(x)\end{align*}$$디리클레 조건에서는 \(u(0,\,t)=0=u(l,\,t)\)이었는데 여기는 \(u_{x}(0,\,t)=0=u_{x}(l,\,t)\)이다. 이때 고유함수들은 다음의 방정식의 해이다.$$-X''=\lambda X,\,X'(0)=X'(l)=0$$양의 고유값이 \(\lambda=\beta^{2}>0\)일 때 \(X(x)=C\cos\beta x+D\sin\beta x\)이므로$$X'(x)=-C\beta\sin\beta x+D\beta\cos\beta x$$이고 \(0=X'(0)=D\beta\)이므로 \(D=0\)이고$$0=X'(l)=-C\beta\sin\beta l$$이므로 \(C=0\)이 아니라 \(\sin\beta l=0\)이어야 하고 따라서 \(\beta=\frac{n\pi}{l}\)이다. 그러므로 고유값은$$\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2},\,\left(\frac{2\pi}{l}\right)^{2},\,...$$이고 고유함수는$$X_{n}(x)=\cos\frac{n\pi x}{l}\,(n\in\mathbb{N})$$이다. 여기서(노이만 조건)는 디리클레 조건과 달리 0은 고유값이고, 음수나 복소수는 고유값이 아니다. \(\lambda=0\)이라고 하면 \(X''=0\)이므로 \(X(x)=C+Dx\)이고 \(X'(x)=D\)이다. 노이만 조건에서 \(D=0\)이어야 하므로 \(C\)는 임의의 수가 될 수 있고, 따라서 \(\lambda=0\)은 고유값이고, 또한 상수함수도 고유함수이다. 따라서 고유값을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}\,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$$노이만 조건을 고려한 확산방정식의 해는 다음과 같고$$u(x,\,t)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}e^{-\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}kt}\cos\frac{n\pi x}{l}}$$여기서 \(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,...\)들은 상수이고 \(\phi(x)\)는 다음과 같다.$$\phi(x)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}}$$노이만 조건을 고려한 파동방정식에서 \(\lambda=0\)이면, \(X\)는 상수이고, \(T''(t)=\lambda c^{2}T(t)=0\)이므로 \(T(t)=A+Bt\)이다. 따라서 이 파동방정식의 해는$$u(x,\,t)=\frac{1}{2}A_{0}+\frac{1}{2}B_{0}t+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}\right)\cos\frac{n\pi x}{l}}$$이고 이때 \(\phi(x)\)와 \(\psi(x)\)는 다음과 같다.$$\begin{align*}\phi(x)&=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}}\\ \psi(x)&=\frac{1}{2}B_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n\pi c}{l}B_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}}\end{align*}$$디리클레 조건과 노이만 조건이 혼합된 경우, 예를들어 \(u(0,\,t)=u_{x}(l,\,t)=0\)일 때, 고유값 문제는 다음과 같고$$-X''=\lambda X,\,X(0)=X'(l)=0$$고유값과 고유함수는 다음과 같다.$$\lambda_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}\frac{\pi^{2}}{l^{2}},\,X_{n}(x)=\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\pi x}{l}\,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$$다른 예로 다음의 슈뢰딩거 방정식을 고려하자.$$\begin{align*}u_{t}&=iu_{xx}\,(0<x<l)\\u_{x}(0,\,t)&=u_{x}(l,\,t)=0\\u(x,\,0)&=\phi(x)\end{align*}$$변수분리법으로 풀면$$\frac{T'}{iT}=\frac{X''}{X}=-\lambda\,(\text{constant})$$이므로 \(T(t)=e^{-i\lambda t}\)이고 \(X\)는 다음의 방정식을 만족하므로$$-X''=\lambda X,\,X'(0)=X'(l)=0$$그 해는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}e^{-i\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}t}\cos\frac{n\pi x}{l}}$$  

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley