[편미분방정식] 4. 확산방정식

[편미분방정식] 4. 확산방정식

1차원 확산방정식은 다음과 같다.$$u_{t}=ku_{xx}$$확산은 파동과 다르기 때문에 방정식이 다르고, 확산방정식은 파동방정식에 비해 풀기가 어렵다. 그래서 확산방정식을 풀기 위해 다음의 '최대원리'라는 개념을 도입하겠다.

최대원리(maximum principle)

\(u(x,\,t)\)가 직사각형 영역(\(0\leq x\leq l\), \(0\leq t\leq T\))에서 확산방정식을 만족시키면, \(u(x,\,t)\)는 밑바닥(\(t=0\)) 또는 옆면(\(x=0\) 또는 \(x=l\))에서 최댓값을 갖는다.(아래그림 참고)(증명은 생략)

비슷하게 최소원리(minimum principle)라는 개념이 있는데 최대원리와 비슷하게 밑바닥(\(t=0\)) 또는 옆면(\(x=0\) 또는 \(x=l\))에서 최솟값을 갖는다. 증명은 \(-u(x,\,t)\)를 최대원리에 적용한다.  

유일성(uniqueness)

최대원리로부터 확산방정식에 대한 디리클레 문제의 유일성(uniqueness for the Dirichlet problem for the diffusion equation)을 보일 수 있다. 이것은 다음의 편미분방정식$$\begin{align*}u_{t}-ku_{xx}&=f(x,\,t)\,(0<x<l,\,t>0)\\u(x,\,0)&=\phi(x)\\u(0,\,t)&=g(t)\\u(l,\,t)&=h(t)\end{align*}$$의 해가 초기조건과 경계조건에 의해 유일하게 결정됨을 뜻한다. 

증명: 

1. \(u_{1}(x,\,t)\)와 \(u_{2}(x,\,t)\)를 확산방정식의 해라고 하고, \(w=u_{1}-u_{2}\)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$w_{t}-kw_{xx}=0,\,w(x,\,0)=0,\,w(0,\,t)=0,\,w(l,\,t)=0$$\(T>0\)이라고 하자. 그러면 최대원리에 의해 \(w(x,\,t)\)는 사각형의 밑바닥 또는 옆면에서 최댓값을 갖는다. 그러므로 \(w(x,\,t)\leq0\)이다. 최소원리에 의해서 \(w(x,\,t)\geq0\)이고 따라서 \(w(x,\,t)=0\)이고 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(u_{1}(x,\,t)=u_{2}(x,\,t)\)이다. 

2.(에너지 방법, energy method)

\(u_{1}\), \(u_{2}\)를 확산방정식의 해라고 하고, \(w=u_{1}-u_{2}\)라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$0=0\cdot w=(w_{t}-kw_{xx})w=\frac{1}{2}(w^{2})_{t}+(-kw_{x}w)_{x}+kw_{x}^{2}$$위의 식을 구간 \(0<x<l\)에서 적분하면$$0=\int_{0}^{l}{\frac{1}{2}(w^{2})_{t}dx}-\left[kw_{x}w\right]_{0}^{l}+k\int_{0}^{l}{w_{x}^{2}dx}$$이고 경계조건(\(x=0\), \(x=l\)에서 \(w=0\))에 의해$$\frac{d}{dt}\int_{0}^{l}{\frac{1}{2}\{w(x,\,t)\}^{2}dx}=-k\int_{0}^{l}{\{w_{x}(x,\,t)\}^{2}dx}\leq0$$이므로 모든 \(t\geq0\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$\int_{0}^{l}{\{w(x,\,t)\}^{2}dx}\leq\int_{0}^{l}{\{w(x,\,0)\}^{2}dx}$$\(u\)와 \(w\)의 경계조건에 의해 \(\displaystyle\int_{0}^{l}{\{w(x,\,0)\}^{2}dx}=0\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{l}{\{w(x,\,t)\}^{2}dx}=0\)이고 \(w=0\)이므로 모든 \(t\geq0\)에 대하여 \(u_{1}=u_{2}\)이다. 

안정성(stability)

안정성은 타당한 문제의 요건 중 하나이다. 이것은 초기조건과 경계조건이 정확하게 만들어졌음을 뜻한다. 유일성의 에너지방법을 이용한 증명을 이용하여 안정성을 보일 수 있고, 이때 \(h=g=f=0\)이다. \(u_{1}(x,\,0)=\phi_{1}(x)\), \(u_{2}(x,\,0)=\phi_{2}(x)\)라고 하자. 그러면 \(w=u_{1}-u_{2}\)는 초기조건 \(\phi_{1}-\phi_{2}\)를 갖는 해이고, 에너지방법을 이용한 유일성의 증명으로부터$$\int_{0}^{l}{\{u_{1}(x,\,t)-u_{2}(x,\,t)\}^{2}dx}\leq\int_{0}^{l}{\{\phi_{1}(x)-\phi_{2}(x)\}^{2}dx}$$이다. 최대원리 또한 안정성의 증명에 이용된다. 직사각형의 옆면에서 \(w=u_{1}-u_{2}=0\)이고, 밑바닥에서 \(w=\phi_{1}-\phi_{2}\)이다. 최대원리에 의해 사각형 전체에서$$u_{1}(x,\,t)-u_{2}(x,\,t)\leq\max|\phi_{1}-\phi_{2}|$$이고, 최소원리에 의해$$u_{1}(x,\,t)-u_{2}(x,\,t)\geq-\max|\phi_{1}-\phi_{2}|$$이므로 모든 \(t>0\)에 대해 다음이 성립한다.$$\max_{0\leq x\leq l}{|u_{1}(x,\,t)-u_{2}(x,\,t)|}\leq\max_{0\leq x\leq l}{|\phi_{1}(x)-\phi_{2}(x)|}$$이것은 "균등한(uniform)"의미에서의 안정성이다.

다음의 확산방정식은 무한길이 막대에서의 확산방정식이다.$$\begin{align*}u_{t}&=ku_{xx}\,(-\infty<x<\infty,\,0<t<\infty)\\u(x,\,0)&=\phi(x)\end{align*}$$이 방정식은 특정한 \(\phi(x)\)에 대한 일반해를 구하는 것이다. 다음은 확산방정식에 대한 5가지 불변 성질(invariance properties)인데 방정식 풀이에 이용할 것이다. 

(a) 임의의 고정된 \(y\)에 대하여 임의의 해 \(u(x,\,t)\)의 평행이동 \(u(x-y,\,t)\)는 다른 해이다.

(b) 해의 도함수(\(u_{x}\), \(u_{t}\), \(u_{xx}\)등)도 해가 된다.

(c) 확산방정식의 해들의 선형결합도 확산방정식의 해가 된다. 

(d) 해의 적분도 해가 된다. 따라서 \(S(x,\,t)\)가 확산방정식의 해이면, \(S(x-y,\,t)\)도 해이고 다음의 식도 해가 된다.$$v(x,\,t)=\int_{-\infty}^{\infty}{S(x-y,\,t)g(y)dy}$$위의 식에서 \(g(y)\)는 임의의 함수이다. 

(e) \(u(x,\,t)\)가 확산방정식의 해이면, 임의의 \(a>0\)에 대하여 \(u(\sqrt{a}x,\,at)\)도 해가 된다. 연쇄법칙을 이용하여 보일 수 있는데 \(v(x,\,t)=u(\sqrt{a}x,\,at)\)라고 하자. 그러면$$v_{t}=\frac{\partial(at)}{\partial t}u_{t}=au_{t},\,v_{x}=\frac{\partial(\sqrt{a}x)}{\partial x}u_{x}=\sqrt{a}u_{x},\,v_{xx}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}u_{xx}=au_{xx}$$이므로 \(v\)는 확산방정식의 해가 된다.  

무한길이 막대에서의 확산방정식의 특수해를 구하려고 한다. 그러기 위해서 앞의 불변 성질의 (d)를 이용하고, 그 특수해를 \(Q(x,\,t)\)라고 하겠다. 이때 이 특수해는 다음의 특수 초기조건(special initial condition)이라고 불리는 조건들을 만족시킨다.$$Q(x,\,0)=1,\,(x>0),\,Q(x,\,0)=0,\,(x<0)$$\(Q\)를 다음의 3단계를 거쳐서 구한다. 

1단계: 다음과 같은 형태의 \(Q(x,\,t)\)를 찾는다.$$Q(x,\,t)=g(p),\,p=\frac{x}{\sqrt{4kt}}$$여기서 \(g\)는 1변수함수이다.

2단계: 1단계에서 \(Q(x,\,t)=g(p)\)이므로 이것과 연쇄법칙을 이용해서 확산방정식을 \(g\)에 대한 상미분방정식으로 나타낸다.$$\begin{align*}Q_{t}&=\frac{dg}{dp}\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{x}{2t\sqrt{4kt}}g'(p)\\Q_{x}&=\frac{dg}{dp}\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{4kt}}g'(p)\\Q_{xx}&=\frac{dQ_{x}}{dp}\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{1}{4kt}g''(p)\\0&=Q_{t}-kQ_{xx}=\frac{1}{t}\left\{-\frac{1}{2}pg'(p)-\frac{1}{4}g''(p)\right\}\end{align*}$$따라서 다음의 상미분방정식을 얻고$$g''+2pg'=0$$이 상미분방정식은 적분인자$$e^{\int{2pdp}}=e^{p^{2}}$$를 곱함으로써 구할 수 있다. 그러면 \(g'(p)=c_{1}e^{-p^{2}}\)이고$$Q(x,\,t)=g(p)=c_{1}\int{e^{-p^{2}}dp}+c_{2}$$이다.  

3단계: 2단계로부터 다음의 식을 얻고$$Q(x,\,t)=c_{1}\int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{4kt}}}{e^{-p^{2}}dp}+c_{2}$$이 공식은 \(t>0\)에 대해서 성립한다. 특수 초기조건을 이용하면 다음의 결과를 얻고$$\begin{align*}x>0,&\,1=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{Q(x,\,t)}=c_{1}\int_{0}^{\infty}{e^{-p^{2}}dp}+c_{2}=c_{1}\frac{\sqrt{\pi}}{2}+c_{2}\\x<0,&\,0=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{Q(x\,t)}=c_{1}\int_{0}^{-\infty}{e^{-p^{2}}dp}+c_{2}=-c_{1}\frac{\sqrt{\pi}}{2}+c_{2}\end{align*}$$위의 결과로부터 \(c_{1}\)과 \(c_{2}\)가 다음과 같으므로$$c_{1}=\frac{1}{\sqrt{\pi}},\,c_{2}=\frac{1}{2}$$이고 따라서 \(Q(x,\,t)\)는 다음과 같다.$$Q(x,\,t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{4kt}}}{e^{-p^{2}}dp}$$여기서 \(t>0\)이다. 

4단계: \(\displaystyle S=\frac{\partial Q}{\partial x}\)라 하면, 성질 (b)에 의해 \(S\)도 확산방정식의 해이다. 초기조건 \(\phi\)에 대하여 \(u(x,\,t)\)를 다음과 같이 정의하자.$$u(x,\,t)=\int_{-\infty}^{\infty}{S(x-y,\,t)\phi(y)dy}\,(t>0)$$성질 (d)에 의해 \(u\)도 확산방정식의 해가 된다. 이 \(u\)가 무한길이 막대에서의 확산방정식의 해가 됨을 보이려고 한다. 부분적분법으로부터$$\begin{align*}u(x,\,t)&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\partial Q}{\partial x}(x-y,\,t)\phi(y)dy}\\&=-\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\partial}{\partial y}\{Q(x-y,\,t)\}\phi(y)dy}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{Q(x-y,\,t)\phi'(y)dy}-\left[Q(x-y,\,t)\phi(y)\right]_{-\infty}^{\infty}\end{align*}$$위의 식에서 무한대에서의 극한값이 0이라고 하겠다. 특히 임시로 충분히 큰 \(|y|\)에 대하여 \(\phi(y)\)는 0과 같다고 한다. 그러므로 \(u(x,\,t)\) 다음과 같이 초기조건을 만족한다.$$\begin{align*}u(x,\,0)&=\int_{-\infty}^{\infty}{Q(x-y,\,0)\phi'(y)dy}\\&=\int_{-\infty}^{x}{\phi'(y)dy}=\{\phi(x)-\phi(-\infty)\}\\&=\phi(x)\end{align*}$$그 이유는 \(Q\)의 특수 초기조건과 \(\phi(-\infty)=0\)이기 때문이다. 이제 \(u(x,\,t)\)를 구하자.$$S=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-\frac{x^{2}}{4kt}}$$이므로$$u(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4kt}}\phi(y)dy}$$이다. 이것이 바로 무한길이 막대에서의 확산방정식의 해이다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley