[편미분방정식] 2. 흐름, 진동, 확산

[편미분방정식] 2. 흐름, 진동, 확산

여기서는 물리적 현상으로부터 얻어지는 편미분방정식들을 다룰 것이다.

1. 단순한 전달

유체(fluid)가 고정된 축의 수평 파이프를 통해 \(c\)라는 일정한 비율로 양의 \(x\)방향으로 흐르고 있다고 하자. 어떤 물질이 물 위에 떠 있다고 하고 \(u(x,\,t)\)를 시간 \(t\)에 따른 농도(단위: g/cm)라고 하자. 그러면 \(u(x,\,t)\)는 다음의 편미분방정식을 만족한다.$$u_{t}+cu_{x}=0$$이것은 \(u_{t}\)가 \(u_{x}\)에 비례함을 뜻하고 여기서 확산은 고려되지 않았다. 앞의 선형방정식의 풀이에 따르면 이 편미분방정식의 해는 \(x-ct\)에 관한 함수이다. 이것은 물질이 고정된 속도 \(c\)로 전달됨을 뜻한다.

다음은 이 편미분방정식을 유도하는 과정이다. 시간 \(t\in[0,\,b]\)에서 물질의 양은 \(\displaystyle M=\int_{0}^{b}{u(x,\,t)dx}\)이고 시간 \(t+h\)에서 같은 물질이 오른쪽으로 \(c\cdot h\)만큼 이동했기 때문에$$M=\int_{0}^{b}{u(x,\,t)dx}=\int_{ch}^{b+ch}{u(x,\,t+h)dx}$$위의 식을 \(b\)에 대해 미분하면$$u(b,\,t)=u(b+ch,\,t+h)$$이고 그 다음으로 위의 식을 \(h\)에 대해 미분하고 나서 \(h=0\)을 대입하면 다음의 편미분방정식을 얻는다.$$0=cu_{x}(b,\,t)+u_{t}(b,\,t)$$

2. 현의 진동

길이가 \(l\)인 막대의 양 끝에 유연하고 탄성적인 균질한 줄(현)이 연결되어 진동하고 있다고 하자. 

\(u(x,\,t)\)를 시간 \(t\)와 위치 \(x\)에서 평형위치로부터의 변위라고 하자. 줄은 완전한 탄성체이므로 장력은 현의 접선방향을 향한다.

\(T(x,\,t)\)를 장력벡터의 크기라 하고 \(\rho\)를 줄의 밀도라고 하자. 줄은 균질하므로 \(\rho\)는 상수이다. 임의의 두 위치 \(x=x_{0}\)과 \(x=x_{1}\)사이의 줄에 대해 뉴턴의 법칙을 적용한다. 그러면 \(x=x_{1}\)에서의 기울기는 \(u_{x}(x,\,t)\)이고 뉴턴의 운동 제 2법칙 \(\mathbf{F}=m\mathbf{a}\)에서 세로축 힘의 성분과 가로축 힘의 성분은 다음과 같다.$$\begin{align*}\left[\frac{T}{\sqrt{1+u_{x}^{2}}}\right]_{x_{0}}^{x_{1}}&=0\,(\text{세로})\\ \left[\frac{T}{\sqrt{1+u_{x}^{2}}}\right]_{x_{0}}^{x_{1}}&=\int_{x_{0}}^{x_{1}}{\rho u_{tt}dx}\,(\text{가로})\end{align*}$$\(|u_{x}|\)가 충분히 작다고 하면 다음의 테일러 전개에 의해 \(\sqrt{1+u_{x}^{2}}\approx1\)이다.$$\sqrt{1+u_{x}^{2}}=1+\frac{1}{2}u_{x}^{2}+\cdots$$이 상태에서 세로축 성분이 0이 된다는 것은 \(T\)가 상수임을 뜻한다. 그러면 \(T\)는 \(t\)에 대해서 독립이고 가로축 성분을 \(x\)에 대해 미분하면$$(Tu_{x})=\rho u_{tt}$$이고 따라서 다음의 파동방정식(wave equation)을 얻는다.$$u_{tt}=c^{2}u_{xx}\,\left(c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}\right)$$여기서 \(c\)를 파동의 속력(wave speed)이라고 한다. 이 파동방정식은 3가지 다양한 형태가 존재한다.

1. \(r\)이 공기저항이라면, 속도 \(u_{t}\)에 비례하는 저항력을 받고 따라서 이 때의 파동방정식은 다음과 같다.$$u_{tt}-c^{2}u_{xx}+ru_{t}=0\,(r>0)$$ 

2. 가로축 탄성력이 존재한다면(어느 한 쪽이 코일 스프링에 연결됨), 이 때의 파동방정식은 다음과 같다.$$u_{tt}-c^{2}u_{xx}+ku=0\,(k>0)$$ 

3. 작용력(applied force, 작용반작용)이 존재한다면, 이 때의 파동방정식은 다음과 같다.$$u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,\,t)$$다음은 전송선에서의 전류흐름에 대한 편미분방정식인데 앞의 파동방정식과 비슷한 형태이다.$$u_{xx}=CLu_{tt}+(CR+GL)u_{t}+GRu$$여기서 \(C\)는 단위길이당 커패시턴스, \(G\)는 단위길이당 누설저항, \(R\)은 단위길이당 저항, \(L\)은 단위길이당 자기인덕턴스(self-inductance)이다.

3. 진동하는 박막

탄성적이고 유연하고 균질한 박막이 있다고 하자. 이것은 현의 진동의 2차원과 같다고 볼 수 있다. 틀(\(xy\)평면) 위에서 박막이 진동한다고 하자.

\(u(x,\,y,\,t)\)를 틀에서부터의 수직 변위라고 하고 수평 방향으로의 운동은 없다고 하자. 그러면 수평 방향으로 상수 장력 \(T\)가 존재한다. \(D\)를 \(xy\)평면에서의 틀의 영역이고, \(\partial D\)를 \(D\)의 경계라고 하자. 1차원 현의 진동처럼 다음의 결과를 얻고$$F=\int_{\partial D}{T\frac{\partial u}{\partial n}ds}=\iint_{D}{\rho u_{tt}dxdy}=ma$$여기서 좌변은 \(D\)에서 박막이 진동할 때의 모든 힘들의 합력이고, \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial n}=\mathbf{n}\cdot\nabla u\)는 영역 바깥으로의 법선방향 방향도함수, \(\mathbf{n}\)은 \(\partial D\) 바깥 방향으로의 법선벡터이다. 그린정리에 의해 다음 등식이 성립한다.$$\iint_{D}{\nabla\cdot(T\nabla u)dxdy}=\iint_{D}{\rho u_{tt}dxdy}$$\(D\)는 임의의 영역이므로 \(\rho u_{tt}=\nabla\cdot(T\nabla u)\)이고 \(T\)는 상수이므로 다음의 결과를 갖는다.$$u_{tt}=c^{2}\nabla\cdot(\nabla u)=c^{2}(u_{xx}+u_{yy})$$여기서 \(\displaystyle c=\sqrt{\frac{T}{c}}\)는 박막의 속도이고, \(\nabla\cdot(\nabla u)=\text{div}\text{grad}u=u_{xx}+u_{yy}\)는 2차원 라플라시안(laplacian)이다. 위의 방정식은 2차원 파동방정식이라고 할 수 있다. 위와 비슷하게 다음의 3차원 파동방정식을 얻을 수 있고$$u_{tt}=c^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$$여기서 다음의 연산자를 3차원 라플라시안이라 하고 \(\Delta\) 또는 \(\nabla^{2}\)로 나타낸다.$$L=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$$이 방정식은 단순히 줄의 진동이나 박막의 진동으로 한정하지 않고 탄성체의 진동, 공기 중에서의 음파에 대해서도 이 방정식을 적용할 수 있다.

4. 확산

곧은 튜브 또는 파이프관에 정지한 액체가 있다고 하고 그 액체 속에 화학물질이 확산된다고 하자. 이 화학물질은 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하고, 그 비율은 농도 기울기(그래디언트)에 비례한다(픽의 확산 1법칙, Fick's law of diffusion). \(u(x,\,t)\)를 화학물질의 파이프 위치 \(x\)와 시간 \(t\)에서의 농도(단위는 질량당 단위길이)라고 하자. 

다음의 그림으로부터 이 화학물질의 질량은 다음과 같다.$$M(t)=\int_{x_{0}}^{x_{1}}{u(x,\,t)dx},\,\frac{dM}{dt}=\int_{x_{0}}^{x_{1}}{u_{t}(x,\,t)dx}$$

파이프 안으로 유입되는 양과 바깥으로 유출되는 양을 제외하면 파이프 안에 있는 양의 질량은 변하지 않는다. 픽의 법칙에 의해$$\frac{dM}{dt}=\text{유입량}-\text{유출량}=ku_{x}(x_{1},\,t)-ku_{x}(x_{0},\,t)$$이고 여기서 \(k\)는 비례상수이다. 그러므로 다음의 등식이 성립하고$$\int_{x_{0}}^{x_{1}}{u_{t}(x,\,t)dx=ku_{x}(x_{1},\,t)}-ku_{x}(x_{0},\,t)$$위의 식을 \(x_{1}\)에 대해 미분하면 다음의 확산방정식(diffusion equation)을 얻는다.$$u_{t}=ku_{xx}$$3차원에서는 발산정리에 의해 다음 등식이 성립하므로$$\iiint_{D}{u_{t}dxdydz}=\iint_{\partial D}{k(\mathbf{n}\cdot\nabla u)dS}$$다음의 3차원 확산방정식을 얻는다.$$u_{t}=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=k\Delta u$$만약 여기에 외부 유입량 또는 유출량이 있고, 확산비율 \(k\)가 변수이면, 다음의 일반적인 비동차방정식을 얻는다.$$u_{t}=\nabla\cdot(k\nabla u)+f(x,\,t)$$열전도, 브라운운동의 방정식도 같은 확산방정식이다.

5. 열전도

\(u(x,\,y,\,z,\,t)\)를 온도, \(H(t)\)를 영역 \(D\)에서의 열량의 총합(단위: 칼로리)이라고 하자. 그러면$$H(t)=\iiint_{D}{c\rho udxdydz}$$이고 여기서 \(c\)는 물질의 비열(specific heat), \(\rho\)는 밀도(단위부피당 질량)이다. 열의 변화량은 다음과 같고$$\frac{dH}{dt}=\iiint_{D}{c\rho u_{t}dxdydz}$$푸리에 법칙(Fourier's law)에 따르면 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로의 열흐름은 온도 그래디언트에 비례한다고 한다. 이때 경계를 제외한 \(D\)에서 열손실이 없다고 한다. 이것은 에너지 보존법칙과 같으므로 \(D\)에서의 열에너지의 변화량은 다음과 같이 경계를 지나는 열의 유량(flux)과 같고$$\frac{dH}{dt}=\iint_{\partial D}{\kappa(\mathbf{n}\cdot\nabla u)dS}$$여기서 \(\kappa\)는 열전도율이다. 따라서 발산정리에 의해 다음 등식이 성립하고$$\iiint_{D}{c\rho\frac{\partial u}{\partial t}dxdydz}=\iiint_{D}{\nabla(\kappa\nabla u)dxdydz}$$다음의 열방정식(heat equation)을 얻는다.$$c\rho\frac{\partial u}{\partial t}=\nabla\cdot(\kappa\nabla u)$$여기서 \(c\), \(\rho\), \(\kappa\)모두 상수이면, 열방정식은 확산방정식과 같게 된다.

6. 정상파와 정상확산

물리적 상태가 시간에 따라 변하지 않는 경우로 이때 \(u_{t}=u_{tt}=0\)이다. 그러면 이 상황에서 파동방정식과 확산방정식은 다음의 방정식으로 형태가 바뀌고$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$$이 방정식을 라플라스 방정식(Laplace equation)이라고 하고, 그 해를 조화함수(harmonic function)라고 한다.

7. 수소 원자

양성자(proton) 주위를 돌고 있는 전자(electron)가 있다. \(m\)을 전자의 질량, \(e\)를 전자의 전하량, \(\hslash\)를 플랑크 상수 \(h\)를 \(2\pi\)로 나눈 값이라고 하자. 좌표 \((x,\,y,\,z)\)의 원점에 양성자가 있다고 하고 \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)를 구면좌표계라고 하자. 그러면 전자의 운동은 파동함수 \(u(x,\,y,\,z,\,t)\)이고, 이 파동함수는 다음의 슈뢰딩거 방정식의 해이다.$$-i\hslash u_{t}=\frac{\hslash^{2}}{2m}\Delta u+\frac{e^{2}}{r}u$$이 방정식의 영역은 \(-\infty<x,\,y,\,z<\infty\)이고 \(\displaystyle\iiint_{\mathbb{R}^{3}}{|u|^{2}dxdydz}=1\)이다. 여기서 \(i=\sqrt{-1}\)이고 \(u\)는 복소함수이고, \(\displaystyle\frac{e^{2}}{r}\)는 위치에너지이다. 단일 전자를 갖는 다른 원자들(예: 헬륨)에 대해 \(e^{2}\)를 \(Ze^{2}\)로 대체할 수 있고, \(Z\)는 원자번호이다. 

파동함수 \(u(x,\,y,\,z,\,t)\)는 전자의 가능한 상태를 나타내고, \(D\)가 \(xyz\)공간상의 임의의 영역이라고 하면$$\iiint_{D}{|u|^{2}dxdydz}$$는 영역 \(D\)와 시간 \(t\)에서 전자를 발견할 확률이다. 시간 \(t\)일 때 \(z\)축에서 전자를 발견할 기댓값은 다음과 같다.$$\iiint_{\mathbb{R}^{3}}{z|u(x,\,y,\,z,\,t)|^{2}dxdydz}$$같은 방법으로 \(x\)축, \(y\)축에 대한 기댓값을 구할 수 있고, 모멘텀(momentum, 운동량)의 \(z\)축 기댓값은$$\iiint_{\mathbb{R}^{3}}{-ih\frac{\partial u}{\partial z}(x,\,y,\,z,\,t)\overline{u}(x,\,y,\,z,\,t)dxdydz}$$이고 여기서 \(\overline{u}\)는 \(u\)의 복소공액이다. 다른 관측가능한 양들은 연산자 \(A\)로 주어지고, \(A\)는 함수에서 작용하며, \(A\)의 기댓값은 다음과 같다.$$\iiint_{\mathbb{R}^{3}}{Au(x,\,y,\,z,\,t)\overline{u}(x,\,y,\,z,\,t)dxdydz}$$따라서 연산자 \(Au=\mathbf{x}u\,(\mathbf{x}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})\)에 의해 위치가 주어지고, 운동량은 연산자 \(Au=-ih\nabla u\)로 주어진다. 슈뢰딩거 방정식은 왜 원자가 안정하고 붕괴하지 않는가를 설명해 준다. 또한 수소 원자에 있는 전자의 에너지 레벨에 대해서도 설명한다. 다음은 \(n\)개 입자들에 대한 슈뢰딩거 방정식이다.$$i\hslash u_{t}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\hslash^{2}}{2m_{i}}(u_{x_{i}x_{i}}+u_{y_{i}y_{i}}+u_{z_{i}z_{i}})}+V(x_{1},\,...,\,z_{n})u$$여기서 \(V\)는 위치에너지 함수로 \(3n\)차원 좌표계에 의존한다. 이 \(n\)개의 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 너무 복잡해서 현대의 컴퓨터로도 풀 수 없다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley