[편미분방정식] 1. 편미분방정식이란?, 1계 선형방정식

[편미분방정식] 1. 편미분방정식이란?, 1계 선형방정식

편미분방정식(partial differential equation, PDE)은 2개 이상의 독립변수에 대한 미분방정식이다. 다변수함수 \(u(x,\,y,\,...)\)에 대해 \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=u_{x}\)로 나타내겠다. 다음의 편미분방정식$$F(x,\,y,\,u(x,\,y),\,u_{x}(x,\,y),\,u_{y}(x,\,y))=0$$은 1계 2변수 편미분방정식이고, 다음의 편미분방정식$$F(x,\,y,\,u(x,\,y),\,u_{x}(x,\,y),\,u_{y}(x,\,y),\,u_{xx}(x,\,y),\,u_{xy}(x,\,y),\,u_{yy}(x,\,y))=0$$은 2계 2변수 편미분방정식이다. 여기서 편미분방정식의 해는 \(u(x,\,y)\)이다. 다음은 편미분방정식 예시이다.$$\begin{align*}1.&\,u_{x}+u_{y}=0\,(\text{전달})\\2.&\,u_{x}+yu_{y}=0\,(\text{전달})\\3.&\,u_{x}+uu_{y}=0\,(\text{충격파})\\4.&\,u_{xx}+u_{yy}=0\,(\text{라플라스 방정식})\\5.&\,u_{tt}-u_{xx}+u^{3}=0\,(\text{상호작용파})\\6.&\,u_{t}+uu_{x}+u_{xxx}=0\,(\text{분산파})\\7.&\,u_{tt}+u_{xxxx}=0\,(\text{진동하는 막대})\\8.&\,u_{t}-iu_{xx}=0\,(i=\sqrt{-1})\,(\text{양자역학})\end{align*}$$위의 편미분방정식은 \(x\)와 \(y\) 또는 \(x\)와 \(t\)에 대한 미분방정식이고, 1과 3은 1계, 4와 5, 8은 2계, 6은 3계, 7은 4계이다. 3, 5, 8은 다른 방정식들과 달리 비선형(nonlinear)이다. 

선형(linear)의 의미는 다음과 같다: 연산자(operator) \(L\)이 선형이라는 것은 함수 \(u,\,v\)와 상수 \(c\)에 대하여 다음이 성립하는 것이다.$$L(u+v)=Lu+Lv,\,L(cu)=cLu$$이때 연산자 \(L\)을 선형연산자(linear operator)라고 한다. 선형연산자 \(L\)에 대하여 다음의 방정식을 선형방정식(linear equation)이라고 한다.$$Lu=0$$위의 방정식을 동차선형방정식(homogeneous linear equation)이라고 한다. 다음의 방정식을 비동차선형방정식(inhomogeneous linear equation)이라고 한다.$$Lu=g\,(g\neq0)$$방정식 \(Lu=0\)에 대한 선형성은 다음과 같은 이점이 있다: \(u\)와 \(v\) 둘다 방정식의 해이면, \(u+v\)도 해가 된다. 또한 \(u_{1},\,...,\,u_{n}\)들이 모두 해이면, 다음의 선형결합도 해가 된다.$$c_{1}u_{1}+\cdots+c_{n}u_{n}=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}u_{i}}\,(c_{i}\,\text{constant})$$또다른 결과로는 동차해와 비동차해를 합하면 비동차해가 된다. 선형결합과 선형연산자의 수학적 구조는 벡터공간이다. 다음은 몇 가지 편미분방정식들이다.

1. 방정식 \(u_{xx}=0\)을 만족하는 \(u(x,\,y)\)를 구하자. \(u\)는 \(x\)뿐만 아니라 \(y\)에 대한 함수이므로 \(u_{x}=f(y)\)이고 여기서 \(f(y)\)는 \(y\)에 대한 함수이다. 따라서 \(u(x,\,y)=f(y)x+g(y)\)이고 \(g(y)\)는 \(y\)만의 함수이다.     

2. 편미분방정식 \(u_{xx}+u=0\)의 해 \(u(x,\,y)\)를 구하자. 이 방정식은 겉으로 보기에는 \(x\)에 대한 상미분방정식이지만 변수 \(y\)도 고려해야 한다. 따라서 이 편미분방정식의 해는 다음과 같다.$$u(x,\,y)=f(y)\cos x+g(y)\sin x$$여기서 \(f(y)\), \(g(y)\)는 \(y\)에 대한 함수이다. 

3. 편미분방정식 \(u_{xy}=0\)의 해를 구하자. 먼저 \(x\)에 대해 적분하면(\(y\)는 상수로 취급) 다음과 같고,$$u_{y}(x,\,y)=f(y)$$여기서 \(f(y)\)는 \(y\)에 대한 함수이다. 다음으로 이 결과를 \(y\)에 대해 적분하면(\(x\)는 상수로 취급) 다음의 결과를 얻는다.$$u(x,\,y)=F(y)+G(x)$$여기서 \(F'=f\)이다. 

편미분방정식의 해에는 임의의 함수가 포함되어있다. 앞의 예시들에 있는 임의의 함수는 1변수 함수이고, \(u(x,\,y)\)는 \(x\)만의 함수와 \(y\)만의 함수의 합 또는 곱의 형태로 구성되어있다. 

가장 간단한 편미분방정식은 \(u_{x}=0\,(u=u(x,\,y))\)이고, 일반해는 \(u=f(y)\)이고 이것은 \(y\)에 대한 함수이다. 예를들어 \(u=y^{2}-y\)와 \(u=e^{y}\cos y\)모두 \(x\)에 대한 함수가 아니므로 이 편미분방정식의 해이다. 다음은 1계 선형방정식의 해를 구하는 방법이다.

다음의 방정식의 해를 구하자.$$au_{x}+bu_{y}=0\,(a\neq0,\,b\neq0)$$이 방정식은 기하학적 방법과 좌표 방법으로 풀 수 있다. 

기하학적 방법: \(au_{x}+bu_{y}\)는 이변수함수 \(u(x,\,y)\)의 벡터 \(\mathbf{V}=(a,\,b)+a\vec{i}+b\vec{j}\)의 방향도함수이고, 그 값은 0이 되어야 한다. 이것은 \(u(x,\,y)\)가 \(\mathbf{V}\)의 방향으로 상수이어야 함을 뜻한다. 벡터 \((b,\,-a)\)는 벡터 \(\mathbf{V}\)와 직교이고, 직선 \(bx-ay=c\)(\(c\)는 상수)는 \(\mathbf{V}\)와 평행한 직선이다.(이 직선들을 특성선(characteristic lines)이라고 한다.)(아래그림 참고)

이 방정식의 해는 직선에서 상수이므로 \(u(x,\,y)\)는 \(bx-ay\)에 의존하고 따라서 해는 다음과 같다.$$u(x,\,y)=f(bx-ay)$$여기서 \(f\)는 임의의 1변수함수이고 직선 \(bx-ay=c\)에서 \(u(x,\,y)\)는 상수이므로 \(u(x,\,y)\)는 상수이다. 

좌표 방법: 다음과 같이 변수변환을 한 다음(아래그림 참고)

$$x'=ax+by,\,y'=bx-ay$$\(u(x,\,y)\)에 다음과 같이 연쇄법칙을 이용한다.$$\begin{align*}u_{x}&=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial y}=au_{x'}+bu_{y'}\\u_{y}&=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x}=bu_{x'}-au_{y'}\end{align*}$$그러면$$au_{x}+bu_{y}=a(au_{x'}+bu_{y'})+b(bu_{x'}-au_{y'})=(a^{2}+b^{2})u_{x'}$$이고 \(a^{2}+b^{2}\neq0\)이므로 이 방정식은 \(u_{x'}=0\)의 형태가 된다. 따라서 방정식의 해는 다음과 같고$$u=f(y')=f(bx-ay)$$여기서 \(f\)는 임의의 1변수함수이고 기하학적 방법으로 구한 해와 같다.   

다음의 편미분방정식의 해를 구하자.$$4u_{x}-3u_{y}=0,\,u(0,\,y)=y^{3}$$그러면 \(u(x,\,y)=f(-3x-4y)\)이고 \(u(0,\,y)=y^{3}\)이므로 \(y^{3}=f(-4y)\)이다. \(w=-4y\)라고 하면 \(\displaystyle f(w)=-\frac{w^{3}}{64}\)이고 따라서 이 편미분방정식의 해는 다음과 같다.$$u(x,\,y)=\frac{1}{64}(3x+4y)^{3}$$

다음의 방정식$$u_{x}+yu_{y}=0$$은 선형 동차방정식이나 \(u_{y}\)에 \(y\)가 곱해져있다. 이 방정식은 기하학적 방법으로 풀 수 있다.

이 편미분방정식은 벡터 \((1,\,y)\)에 대한 \(u\)의 방향도함수이고, 이 방향도함수는 0이어야 한다. \(xy\)평면에서 \((1,\,y)\)를 접선벡터로 갖는 곡선의 기울기는 \(y\)이다.(아래그림 참고)

이 방정식은 다음과 같은 상미분방정식이고$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{1}$$이 상미분방정식의 해는 \(y=ce^{x}\)이다. 이러한 곡선들은 이 편미분방정식의 특성곡선(characteristic curves)이라고 한다. \(c\)의 값이 변함에 따라 \(xy\)평면은 곡선 \(y=ce^{x}\)로 채워지고 곡선들은 서로 교차하지 않는다. 곡선 \(u(x,\,y)\)는 상수여야 하는데 그 이유는 다음과 같다.$$\frac{d}{dx}u(x,\,Ce^{x})=\frac{\partial u}{\partial x}+Ce^{x}\frac{\partial u}{\partial y}=u_{x}+yu_{x}=0$$따라서 \(u(x,\,Ce^{x})=u(0,\,ce^{0})=u(0,\,c)\)(\(u\)는 상수)는 \(x\)에 독립적이고 \(c=e^{-x}y\)라고 하면 이 편미분방정식의 해를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u(x,\,y)=f(e^{-x}y)$$이것은 편미분방정식의 일반해이고, \(f\)는 일변수함수이다. 

다음의 편미분방정식의 해를 구하자.$$u_{x}+yu_{y}=0,\,u(0,\,y)=y^{3}$$\(x=0\)이라고 하면 \(y^{3}=f(e^{-0}y)=f(y)\)이고 따라서 해는 \(u(x,\,y)=(e^{-x}y)^{3}=e^{-3x}y^{3}\)이다. 

다음의 편미분방정식의 해를 구하자.$$u_{x}+2xy^{2}u_{y}=0$$특성곡선은 다음의 상미분방정식을 만족하고$$\frac{dy}{dx}=\frac{2xy^{2}}{1}=2xy^{2}$$변수분리법을 이용하면$$\frac{1}{y^{2}}dy=2xdx$$이므로$$-\frac{1}{y}=x^{2}-C$$이다. \(u(x,\,y)\)는 곡선에서 상수이므로 \(u(x,\,y)=f(C)\)이고 여기서 \(f\)는 임의의 함수이다. 따라서 편미분방정식 \(u_{x}+2xy^{2}u_{y}=0\)의 해는 다음과 같다.$$u(x,\,y)=f\left(x^{2}+\frac{1}{y}\right)$$요약하자면 1계 선형 편미분방정식$$a(x,\,y)u_{x}+b(x,\,y)u_{y}=0$$을 다음의 상미분방정식$$\frac{dy}{dx}=\frac{b(x,\,y)}{a(x,\,y)}$$로 나타낼 수 있고, 모든 편미분방정식의 해는 상미분방정식의 해곡선에서 상수이다.

참고자료: 

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley