[편미분방정식] 1. 편미분방정식이란?, 1계 선형방정식

[편미분방정식] 1. 편미분방정식이란?, 1계 선형방정식

편미분방정식(partial differential equation, PDE)은 2개 이상의 독립변수에 대한 미분방정식이다. 다변수함수 $u(x,\,y,\,...)$에 대해 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=u_{x}$로 나타내겠다. 다음의 편미분방정식

$$F(x,\,y,\,u(x,\,y),\,u_{x}(x,\,y),\,u_{y}(x,\,y))=0$$ 은 1계 2변수 편미분방정식이고, 다음의 편미분방정식 $$F(x,\,y,\,u(x,\,y),\,u_{x}(x,\,y),\,u_{y}(x,\,y),\,u_{xx}(x,\,y),\,u_{xy}(x,\,y),\,u_{yy}(x,\,y))=0$$ 은 2계 2변수 편미분방정식이다. 여기서 편미분방정식의 해는 $u(x,\,y)$이다. 다음은 편미분방정식 예시이다. $$\begin{align*}1.&\,u_{x}+u_{y}=0\,(\text{전달})\\2.&\,u_{x}+yu_{y}=0\,(\text{전달})\\3.&\,u_{x}+uu_{y}=0\,(\text{충격파})\\4.&\,u_{xx}+u_{yy}=0\,(\text{라플라스 방정식})\\5.&\,u_{tt}-u_{xx}+u^{3}=0\,(\text{상호작용파})\\6.&\,u_{t}+uu_{x}+u_{xxx}=0\,(\text{분산파})\\7.&\,u_{tt}+u_{xxxx}=0\,(\text{진동하는 막대})\\8.&\,u_{t}-iu_{xx}=0\,(i=\sqrt{-1})\,(\text{양자역학})\end{align*}$$ 위의 편미분방정식은 $x$와 $y$ 또는 $x$와 $t$에 대한 미분방정식이고, 1과 3은 1계, 4와 5, 8은 2계, 6은 3계, 7은 4계이다. 3, 5, 8은 다른 방정식들과 달리 비선형(nonlinear)이다. 

선형(linear)의 의미는 다음과 같다: 연산자(operator) $L$이 선형이라는 것은 함수 $u,\,v$와 상수 $c$에 대하여 다음이 성립하는 것이다.

$$L(u+v)=Lu+Lv,\,L(cu)=cLu$$ 이때 연산자 $L$을 선형연산자(linear operator)라고 한다. 선형연산자 $L$에 대하여 다음의 방정식을 선형방정식(linear equation)이라고 한다. $$Lu=0$$ 위의 방정식을 동차선형방정식(homogeneous linear equation)이라고 한다. 다음의 방정식을 비동차선형방정식(inhomogeneous linear equation)이라고 한다. $$Lu=g\,(g\neq0)$$ 방정식 $Lu=0$에 대한 선형성은 다음과 같은 이점이 있다: $u$와 $v$ 둘다 방정식의 해이면, $u+v$도 해가 된다. 또한 $u_{1},\,...,\,u_{n}$들이 모두 해이면, 다음의 선형결합도 해가 된다. $$c_{1}u_{1}+\cdots+c_{n}u_{n}=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}u_{i}}\,(c_{i}\,\text{constant})$$ 또다른 결과로는 동차해와 비동차해를 합하면 비동차해가 된다. 선형결합과 선형연산자의 수학적 구조는 벡터공간이다. 다음은 몇 가지 편미분방정식들이다.

1. 방정식 $u_{xx}=0$을 만족하는 $u(x,\,y)$를 구하자. $u$는 $x$뿐만 아니라 $y$에 대한 함수이므로 $u_{x}=f(y)$이고 여기서 $f(y)$는 $y$에 대한 함수이다. 따라서 $u(x,\,y)=f(y)x+g(y)$이고 $g(y)$는 $y$만의 함수이다.     

2. 편미분방정식 $u_{xx}+u=0$의 해 $u(x,\,y)$를 구하자. 이 방정식은 겉으로 보기에는 $x$에 대한 상미분방정식이지만 변수 $y$도 고려해야 한다. 따라서 이 편미분방정식의 해는 다음과 같다.

$$u(x,\,y)=f(y)\cos x+g(y)\sin x$$ 여기서 $f(y)$, $g(y)$는 $y$에 대한 함수이다. 

3. 편미분방정식 $u_{xy}=0$의 해를 구하자. 먼저 $x$에 대해 적분하면($y$는 상수로 취급) 다음과 같고,

$$u_{y}(x,\,y)=f(y)$$ 여기서 $f(y)$는 $y$에 대한 함수이다. 다음으로 이 결과를 $y$에 대해 적분하면($x$는 상수로 취급) 다음의 결과를 얻는다. $$u(x,\,y)=F(y)+G(x)$$ 여기서 $F'=f$이다. 

편미분방정식의 해에는 임의의 함수가 포함되어있다. 앞의 예시들에 있는 임의의 함수는 1변수 함수이고, $u(x,\,y)$는 $x$만의 함수와 $y$만의 함수의 합 또는 곱의 형태로 구성되어있다. 

가장 간단한 편미분방정식은 $u_{x}=0\,(u=u(x,\,y))$이고, 일반해는 $u=f(y)$이고 이것은 $y$에 대한 함수이다. 예를들어 $u=y^{2}-y$와 $u=e^{y}\cos y$모두 $x$에 대한 함수가 아니므로 이 편미분방정식의 해이다. 다음은 1계 선형방정식의 해를 구하는 방법이다.

다음의 방정식의 해를 구하자.

$$au_{x}+bu_{y}=0\,(a\neq0,\,b\neq0)$$ 이 방정식은 기하학적 방법과 좌표 방법으로 풀 수 있다. 

기하학적 방법: $au_{x}+bu_{y}$는 이변수함수 $u(x,\,y)$의 벡터 $\mathbf{V}=(a,\,b)+a\vec{i}+b\vec{j}$의 방향도함수이고, 그 값은 0이 되어야 한다. 이것은 $u(x,\,y)$가 $\mathbf{V}$의 방향으로 상수이어야 함을 뜻한다. 벡터 $(b,\,-a)$는 벡터 $\mathbf{V}$와 직교이고, 직선 $bx-ay=c$($c$는 상수)는 $\mathbf{V}$와 평행한 직선이다.(이 직선들을 특성선(characteristic lines)이라고 한다.)(아래그림 참고)

이 방정식의 해는 직선에서 상수이므로 $u(x,\,y)$는 $bx-ay$에 의존하고 따라서 해는 다음과 같다.

$$u(x,\,y)=f(bx-ay)$$ 여기서 $f$는 임의의 1변수함수이고 직선 $bx-ay=c$에서 $u(x,\,y)$는 상수이므로 $u(x,\,y)$는 상수이다. 

좌표 방법: 다음과 같이 변수변환을 한 다음(아래그림 참고)

$$x'=ax+by,\,y'=bx-ay$$ $u(x,\,y)$에 다음과 같이 연쇄법칙을 이용한다. $$\begin{align*}u_{x}&=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial y}=au_{x'}+bu_{y'}\\u_{y}&=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x}=bu_{x'}-au_{y'}\end{align*}$$ 그러면 $$au_{x}+bu_{y}=a(au_{x'}+bu_{y'})+b(bu_{x'}-au_{y'})=(a^{2}+b^{2})u_{x'}$$ 이고 $a^{2}+b^{2}\neq0$이므로 이 방정식은 $u_{x'}=0$의 형태가 된다. 따라서 방정식의 해는 다음과 같고 $$u=f(y')=f(bx-ay)$$ 여기서 $f$는 임의의 1변수함수이고 기하학적 방법으로 구한 해와 같다.   

다음의 편미분방정식의 해를 구하자.

$$4u_{x}-3u_{y}=0,\,u(0,\,y)=y^{3}$$ 그러면 $u(x,\,y)=f(-3x-4y)$이고 $u(0,\,y)=y^{3}$이므로 $y^{3}=f(-4y)$이다. $w=-4y$라고 하면 $\displaystyle f(w)=-\frac{w^{3}}{64}$이고 따라서 이 편미분방정식의 해는 다음과 같다. $$u(x,\,y)=\frac{1}{64}(3x+4y)^{3}$$

다음의 방정식

$$u_{x}+yu_{y}=0$$ 은 선형 동차방정식이나 $u_{y}$에 $y$가 곱해져있다. 이 방정식은 기하학적 방법으로 풀 수 있다.

이 편미분방정식은 벡터 $(1,\,y)$에 대한 $u$의 방향도함수이고, 이 방향도함수는 0이어야 한다. $xy$평면에서 $(1,\,y)$를 접선벡터로 갖는 곡선의 기울기는 $y$이다.(아래그림 참고)

이 방정식은 다음과 같은 상미분방정식이고

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{1}$$ 이 상미분방정식의 해는 $y=ce^{x}$이다. 이러한 곡선들은 이 편미분방정식의 특성곡선(characteristic curves)이라고 한다. $c$의 값이 변함에 따라 $xy$평면은 곡선 $y=ce^{x}$로 채워지고 곡선들은 서로 교차하지 않는다. 곡선 $u(x,\,y)$는 상수여야 하는데 그 이유는 다음과 같다. $$\frac{d}{dx}u(x,\,Ce^{x})=\frac{\partial u}{\partial x}+Ce^{x}\frac{\partial u}{\partial y}=u_{x}+yu_{x}=0$$ 따라서 $u(x,\,Ce^{x})=u(0,\,ce^{0})=u(0,\,c)$($u$는 상수)는 $x$에 독립적이고 $c=e^{-x}y$라고 하면 이 편미분방정식의 해를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u(x,\,y)=f(e^{-x}y)$$ 이것은 편미분방정식의 일반해이고, $f$는 일변수함수이다. 

다음의 편미분방정식의 해를 구하자.

$$u_{x}+yu_{y}=0,\,u(0,\,y)=y^{3}$$ $x=0$이라고 하면 $y^{3}=f(e^{-0}y)=f(y)$이고 따라서 해는 $u(x,\,y)=(e^{-x}y)^{3}=e^{-3x}y^{3}$이다. 

다음의 편미분방정식의 해를 구하자.

$$u_{x}+2xy^{2}u_{y}=0$$ 특성곡선은 다음의 상미분방정식을 만족하고 $$\frac{dy}{dx}=\frac{2xy^{2}}{1}=2xy^{2}$$ 변수분리법을 이용하면 $$\frac{1}{y^{2}}dy=2xdx$$ 이므로 $$-\frac{1}{y}=x^{2}-C$$ 이다. $u(x,\,y)$는 곡선에서 상수이므로 $u(x,\,y)=f(C)$이고 여기서 $f$는 임의의 함수이다. 따라서 편미분방정식 $u_{x}+2xy^{2}u_{y}=0$의 해는 다음과 같다. $$u(x,\,y)=f\left(x^{2}+\frac{1}{y}\right)$$ 요약하자면 1계 선형 편미분방정식 $$a(x,\,y)u_{x}+b(x,\,y)u_{y}=0$$ 을 다음의 상미분방정식 $$\frac{dy}{dx}=\frac{b(x,\,y)}{a(x,\,y)}$$ 로 나타낼 수 있고, 모든 편미분방정식의 해는 상미분방정식의 해곡선에서 상수이다.

참고자료: 

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley