[편미분방정식] 5. 변수분리법과 디리클레 조건

[편미분방정식] 5. 변수분리법과 디리클레 조건

다음의 파동방정식에 대한 동차 디리클레 조건(Dirichlet conditions)을 고려하자.$$\begin{align*}u_{tt}&=c^{2}u_{xx}\,(0<x<l)\\u(0,\,t)&=0=u(l,\,t)\\u(x,\,0)&=\phi(x),\,u_{t}(x,\,0)=\psi(x)\end{align*}$$이 파동방정식의 변수분리해(separated solution)는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=X(x)T(t)$$이 변수분리해를 파동방정식에 대입하면$$X(x)T''(t)=c^{2}X''(x)T(t)$$이고 이 식을 \(-c^{2}XT\)로 나누면 다음과 같다.$$-\frac{T''}{c^{2}T}$$여기서 \(\lambda\)는 양의 상수이어야 하고, \(\lambda=\beta^{2}\,(\beta>0)\)라고 하자. 그러면 위의 식을 다음과 같이 \(X(x)\)와 \(T(t)\)만의 상미분방정식으로 나타낼 수 있고,$$X''+\beta^{2}X=0,\,T''+c^{2}\beta^{2}T=0$$이 상미분방정식들의 해는 다음과 같다.$$\begin{align*}X(x)&=C\cos\beta x+D\sin\beta x\\T(t)&=A\cos\beta ct+B\sin\beta ct\end{align*}$$\(A,\,B,\,C,\,D\)는 상수이고 조건 \(u(0,\,t)=0=u(l,\,t)\)로부터 \(X(0)=0=X(l)\)이어야 하고 따라서 다음과 같아야 한다.$$0=X(0)=C,\,0=X(l)=D\sin\beta l$$이때 \(D=0\)이면 자명하므로 \(\beta l=n\pi\)이어야 하고 따라서 다음과 같아야 한다.$$\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2},\,X_{n}(x)=\sin\frac{n\pi x}{l}\,(n\in\mathbb{N})$$이것은 파동방정식의 변수분리해의 개수가 무한함을 뜻하고, 각 \(n\)에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u_{n}(x,\,t)=\left(A_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}\right)\sin\frac{n\pi x}{l}$$여기서 \(A_{n}\), \(B_{n}\)은 상수이고 해들의 합은 해가 되므로 다음의 유한합$$u(x,\,t)=\sum_{n}{\left(A_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}\right)\sin\frac{n\pi x}{l}}$$도 파동방정식의 해가 된다. 이때 다음 식이 성립한다.$$\phi(x)=\sum_{n}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}},\,\psi(x)=\sum_{n}{\frac{n\pi c}{l}B_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$다음의 그래프는 \(\displaystyle\sin\frac{\pi x}{l},\,\sin\frac{2\pi x}{l},\,...\)들의 그래프를 나타낸 것이다.

\(T(t)\)에 대한 식으로부터 \(\displaystyle\frac{n\pi c}{l}\)이 주파수(frequency)가 됨을 알 수 있다. 바이올린 같은 현악기의 주파수는 다음과 같다.$$\frac{n\pi\sqrt{T}}{l\sqrt{\rho}}$$

다음은 확산방정식이다.$$\begin{align*}u_{t}&=ku_{xx}\,(0<x<l,\,0<t<\infty)\\u(0,\,t)&=u(l,\,t)=0\\u(x,\,0)&=\phi(x)\end{align*}$$이 방정식을 변수분리 방법으로 풀면 \(u=X(x)T(t)\)로 나타낼 수 있고, 다음의 식을 얻는다.$$\frac{T'}{kT}=\frac{X''}{X}=-\lambda(\text{constant})$$그러므로 \(T(t)\)는 상미분방정식 \(T'=-\lambda kT\)를 만족하고 그 해는 \(T(t)=Ae^{-\lambda kt}\)이다. 게다가$$-X''=\lambda X\,(0<x<l,\,X(0)=X(l)=0)$$이고 파동방정식과 같은 풀이과정으로부터 \(u(x,\,t)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}e^{-\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}kt}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$그 이유는 \(\phi(x)\)가 다음과 같기 때문이다.$$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$앞에서 구했던 \(\displaystyle\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}\)을 고유값(eigenvalue), 함수 \(\displaystyle X_{n}(x)=\sin\frac{n\pi x}{l}\)을 고유함수(eigenfunction)라고 한다. 고유함수는 다음의 조건을 만족한다.$$-\frac{d^{2}}{dx^{2}}X=\lambda X,\,X(0)=X(l)=0$$\(A\)를 연산자 \(\displaystyle A=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}\)라고 하자. 그러면 위의 상미분방정식을 \(AX=\lambda X\)로 나타낼 수 있다.

\(A\)를 \(N\times N\)행렬, \(X(\neq\mathbf{O})\)를 벡터라 하고 식 \(AX=\lambda X\)를 만족한다고 하자. 그러면 \(\lambda\)는 \(A\)의 고유값이고 최대 \(N\)개를 가지며, \(X\)는 고유벡터이고 최대 \(N\)개를 갖는다.

그러나 \(A\)가 미분연산자이면 고유값은 다음과 같이 무한개이다.$$\frac{\pi^{2}}{l^{2}},\,\frac{4\pi^{2}}{l^{2}},\,\frac{9\pi^{2}}{l^{2}},\,...$$물리학과 공학에서 고유함수를 정규모드(normal mode)라고 한다. 

미분연산자에 대한 고유값이 0이거나 음수일 경우 어떤 일이 일어날까?

1. \(\lambda=0\)을 고유값이라고 하자. 그러면 \(X''=0\)이고 \(X=C+Dx\)가 되는데 \(X(0)=X(l)=0\)이므로 \(C=D=0\)이고 \(X(x)=0\)이 되므로 따라서 \(0\)은 고유값이 아니다. 

2. \(\lambda<0\)이라고 하면 \(\lambda=-\gamma^{2}\)로 나타낼 수 있고, \(X''=\gamma^{2}X\)이므로 \(X(x)=C\cosh\gamma x+D\sinh\gamma x\)이다. 경계조건 \(0=X(0)=C\), \(0=X(l)=D\sinh\gamma l\)으로부터 \(D=0\)인데 그 이유는 \(\sinh\gamma l\neq0\)이기 때문이다. 따라서 음수도 고유값이 아니다. 

\(\lambda\)를 복소수라 하면 \(\gamma^{2}=-\lambda\)로 나타낼 수 있고, \(X(x)=Ce^{\gamma x}+De^{-\gamma x}\)이다. 경계조건 \(0=X(0)=C+D\)과 \(0=Ce^{\gamma l}+De^{-\gamma l}\)로부터 \(e^{2\gamma l}=1\)이고$$2l\text{Re}\gamma=0,\,2l\text{Im}\gamma=2\pi n$$이므로 \(\displaystyle\gamma=\frac{n\pi i}{l}\)이고 \(\displaystyle\lambda=-\gamma^{2}=\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}\)이므로 다음의 고유값들을 갖는다.$$\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2},\,\left(\frac{2\pi}{l}\right)^{2},\,...$$위의 결과로부터 미분연산자에 대한 고유값은 항상 양수이다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley