[편미분방정식] 5. 변수분리법과 디리클레 조건

[편미분방정식] 5. 변수분리법과 디리클레 조건

다음의 파동방정식에 대한 동차 디리클레 조건(Dirichlet conditions)을 고려하자. $$\begin{align*}u_{tt}&=c^{2}u_{xx}\,(0<x<l)\\u(0,\,t)&=0=u(l,\,t)\\u(x,\,0)&=\phi(x),\,u_{t}(x,\,0)=\psi(x)\end{align*}$$ 이 파동방정식의 변수분리해(separated solution)는 다음과 같다. $$u(x,\,t)=X(x)T(t)$$ 이 변수분리해를 파동방정식에 대입하면 $$X(x)T''(t)=c^{2}X''(x)T(t)$$ 이고 이 식을 $-c^{2}XT$로 나누면 다음과 같다. $$-\frac{T''}{c^{2}T}$$ 여기서 $\lambda$는 양의 상수이어야 하고, $\lambda=\beta^{2}\,(\beta>0)$라고 하자. 그러면 위의 식을 다음과 같이 $X(x)$와 $T(t)$만의 상미분방정식으로 나타낼 수 있고, $$X''+\beta^{2}X=0,\,T''+c^{2}\beta^{2}T=0$$ 이 상미분방정식들의 해는 다음과 같다. $$\begin{align*}X(x)&=C\cos\beta x+D\sin\beta x\\T(t)&=A\cos\beta ct+B\sin\beta ct\end{align*}$$ $A,\,B,\,C,\,D$는 상수이고 조건 $u(0,\,t)=0=u(l,\,t)$로부터 $X(0)=0=X(l)$이어야 하고 따라서 다음과 같아야 한다. $$0=X(0)=C,\,0=X(l)=D\sin\beta l$$ 이때 $D=0$이면 자명하므로 $\beta l=n\pi$이어야 하고 따라서 다음과 같아야 한다. $$\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2},\,X_{n}(x)=\sin\frac{n\pi x}{l}\,(n\in\mathbb{N})$$ 이것은 파동방정식의 변수분리해의 개수가 무한함을 뜻하고, 각 $n$에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u_{n}(x,\,t)=\left(A_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}\right)\sin\frac{n\pi x}{l}$$ 여기서 $A_{n}$, $B_{n}$은 상수이고 해들의 합은 해가 되므로 다음의 유한합 $$u(x,\,t)=\sum_{n}{\left(A_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}\right)\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 도 파동방정식의 해가 된다. 이때 다음 식이 성립한다. $$\phi(x)=\sum_{n}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}},\,\psi(x)=\sum_{n}{\frac{n\pi c}{l}B_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 다음의 그래프는 $\displaystyle\sin\frac{\pi x}{l},\,\sin\frac{2\pi x}{l},\,...$들의 그래프를 나타낸 것이다.

$T(t)$에 대한 식으로부터 $\displaystyle\frac{n\pi c}{l}$이 주파수(frequency)가 됨을 알 수 있다. 바이올린 같은 현악기의 주파수는 다음과 같다. $$\frac{n\pi\sqrt{T}}{l\sqrt{\rho}}$$

다음은 확산방정식이다. $$\begin{align*}u_{t}&=ku_{xx}\,(0<x<l,\,0<t<\infty)\\u(0,\,t)&=u(l,\,t)=0\\u(x,\,0)&=\phi(x)\end{align*}$$ 이 방정식을 변수분리 방법으로 풀면 $u=X(x)T(t)$로 나타낼 수 있고, 다음의 식을 얻는다. $$\frac{T'}{kT}=\frac{X''}{X}=-\lambda(\text{constant})$$ 그러므로 $T(t)$는 상미분방정식 $T'=-\lambda kT$를 만족하고 그 해는 $T(t)=Ae^{-\lambda kt}$이다. 게다가 $$-X''=\lambda X\,(0<x<l,\,X(0)=X(l)=0)$$ 이고 파동방정식과 같은 풀이과정으로부터 $u(x,\,t)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}e^{-\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}kt}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 그 이유는 $\phi(x)$가 다음과 같기 때문이다. $$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 앞에서 구했던 $\displaystyle\lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{2}$을 고유값(eigenvalue), 함수 $\displaystyle X_{n}(x)=\sin\frac{n\pi x}{l}$을 고유함수(eigenfunction)라고 한다. 고유함수는 다음의 조건을 만족한다. $$-\frac{d^{2}}{dx^{2}}X=\lambda X,\,X(0)=X(l)=0$$ $A$를 연산자 $\displaystyle A=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}$라고 하자. 그러면 위의 상미분방정식을 $AX=\lambda X$로 나타낼 수 있다.

$A$를 $N\times N$행렬, $X(\neq\mathbf{O})$를 벡터라 하고 식 $AX=\lambda X$를 만족한다고 하자. 그러면 $\lambda$는 $A$의 고유값이고 최대 $N$개를 가지며, $X$는 고유벡터이고 최대 $N$개를 갖는다.

그러나 $A$가 미분연산자이면 고유값은 다음과 같이 무한개이다. $$\frac{\pi^{2}}{l^{2}},\,\frac{4\pi^{2}}{l^{2}},\,\frac{9\pi^{2}}{l^{2}},\,...$$ 물리학과 공학에서 고유함수를 정규모드(normal mode)라고 한다. 

미분연산자에 대한 고유값이 0이거나 음수일 경우 어떤 일이 일어날까?

1. $\lambda=0$을 고유값이라고 하자. 그러면 $X''=0$이고 $X=C+Dx$가 되는데 $X(0)=X(l)=0$이므로 $C=D=0$이고 $X(x)=0$이 되므로 따라서 $0$은 고유값이 아니다. 

2. $\lambda<0$이라고 하면 $\lambda=-\gamma^{2}$로 나타낼 수 있고, $X''=\gamma^{2}X$이므로 $X(x)=C\cosh\gamma x+D\sinh\gamma x$이다. 경계조건 $0=X(0)=C$, $0=X(l)=D\sinh\gamma l$으로부터 $D=0$인데 그 이유는 $\sinh\gamma l\neq0$이기 때문이다. 따라서 음수도 고유값이 아니다. 

$\lambda$를 복소수라 하면 $\gamma^{2}=-\lambda$로 나타낼 수 있고, $X(x)=Ce^{\gamma x}+De^{-\gamma x}$이다. 경계조건 $0=X(0)=C+D$과 $0=Ce^{\gamma l}+De^{-\gamma l}$로부터 $e^{2\gamma l}=1$이고 $$2l\text{Re}\gamma=0,\,2l\text{Im}\gamma=2\pi n$$ 이므로 $\displaystyle\gamma=\frac{n\pi i}{l}$이고 $\displaystyle\lambda=-\gamma^{2}=\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}$이므로 다음의 고유값들을 갖는다. $$\left(\frac{\pi}{l}\right)^{2},\,\left(\frac{2\pi}{l}\right)^{2},\,...$$ 위의 결과로부터 미분연산자에 대한 고유값은 항상 양수이다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley