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[편미분방정식] 3. 초기, 경계조건, 잘 제시된 문제, 2계방정식



편미분방정식은 무수히 많은 해를 갖기 때문에 조건을 추가해서 해를 결정해야 한다. 이러한 조건들은 물리학에서 유래했고, 초기조건(initial condition)과 경계조건(boundary condition)이 있다. 

초기조건은 보통 특정시간 t0에서의 물리적 상태를 나타낸다. 확산방정식에서의 초기조건은 다음과 같고u(x,t0)=ϕ(x)여기서 ϕ(x)=ϕ(x,y,z)는 3변수 함수이다. 확산되는 물질에 대해 ϕ(x)는 초기 농도이고, 열흐름에 대해서 ϕ(x)는 초기 온도이다. 슈뢰딩거 방정식에 대해서도 ϕ(x)는 보통 초기조건이다. 파동방정식의 경우 다음의 두 가지 초기조건이 있다.u(x,t0)=ϕ(x),ut(x,t0)=ψ(x)ϕ(x)는 초기조건이고 ψ(x)는 초기 속도이다. 


물리 문제마다 편미분방정식이 유효한 정의역 D가 존재한다. 현의 진동에서 D는 구간 0<x<l이고, D의 경계는 두 점 x=0x=l이다. 박막의 진동에서의 정의역은 평면 영역이고, 경계는 닫힌 곡선이다. 확산되는 화학물질의 경우, D는 액체를 담고있는 용기이므로 그 경계는 표면 S=D이다. 수소원자의 경우, 정의역이 공간 전체이므로 경계는 없다. 

다음은 3가지 중요한 경계조건들이다. 

(D) u가 명확하게 서술되어 있다. (디리클레 조건)   

(N) 법선도함수 un이 명확하게 서술되어 있다. (노이만 조건)  

(R) un+au(a=a(x,y,z,t))가 명확하게 서술되어 있다. (로빈 조건) 

위의 3가지 조건들은 모든 tx=(x,y,z)D에 대해 성립한다. 보통 위의 (D), (N), (R)을 방정식으로 나타내는데 예를들어서 (N)은 다음과 같이 나타낸다.un=g(x,t)여기서 g는 경계기준선이다. 위의 경계조건들 모두에서 g(x,t)=0이면, 동차(homogeneous)라 하고, 그렇지 않으면 비동차(inhomogeneous)라고 한다. n=(n1,n2,n3)D 바깥 방향으로의 단위법선벡터이고(아래그림 참고)

un=nuu의 바깥 법선방향으로의 방향도함수이다. 

1차원 문제에서 D는 구간 0<x<l이고 경계는 양 끝의 두 점이고, 이러한 경계조건들은 다음과 같이 단순하다.(D)u(0,t)=g(t),u(l,t)=h(t)(N)ux(0,t)=g(t),ux(l,t)=h(t)로빈 조건(R) 또한 비슷하게 단순하다. 


잘 제시된 문제(well-posed problem)는 초기조건 또는 경계조건을 포함한 편미분방정식 문제이다. 다음은 잘 제시된 문제의 3가지 성질들이다.

(i) 존재성(existence): 모든 조건을 만족시키는 해 u(x,t)가 적어도 하나 존재한다.  

(ii) 유일성(uniqueness): 해는 단 한 개이다.  

(iii) 안정성(stability): 유일해 u(x,t)는 문제의 조건들의 안정성에 의존한다. 즉 조건들이 약간 변하면, 대응되는 해도 약간 변한다는 것이다.    


라플라스 방정식은 uxx+uyy=0이고 파동방정식은 uxxuyy=0이다. 이 두 방정식은 서로 다른 성질을 갖고있다. 대수방정식 x2+y2=1은 원을 나타내고 x2y2=1은 쌍곡선을 나타낸다. 일반적으로 다음의 편미분방정식a11uxx+2a12uxy+a22uyy+a1ux+a2uy+a0u=0은 2계 선형방정식이고 6개의 상수계수를 갖는다(여기서 2는 편의를 위해 나타냈다).


독립변수들의 선형변환을 통해 위의 방정식은 다음의 3가지 중 하나의 형태가 될 수 있다.

(i) 타원(elliptic)형: a212<a11a22이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.uxx+uyy+=0(는 1계 이하의 항들이다). 

(ii) 쌍곡(hyperbolic)형: a212>a11a22이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.uxxuyy+=0 

(iii) 포물(parabolic)형: a212=a11a22이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.uxx+=0(a110, a120, a220).

편의를 위해 a11=1, a1=a2=a0=0이라고 하자. 그러면 2계 선형방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고(x+a12y)2+(a22a212)2yu=0여기서 x, 2y는 다음과 같다.x=x,2y=2y2타원형의 경우 a212<a22이므로 b=a22a212라고 하고 새로운 변수 ξη를 도입해 다음과 같다고 하자.x=ξ,y=a12ξ+bη그러면 연쇄법칙에 의해ξ=1x+a12y,η=0x+by이고 이 2계 선형방정식은 다음과 같은 라플라스 방정식이 된다.2ξu+2ηu=0나머지도 비슷한 방법으로 보일 수 있다.   


다음의 편미분방정식에서(1)uxx5uxy=0(2)4uxx12uxy+9uyy+uy=0(3)4uxx+6uxy+9uyy=0(1)의 경우, (52)210=254>0이므로 쌍곡형이고, (2)의 경우, (6)249=0이므로 포물형, (3)의 경우 3249=27<0이므로 타원형이다.            

n개의 변수 x1,...,xn이 있다고 하자. 이 경우 2계 선형방정식은 다음과 같다.ni,j=1aijuxixj+ni=1a1uxi+a0u=0여기서 aij, ai, a0는 상수계수이다. uxixj=uxjxi이므로 aij=aji라고 할 수 있다. x=(x1,...,xn)라 하고 다음과 같이 선형변환을 하자.(ξ1,...,ξn)=ξ=Bx여기서 Bn×n행렬로 다음이 성립한다.ξk=mbkmxm연쇄법칙을 이용하여 다음과 같이 새로운 변수로 변수변환하고xi=kξkxiξ다음을 이용하면uxixj=(kbkiξk)(lbljξl)u그러므로 편미분방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.i,jaijuxixj=k,l(i,jbkiaijblj)uξkξl위의 편미분방정식의 계수행렬은 다음과 같고BABT여기서 A=aij는 원래 방정식의 계수행렬, B=bij는 변환된 계수행렬, BT=bjiB의 전치행렬이다.

임의의 대칭행렬에 대한 선형대수학의 정리에 의해 회전행렬 B(판별식이 1인 직교행렬)가 존재해서 BABT는 다음과 같은 대각행렬이 된다.BABT=D=(d1d2dn)d1,...,dn들은 A의 고유값이다. D에서 d의 값이 +1, 1 또는 0인 대각행렬로 바꿀 수 있고, 따라서 변수가 n개인 2계 선형방정식은 선형변수변환을 통해 대각행렬인 계수행렬을 갖는 2계 선형방정식으로 변환할 수 있다.


n변수 2계 선형방정식에서 모든 고유값 d1,...,dn들이 모두 양수이거나 음수이면 타원형(elliptic), d1,...,dn모두 0이 아니고 1개의 부호가 나머지 n1개와 다르면 쌍곡형(hyperbolic), d1,...,dn모두 0이 아니고 적어도 2개 이상 양수이고 적어도 2개 이상 음수이면 초쌍곡형(ultrahyperbolic, 물리나 수학에서 드물게 나타난다), d1,...,dn중 정확히 1개만 0이고 나머지들이 같은 부호를 가지면, 포물형(parabolic)이라고 한다. 

좀 더 일반적으로, 계수들이 모두 변수이면 즉 aijx의 함수이면 이 2계 선형방정식은 한 영역에서 타원형이고 나머지 영역에서 쌍곡형이다.


다음의 2계 선형방정식을 고려하자.yuxx2uxy+xuxx=0(1)2yx=1xy이므로 쌍곡선 xy=1에서 포물형, 영역 xy>1에서 포물형, 영역 xy<1에서 쌍곡형이다. 


참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley     

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Posted by skywalker222