[편미분방정식] 3. 초기, 경계조건, 잘 제시된 문제, 2계방정식

[편미분방정식] 3. 초기, 경계조건, 잘 제시된 문제, 2계방정식

편미분방정식은 무수히 많은 해를 갖기 때문에 조건을 추가해서 해를 결정해야 한다. 이러한 조건들은 물리학에서 유래했고, 초기조건(initial condition)과 경계조건(boundary condition)이 있다. 

초기조건은 보통 특정시간 \(t_{0}\)에서의 물리적 상태를 나타낸다. 확산방정식에서의 초기조건은 다음과 같고$$u(\mathbf{x},\,t_{0})=\phi(\mathbf{x})$$여기서 \(\phi(\mathbf{x})=\phi(x,\,y,\,z)\)는 3변수 함수이다. 확산되는 물질에 대해 \(\phi(\mathbf{x})\)는 초기 농도이고, 열흐름에 대해서 \(\phi(\mathbf{x})\)는 초기 온도이다. 슈뢰딩거 방정식에 대해서도 \(\phi(\mathbf{x})\)는 보통 초기조건이다. 파동방정식의 경우 다음의 두 가지 초기조건이 있다.$$u(\mathbf{x},\,t_{0})=\phi(\mathbf{x}),\,\frac{\partial u}{\partial t}(\mathbf{x},\,t_{0})=\psi(\mathbf{x})$$\(\phi(\mathbf{x})\)는 초기조건이고 \(\psi(\mathbf{x})\)는 초기 속도이다. 

물리 문제마다 편미분방정식이 유효한 정의역 \(D\)가 존재한다. 현의 진동에서 \(D\)는 구간 \(0<x<l\)이고, \(D\)의 경계는 두 점 \(x=0\)과 \(x=l\)이다. 박막의 진동에서의 정의역은 평면 영역이고, 경계는 닫힌 곡선이다. 확산되는 화학물질의 경우, \(D\)는 액체를 담고있는 용기이므로 그 경계는 표면 \(S=\partial D\)이다. 수소원자의 경우, 정의역이 공간 전체이므로 경계는 없다. 

다음은 3가지 중요한 경계조건들이다. 

(D) \(u\)가 명확하게 서술되어 있다. (디리클레 조건)   

(N) 법선도함수 \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial n}\)이 명확하게 서술되어 있다. (노이만 조건)  

(R) \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial n}+au\,(a=a(x,\,y,\,z,\,t))\)가 명확하게 서술되어 있다. (로빈 조건) 

위의 3가지 조건들은 모든 \(t\)와 \(\mathbf{x}=(x,\,y,\,z)\in\partial D\)에 대해 성립한다. 보통 위의 (D), (N), (R)을 방정식으로 나타내는데 예를들어서 (N)은 다음과 같이 나타낸다.$$\frac{\partial u}{\partial n}=g(\mathbf{x},\,t)$$여기서 \(g\)는 경계기준선이다. 위의 경계조건들 모두에서 \(g(\mathbf{x},\,t)=0\)이면, 동차(homogeneous)라 하고, 그렇지 않으면 비동차(inhomogeneous)라고 한다. \(\mathbf{n}=(n_{1},\,n_{2},\,n_{3})\)은 \(D\) 바깥 방향으로의 단위법선벡터이고(아래그림 참고)

\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial n}=\mathbf{n}\cdot\nabla u\)는 \(u\)의 바깥 법선방향으로의 방향도함수이다. 

1차원 문제에서 \(D\)는 구간 \(0<x<l\)이고 경계는 양 끝의 두 점이고, 이러한 경계조건들은 다음과 같이 단순하다.$$\begin{align*}(D)&\,u(0,\,t)=g(t),\,u(l,\,t)=h(t)\\(N)&\,\frac{\partial u}{\partial x}(0,\,t)=g(t),\,\frac{\partial u}{\partial x}(l,\,t)=h(t)\end{align*}$$로빈 조건(R) 또한 비슷하게 단순하다. 

잘 제시된 문제(well-posed problem)는 초기조건 또는 경계조건을 포함한 편미분방정식 문제이다. 다음은 잘 제시된 문제의 3가지 성질들이다.

(i) 존재성(existence): 모든 조건을 만족시키는 해 \(u(x,\,t)\)가 적어도 하나 존재한다.  

(ii) 유일성(uniqueness): 해는 단 한 개이다.  

(iii) 안정성(stability): 유일해 \(u(x,\,t)\)는 문제의 조건들의 안정성에 의존한다. 즉 조건들이 약간 변하면, 대응되는 해도 약간 변한다는 것이다.    

라플라스 방정식은 \(u_{xx}+u_{yy}=0\)이고 파동방정식은 \(u_{xx}-u_{yy}=0\)이다. 이 두 방정식은 서로 다른 성질을 갖고있다. 대수방정식 \(x^{2}+y^{2}=1\)은 원을 나타내고 \(x^{2}-y^{2}=1\)은 쌍곡선을 나타낸다. 일반적으로 다음의 편미분방정식$$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+a_{1}u_{x}+a_{2}u_{y}+a_{0}u=0$$은 2계 선형방정식이고 6개의 상수계수를 갖는다(여기서 2는 편의를 위해 나타냈다).

독립변수들의 선형변환을 통해 위의 방정식은 다음의 3가지 중 하나의 형태가 될 수 있다.

(i) 타원(elliptic)형: \(a_{12}^{2}<a_{11}a_{22}\)이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u_{xx}+u_{yy}+\cdots=0$$(\(\cdots\)는 1계 이하의 항들이다). 

(ii) 쌍곡(hyperbolic)형: \(a_{12}^{2}>a_{11}a_{22}\)이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u_{xx}-u_{yy}+\cdots=0$$ 

(iii) 포물(parabolic)형: \(a_{12}^{2}=a_{11}a_{22}\)이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u_{xx}+\cdots=0$$(\(a_{11}\neq0\), \(a_{12}\neq0\), \(a_{22}\neq0\)).

편의를 위해 \(a_{11}=1\), \(a_{1}=a_{2}=a_{0}=0\)이라고 하자. 그러면 2계 선형방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고$$(\partial_{x}+a_{12}\partial_{y})^{2}+(a_{22}-a_{12}^{2})\partial_{y}^{2}u=0$$여기서 \(\partial_{x}\), \(\partial_{y}^{2}\)는 다음과 같다.$$\partial_{x}=\frac{\partial}{\partial x},\,\partial_{y}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}$$타원형의 경우 \(a_{12}^{2}<a_{22}\)이므로 \(b=\sqrt{a_{22}-a_{12}^{2}}\)라고 하고 새로운 변수 \(\xi\)와 \(\eta\)를 도입해 다음과 같다고 하자.$$x=\xi,\,y=a_{12}\xi+b\eta$$그러면 연쇄법칙에 의해$$\partial_{\xi}=1\cdot\partial_{x}+a_{12}\partial_{y},\,\partial_{\eta}=0\cdot\partial_{x}+b\partial_{y}$$이고 이 2계 선형방정식은 다음과 같은 라플라스 방정식이 된다.$$\partial_{\xi}^{2}u+\partial_{\eta}^{2}u=0$$나머지도 비슷한 방법으로 보일 수 있다.   

다음의 편미분방정식에서$$\begin{align*}(1)&\,u_{xx}-5u_{xy}=0\\(2)&\,4u_{xx}-12u_{xy}+9u_{yy}+u_{y}=0\\(3)&\,4u_{xx}+6u_{xy}+9u_{yy}=0\end{align*}$$(1)의 경우, \(\displaystyle\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}-1\cdot0=\frac{25}{4}>0\)이므로 쌍곡형이고, (2)의 경우, \((-6)^{2}-4\cdot9=0\)이므로 포물형, (3)의 경우 \(3^{2}-4\cdot9=-27<0\)이므로 타원형이다.            

\(n\)개의 변수 \(x_{1},\,...,\,x_{n}\)이 있다고 하자. 이 경우 2계 선형방정식은 다음과 같다.$$\sum_{i,\,j=1}^{n}{a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}}+\sum_{i=1}^{n}{a_{1}u_{x_{i}}}+a_{0}u=0$$여기서 \(a_{ij}\), \(a_{i}\), \(a_{0}\)는 상수계수이다. \(u_{x_{i}x_{j}}=u_{x_{j}x_{i}}\)이므로 \(a_{ij}=a_{ji}\)라고 할 수 있다. \(\mathbf{x}=(x_{1},\,...,\,x_{n})\)라 하고 다음과 같이 선형변환을 하자.$$(\xi_{1},\,...,\,\xi_{n})=\boldsymbol{\xi}=B\mathbf{x}$$여기서 \(B\)는 \(n\times n\)행렬로 다음이 성립한다.$$\xi_{k}=\sum_{m}{b_{km}x_{m}}$$연쇄법칙을 이용하여 다음과 같이 새로운 변수로 변수변환하고$$\frac{\partial}{\partial x_{i}}=\sum_{k}{\frac{\partial\xi_{k}}{\partial x_{i}}\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{\xi}}}$$다음을 이용하면$$u_{x_{i}x_{j}}=\left(\sum_{k}{b_{ki}\frac{\partial}{\partial \xi_{k}}}\right)\left(\sum_{l}{b_{lj}\frac{\partial}{\partial\xi_{l}}}\right)u$$그러므로 편미분방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\sum_{i,\,j}{a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}}=\sum_{k,\,l}{\left(\sum_{i,\,j}{b_{ki}a_{ij}b_{lj}}\right)u_{\xi_{k}\xi_{l}}}$$위의 편미분방정식의 계수행렬은 다음과 같고$$BAB^{T}$$여기서 \(A=a_{ij}\)는 원래 방정식의 계수행렬, \(B=b_{ij}\)는 변환된 계수행렬, \(B^{T}=b_{ji}\)는 \(B\)의 전치행렬이다.

임의의 대칭행렬에 대한 선형대수학의 정리에 의해 회전행렬 \(B\)(판별식이 1인 직교행렬)가 존재해서 \(BAB^{T}\)는 다음과 같은 대각행렬이 된다.$$BAB^{T}=D=\begin{pmatrix}d_{1}&&&\\&d_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&d_{n}\end{pmatrix}$$\(d_{1},\,...,\,d_{n}\)들은 \(A\)의 고유값이다. \(D\)에서 \(d\)의 값이 \(+1\), \(-1\) 또는 \(0\)인 대각행렬로 바꿀 수 있고, 따라서 변수가 \(n\)개인 2계 선형방정식은 선형변수변환을 통해 대각행렬인 계수행렬을 갖는 2계 선형방정식으로 변환할 수 있다.

\(n\)변수 2계 선형방정식에서 모든 고유값 \(d_{1},\,...,\,d_{n}\)들이 모두 양수이거나 음수이면 타원형(elliptic), \(d_{1},\,...,\,d_{n}\)모두 0이 아니고 1개의 부호가 나머지 \(n-1\)개와 다르면 쌍곡형(hyperbolic), \(d_{1},\,...,\,d_{n}\)모두 0이 아니고 적어도 2개 이상 양수이고 적어도 2개 이상 음수이면 초쌍곡형(ultrahyperbolic, 물리나 수학에서 드물게 나타난다), \(d_{1},\,...,\,d_{n}\)중 정확히 1개만 0이고 나머지들이 같은 부호를 가지면, 포물형(parabolic)이라고 한다. 

좀 더 일반적으로, 계수들이 모두 변수이면 즉 \(a_{ij}\)가 \(\mathbf{x}\)의 함수이면 이 2계 선형방정식은 한 영역에서 타원형이고 나머지 영역에서 쌍곡형이다.

다음의 2계 선형방정식을 고려하자.$$yu_{xx}-2u_{xy}+xu_{xx}=0$$\((-1)^{2}-yx=1-xy\)이므로 쌍곡선 \(xy=1\)에서 포물형, 영역 \(xy>1\)에서 포물형, 영역 \(xy<1\)에서 쌍곡형이다. 

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley