[편미분방정식] 3. 초기, 경계조건, 잘 제시된 문제, 2계방정식

[편미분방정식] 3. 초기, 경계조건, 잘 제시된 문제, 2계방정식

편미분방정식은 무수히 많은 해를 갖기 때문에 조건을 추가해서 해를 결정해야 한다. 이러한 조건들은 물리학에서 유래했고, 초기조건(initial condition)과 경계조건(boundary condition)이 있다. 

초기조건은 보통 특정시간 $t_{0}$에서의 물리적 상태를 나타낸다. 확산방정식에서의 초기조건은 다음과 같고 $$u(\mathbf{x},\,t_{0})=\phi(\mathbf{x})$$ 여기서 $\phi(\mathbf{x})=\phi(x,\,y,\,z)$는 3변수 함수이다. 확산되는 물질에 대해 $\phi(\mathbf{x})$는 초기 농도이고, 열흐름에 대해서 $\phi(\mathbf{x})$는 초기 온도이다. 슈뢰딩거 방정식에 대해서도 $\phi(\mathbf{x})$는 보통 초기조건이다. 파동방정식의 경우 다음의 두 가지 초기조건이 있다. $$u(\mathbf{x},\,t_{0})=\phi(\mathbf{x}),\,\frac{\partial u}{\partial t}(\mathbf{x},\,t_{0})=\psi(\mathbf{x})$$ $\phi(\mathbf{x})$는 초기조건이고 $\psi(\mathbf{x})$는 초기 속도이다. 

물리 문제마다 편미분방정식이 유효한 정의역 $D$가 존재한다. 현의 진동에서 $D$는 구간 $0<x<l$이고, $D$의 경계는 두 점 $x=0$과 $x=l$이다. 박막의 진동에서의 정의역은 평면 영역이고, 경계는 닫힌 곡선이다. 확산되는 화학물질의 경우, $D$는 액체를 담고있는 용기이므로 그 경계는 표면 $S=\partial D$이다. 수소원자의 경우, 정의역이 공간 전체이므로 경계는 없다. 

다음은 3가지 중요한 경계조건들이다. 

(D) $u$가 명확하게 서술되어 있다. (디리클레 조건)   

(N) 법선도함수 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial n}$이 명확하게 서술되어 있다. (노이만 조건)  

(R) $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial n}+au\,(a=a(x,\,y,\,z,\,t))$가 명확하게 서술되어 있다. (로빈 조건) 

위의 3가지 조건들은 모든 $t$와 $\mathbf{x}=(x,\,y,\,z)\in\partial D$에 대해 성립한다. 보통 위의 (D), (N), (R)을 방정식으로 나타내는데 예를들어서 (N)은 다음과 같이 나타낸다. $$\frac{\partial u}{\partial n}=g(\mathbf{x},\,t)$$ 여기서 $g$는 경계기준선이다. 위의 경계조건들 모두에서 $g(\mathbf{x},\,t)=0$이면, 동차(homogeneous)라 하고, 그렇지 않으면 비동차(inhomogeneous)라고 한다. $\mathbf{n}=(n_{1},\,n_{2},\,n_{3})$은 $D$ 바깥 방향으로의 단위법선벡터이고(아래그림 참고)

$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial n}=\mathbf{n}\cdot\nabla u$는 $u$의 바깥 법선방향으로의 방향도함수이다. 

1차원 문제에서 $D$는 구간 $0<x<l$이고 경계는 양 끝의 두 점이고, 이러한 경계조건들은 다음과 같이 단순하다. $$\begin{align*}(D)&\,u(0,\,t)=g(t),\,u(l,\,t)=h(t)\\(N)&\,\frac{\partial u}{\partial x}(0,\,t)=g(t),\,\frac{\partial u}{\partial x}(l,\,t)=h(t)\end{align*}$$ 로빈 조건(R) 또한 비슷하게 단순하다. 

잘 제시된 문제(well-posed problem)는 초기조건 또는 경계조건을 포함한 편미분방정식 문제이다. 다음은 잘 제시된 문제의 3가지 성질들이다.

(i) 존재성(existence): 모든 조건을 만족시키는 해 $u(x,\,t)$가 적어도 하나 존재한다.  

(ii) 유일성(uniqueness): 해는 단 한 개이다.  

(iii) 안정성(stability): 유일해 $u(x,\,t)$는 문제의 조건들의 안정성에 의존한다. 즉 조건들이 약간 변하면, 대응되는 해도 약간 변한다는 것이다.    

라플라스 방정식은 $u_{xx}+u_{yy}=0$이고 파동방정식은 $u_{xx}-u_{yy}=0$이다. 이 두 방정식은 서로 다른 성질을 갖고있다. 대수방정식 $x^{2}+y^{2}=1$은 원을 나타내고 $x^{2}-y^{2}=1$은 쌍곡선을 나타낸다. 일반적으로 다음의 편미분방정식 $$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+a_{1}u_{x}+a_{2}u_{y}+a_{0}u=0$$ 은 2계 선형방정식이고 6개의 상수계수를 갖는다(여기서 2는 편의를 위해 나타냈다).

독립변수들의 선형변환을 통해 위의 방정식은 다음의 3가지 중 하나의 형태가 될 수 있다.

(i) 타원(elliptic)형: $a_{12}^{2}<a_{11}a_{22}$이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u_{xx}+u_{yy}+\cdots=0$$ ($\cdots$는 1계 이하의 항들이다). 

(ii) 쌍곡(hyperbolic)형: $a_{12}^{2}>a_{11}a_{22}$이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u_{xx}-u_{yy}+\cdots=0$$  

(iii) 포물(parabolic)형: $a_{12}^{2}=a_{11}a_{22}$이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u_{xx}+\cdots=0$$ ($a_{11}\neq0$, $a_{12}\neq0$, $a_{22}\neq0$).

편의를 위해 $a_{11}=1$, $a_{1}=a_{2}=a_{0}=0$이라고 하자. 그러면 2계 선형방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$(\partial_{x}+a_{12}\partial_{y})^{2}+(a_{22}-a_{12}^{2})\partial_{y}^{2}u=0$$ 여기서 $\partial_{x}$, $\partial_{y}^{2}$는 다음과 같다. $$\partial_{x}=\frac{\partial}{\partial x},\,\partial_{y}^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}$$ 타원형의 경우 $a_{12}^{2}<a_{22}$이므로 $b=\sqrt{a_{22}-a_{12}^{2}}$라고 하고 새로운 변수 $\xi$와 $\eta$를 도입해 다음과 같다고 하자. $$x=\xi,\,y=a_{12}\xi+b\eta$$ 그러면 연쇄법칙에 의해 $$\partial_{\xi}=1\cdot\partial_{x}+a_{12}\partial_{y},\,\partial_{\eta}=0\cdot\partial_{x}+b\partial_{y}$$ 이고 이 2계 선형방정식은 다음과 같은 라플라스 방정식이 된다. $$\partial_{\xi}^{2}u+\partial_{\eta}^{2}u=0$$ 나머지도 비슷한 방법으로 보일 수 있다.   

다음의 편미분방정식에서 $$\begin{align*}(1)&\,u_{xx}-5u_{xy}=0\\(2)&\,4u_{xx}-12u_{xy}+9u_{yy}+u_{y}=0\\(3)&\,4u_{xx}+6u_{xy}+9u_{yy}=0\end{align*}$$ (1)의 경우, $\displaystyle\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}-1\cdot0=\frac{25}{4}>0$이므로 쌍곡형이고, (2)의 경우, $(-6)^{2}-4\cdot9=0$이므로 포물형, (3)의 경우 $3^{2}-4\cdot9=-27<0$이므로 타원형이다.            

$n$개의 변수 $x_{1},\,...,\,x_{n}$이 있다고 하자. 이 경우 2계 선형방정식은 다음과 같다. $$\sum_{i,\,j=1}^{n}{a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}}+\sum_{i=1}^{n}{a_{1}u_{x_{i}}}+a_{0}u=0$$ 여기서 $a_{ij}$, $a_{i}$, $a_{0}$는 상수계수이다. $u_{x_{i}x_{j}}=u_{x_{j}x_{i}}$이므로 $a_{ij}=a_{ji}$라고 할 수 있다. $\mathbf{x}=(x_{1},\,...,\,x_{n})$라 하고 다음과 같이 선형변환을 하자. $$(\xi_{1},\,...,\,\xi_{n})=\boldsymbol{\xi}=B\mathbf{x}$$ 여기서 $B$는 $n\times n$행렬로 다음이 성립한다. $$\xi_{k}=\sum_{m}{b_{km}x_{m}}$$ 연쇄법칙을 이용하여 다음과 같이 새로운 변수로 변수변환하고 $$\frac{\partial}{\partial x_{i}}=\sum_{k}{\frac{\partial\xi_{k}}{\partial x_{i}}\frac{\partial}{\partial\boldsymbol{\xi}}}$$ 다음을 이용하면 $$u_{x_{i}x_{j}}=\left(\sum_{k}{b_{ki}\frac{\partial}{\partial \xi_{k}}}\right)\left(\sum_{l}{b_{lj}\frac{\partial}{\partial\xi_{l}}}\right)u$$ 그러므로 편미분방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\sum_{i,\,j}{a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}}=\sum_{k,\,l}{\left(\sum_{i,\,j}{b_{ki}a_{ij}b_{lj}}\right)u_{\xi_{k}\xi_{l}}}$$ 위의 편미분방정식의 계수행렬은 다음과 같고 $$BAB^{T}$$ 여기서 $A=a_{ij}$는 원래 방정식의 계수행렬, $B=b_{ij}$는 변환된 계수행렬, $B^{T}=b_{ji}$는 $B$의 전치행렬이다.

임의의 대칭행렬에 대한 선형대수학의 정리에 의해 회전행렬 $B$(판별식이 1인 직교행렬)가 존재해서 $BAB^{T}$는 다음과 같은 대각행렬이 된다. $$BAB^{T}=D=\begin{pmatrix}d_{1}&&&\\&d_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&d_{n}\end{pmatrix}$$ $d_{1},\,...,\,d_{n}$들은 $A$의 고유값이다. $D$에서 $d$의 값이 $+1$, $-1$ 또는 $0$인 대각행렬로 바꿀 수 있고, 따라서 변수가 $n$개인 2계 선형방정식은 선형변수변환을 통해 대각행렬인 계수행렬을 갖는 2계 선형방정식으로 변환할 수 있다.

$n$변수 2계 선형방정식에서 모든 고유값 $d_{1},\,...,\,d_{n}$들이 모두 양수이거나 음수이면 타원형(elliptic), $d_{1},\,...,\,d_{n}$모두 0이 아니고 1개의 부호가 나머지 $n-1$개와 다르면 쌍곡형(hyperbolic), $d_{1},\,...,\,d_{n}$모두 0이 아니고 적어도 2개 이상 양수이고 적어도 2개 이상 음수이면 초쌍곡형(ultrahyperbolic, 물리나 수학에서 드물게 나타난다), $d_{1},\,...,\,d_{n}$중 정확히 1개만 0이고 나머지들이 같은 부호를 가지면, 포물형(parabolic)이라고 한다. 

좀 더 일반적으로, 계수들이 모두 변수이면 즉 $a_{ij}$가 $\mathbf{x}$의 함수이면 이 2계 선형방정식은 한 영역에서 타원형이고 나머지 영역에서 쌍곡형이다.

다음의 2계 선형방정식을 고려하자. $$yu_{xx}-2u_{xy}+xu_{xx}=0$$ $(-1)^{2}-yx=1-xy$이므로 쌍곡선 $xy=1$에서 포물형, 영역 $xy>1$에서 포물형, 영역 $xy<1$에서 쌍곡형이다. 

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley