[편미분방정식] 3. 파동방정식

[편미분방정식] 3. 파동방정식

파동방정식은 다음과 같고

$$u_{tt}=c^{2}u_{xx}\,(-\infty<x<\infty)$$ 이것은 간단한 2계방정식이다. 이 파동방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$u_{tt}-c^{2}u_{xx}=\left(\frac{\partial}{\partial t}-c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)u=0$$ 함수 $u(x,\,t)$에서 시작해 $u_{t}+cu_{x}$를 계산하고, 그 결과를 $v$라고 한 다음 $v_{t}-cv_{x}$를 계산하고, 이것은 0이 되어야 한다. 그 일반해는 다음과 같다. $$u(x,\,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$ 여기서 $f$와 $g$는 임의의 두 번 미분가능한 일변수 함수이다. 그 이유는 $v=u_{t}+cu_{x}$라 하면 $v_{t}-cv_{x}=0$이어야 하고 이 방정식의 해는 $v(x,\,t)=h(x+ct)$($h$는 임의의 함수)이다. 그러면 다음의 방정식을 얻고 $$u_{t}+cu_{x}=h(x+ct)$$ 이 방정의 한 해는 다음과 같다. $$u(x,\,t)=f(x+ct)\,\left(f'(s)=\frac{1}{2c}h(s)\right)$$ 이 편미분방정식은 선형이므로 구한 해 $f(x+ct)$에 또 다른 해 $g(x-ct)$를 더하면 $u(x,\,t)$는 다음과 같다. $$u(x,\,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$ 다음은 앞과 다른 방법으로 파동방정식의 해를 구하는 과정이다. 다음의 특성좌표(characteristic coordinates)를 도입한다. $$\xi=x+ct,\,\eta=x-ct$$ 연쇄법칙에 의해 $\partial_{x}=\partial_{\xi}+\partial_{\eta}$, $\partial_{t}=c\partial_{\xi}+c\partial_{\eta}$이고 $\partial_{t}-c\partial_{x}=-2c\partial_{\eta}$, $\partial_{t}+c\partial_{x}=2c\partial_{\xi}$이므로 파동방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$(\partial_{t}-c\partial_{x})(\partial_{t}+c\partial_{x})u=(-2c\partial_{\xi})(2c\partial_{\eta})u=0$$ 위의 방정식으로부터 $u_{\xi\eta}=0$이고 $c\neq0$이므로 이 파동방정식의 해는 다음과 같다. $$u=f(\xi)+g(\eta)=f(x+ct)+g(x-ct)$$ 파동방정식의 해에서 $g(x-ct)$는 속도 $c$로 오른쪽으로 이동하는 파동의 모양이고, $f(x+ct)$는 속도 $c$로 왼쪽으로 이동하는 파동의 모양이다.

다음의 파동방정식

$$u_{tt}=c^{2}u_{xx}\,(-\infty<x<\infty)$$ 에서 다음의 초기조건이 주어졌다고 하자. $$u(x,\,0)=\phi(x),\,u_{t}(x,\,0)=\psi(x)$$ 여기서 $\phi$와 $\psi$는 $x$에 대한 함수이다. 앞에서 구한 일반해 $$u(x,\,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$ 에서 $t=0$이라고 하면 $$\phi(x)=f(x)+g(x)$$ 가 되고 연쇄법칙을 이용해 일반해 $u(x,\,t)$를 $t$에 대해 미분한 다음 $t=0$을 대입하면 다음과 같다. $$\psi(x)=cf'(x)-cg'(x)$$ 위의 결과에서 $x$를 $s$로 바꾸고 다음과 같이 식을 변형하자. $$\phi'=f'+g',\,\frac{1}{c}\psi=f'-g'$$ 위의 변형한 식으로부터 다음의 결과를 얻는다. $$f'=\frac{1}{2}\left(\phi'+\frac{\psi}{c}\right),\,g'=\frac{1}{2}\left(\phi'-\frac{\psi}{c}\right)$$ 적분하면 다음의 결과를 얻고 $$\begin{align*}f(s)&=\frac{1}{2}\phi(s)+\frac{1}{2c}\int_{0}^{s}{\phi}+A\\ g(s)&=\frac{1}{2}\phi(s)-\frac{1}{2c}\int_{0}^{s}{\phi}+B\end{align*}$$ 여기서 $A$와 $B$는 상수이고 $\phi(x)=f(x)+g(x)$이므로 $A+B=0$이어야 한다. $f$에 대해서 $s=x+ct$로 치환하고 $g$에 대해서 $s=x-ct$로 치환하면 $$u(x,\,t)=\frac{1}{2}\phi(x+ct)+\frac{1}{2c}\int_{0}^{x+ct}{\psi}+\frac{1}{2}\phi(x-ct)-\frac{1}{2c}\int_{0}^{x-ct}{\psi}$$ 이고 다음과 같이 해가 구해진다. $$u(x,\,t)=\frac{1}{2}\{\phi(x+ct)+\phi(x-ct)\}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}{\psi(s)ds}$$ 이 해를 달랑베르 해(d'Alembert solution)라고 한다. 

1. 

$\phi(x)=0$, $\psi(x)=\cos x$라고 하면 파동방정식의 해는 다음과 같다.

$$u(x,\,t)=\frac{1}{2c}\{\sin(x+ct)-\sin(x-ct)\}=\frac{1}{c}\cos x\sin ct$$  

2. 발현악기(plucked string instrument) 

현의 속도는 $\displaystyle c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$이다. 다음의 초기조건을 갖는 무한히 긴 현(줄)을 고려하자.

$$\phi(x)=\begin{cases}\displaystyle b-\frac{b}{a}|x|\,&(|x|<a)\\0\,&(|x|>a)\end{cases},\,\psi(x)=0$$ 이 방정식의 해는 $$u(x,\,t)=\frac{1}{2}\{\phi(x+ct)+\phi(x-ct)\}$$ 이 해의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle t=\frac{a}{2c}$라고 하자. 그러면 $\displaystyle x\pm ct=x\pm\frac{a}{2}$이다. $\displaystyle x<-\frac{3a}{2}$이면 $\displaystyle x\pm\frac{a}{2}<-a$이고 $u(x,\,t)=0$이다. 

$\displaystyle-\frac{3a}{2}<x<-\frac{a}{2}$이면, $u(x,\,t)$는 다음과 같다.

$$u(x,\,t)=\frac{1}{2}\phi\left(x+\frac{1}{2}a\right)=\frac{1}{2}\left(b-\frac{b}{a}\left|x+\frac{1}{2}a\right|\right)=\frac{3b}{4}+\frac{bx}{2a}$$ $\displaystyle|x|<\frac{a}{2}$이면, $u(x,\,t)$는 다음과 같다. $$\begin{align*}u(x,\,t)&=\frac{1}{2}\left\{\phi\left(x+\frac{1}{2}a\right)+\phi\left(x-\frac{1}{2}a\right)\right\}\\&=\frac{1}{2}\left\{b-\frac{b}{a}\left(x+\frac{1}{2}a\right)+b-\frac{b}{a}\left(\frac{1}{2}a-x\right)\right\}\\&=\frac{b}{2}\end{align*}$$   

참고자료: 

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley