[편미분방정식] 3. 파동방정식

[편미분방정식] 3. 파동방정식

파동방정식은 다음과 같고$$u_{tt}=c^{2}u_{xx}\,(-\infty<x<\infty)$$이것은 간단한 2계방정식이다. 이 파동방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고$$u_{tt}-c^{2}u_{xx}=\left(\frac{\partial}{\partial t}-c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)u=0$$함수 \(u(x,\,t)\)에서 시작해 \(u_{t}+cu_{x}\)를 계산하고, 그 결과를 \(v\)라고 한 다음 \(v_{t}-cv_{x}\)를 계산하고, 이것은 0이 되어야 한다. 그 일반해는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$여기서 \(f\)와 \(g\)는 임의의 두 번 미분가능한 일변수 함수이다. 그 이유는 \(v=u_{t}+cu_{x}\)라 하면 \(v_{t}-cv_{x}=0\)이어야 하고 이 방정식의 해는 \(v(x,\,t)=h(x+ct)\)(\(h\)는 임의의 함수)이다. 그러면 다음의 방정식을 얻고$$u_{t}+cu_{x}=h(x+ct)$$이 방정의 한 해는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=f(x+ct)\,\left(f'(s)=\frac{1}{2c}h(s)\right)$$이 편미분방정식은 선형이므로 구한 해 \(f(x+ct)\)에 또 다른 해 \(g(x-ct)\)를 더하면 \(u(x,\,t)\)는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$다음은 앞과 다른 방법으로 파동방정식의 해를 구하는 과정이다. 다음의 특성좌표(characteristic coordinates)를 도입한다.$$\xi=x+ct,\,\eta=x-ct$$연쇄법칙에 의해 \(\partial_{x}=\partial_{\xi}+\partial_{\eta}\), \(\partial_{t}=c\partial_{\xi}+c\partial_{\eta}\)이고 \(\partial_{t}-c\partial_{x}=-2c\partial_{\eta}\), \(\partial_{t}+c\partial_{x}=2c\partial_{\xi}\)이므로 파동방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$(\partial_{t}-c\partial_{x})(\partial_{t}+c\partial_{x})u=(-2c\partial_{\xi})(2c\partial_{\eta})u=0$$위의 방정식으로부터 \(u_{\xi\eta}=0\)이고 \(c\neq0\)이므로 이 파동방정식의 해는 다음과 같다.$$u=f(\xi)+g(\eta)=f(x+ct)+g(x-ct)$$파동방정식의 해에서 \(g(x-ct)\)는 속도 \(c\)로 오른쪽으로 이동하는 파동의 모양이고, \(f(x+ct)\)는 속도 \(c\)로 왼쪽으로 이동하는 파동의 모양이다.

다음의 파동방정식$$u_{tt}=c^{2}u_{xx}\,(-\infty<x<\infty)$$에서 다음의 초기조건이 주어졌다고 하자.$$u(x,\,0)=\phi(x),\,u_{t}(x,\,0)=\psi(x)$$여기서 \(\phi\)와 \(\psi\)는 \(x\)에 대한 함수이다. 앞에서 구한 일반해$$u(x,\,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$에서 \(t=0\)이라고 하면$$\phi(x)=f(x)+g(x)$$가 되고 연쇄법칙을 이용해 일반해 \(u(x,\,t)\)를 \(t\)에 대해 미분한 다음 \(t=0\)을 대입하면 다음과 같다.$$\psi(x)=cf'(x)-cg'(x)$$위의 결과에서 \(x\)를 \(s\)로 바꾸고 다음과 같이 식을 변형하자.$$\phi'=f'+g',\,\frac{1}{c}\psi=f'-g'$$위의 변형한 식으로부터 다음의 결과를 얻는다.$$f'=\frac{1}{2}\left(\phi'+\frac{\psi}{c}\right),\,g'=\frac{1}{2}\left(\phi'-\frac{\psi}{c}\right)$$적분하면 다음의 결과를 얻고$$\begin{align*}f(s)&=\frac{1}{2}\phi(s)+\frac{1}{2c}\int_{0}^{s}{\phi}+A\\ g(s)&=\frac{1}{2}\phi(s)-\frac{1}{2c}\int_{0}^{s}{\phi}+B\end{align*}$$여기서 \(A\)와 \(B\)는 상수이고 \(\phi(x)=f(x)+g(x)\)이므로 \(A+B=0\)이어야 한다. \(f\)에 대해서 \(s=x+ct\)로 치환하고 \(g\)에 대해서 \(s=x-ct\)로 치환하면$$u(x,\,t)=\frac{1}{2}\phi(x+ct)+\frac{1}{2c}\int_{0}^{x+ct}{\psi}+\frac{1}{2}\phi(x-ct)-\frac{1}{2c}\int_{0}^{x-ct}{\psi}$$이고 다음과 같이 해가 구해진다.$$u(x,\,t)=\frac{1}{2}\{\phi(x+ct)+\phi(x-ct)\}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}{\psi(s)ds}$$이 해를 달랑베르 해(d'Alembert solution)라고 한다. 

1. 

\(\phi(x)=0\), \(\psi(x)=\cos x\)라고 하면 파동방정식의 해는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=\frac{1}{2c}\{\sin(x+ct)-\sin(x-ct)\}=\frac{1}{c}\cos x\sin ct$$ 

2. 발현악기(plucked string instrument) 

현의 속도는 \(\displaystyle c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}\)이다. 다음의 초기조건을 갖는 무한히 긴 현(줄)을 고려하자.$$\phi(x)=\begin{cases}\displaystyle b-\frac{b}{a}|x|\,&(|x|<a)\\0\,&(|x|>a)\end{cases},\,\psi(x)=0$$이 방정식의 해는$$u(x,\,t)=\frac{1}{2}\{\phi(x+ct)+\phi(x-ct)\}$$이 해의 그래프는 다음과 같다.

\(\displaystyle t=\frac{a}{2c}\)라고 하자. 그러면 \(\displaystyle x\pm ct=x\pm\frac{a}{2}\)이다. \(\displaystyle x<-\frac{3a}{2}\)이면 \(\displaystyle x\pm\frac{a}{2}<-a\)이고 \(u(x,\,t)=0\)이다. 

\(\displaystyle-\frac{3a}{2}<x<-\frac{a}{2}\)이면, \(u(x,\,t)\)는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=\frac{1}{2}\phi\left(x+\frac{1}{2}a\right)=\frac{1}{2}\left(b-\frac{b}{a}\left|x+\frac{1}{2}a\right|\right)=\frac{3b}{4}+\frac{bx}{2a}$$\(\displaystyle|x|<\frac{a}{2}\)이면, \(u(x,\,t)\)는 다음과 같다.$$\begin{align*}u(x,\,t)&=\frac{1}{2}\left\{\phi\left(x+\frac{1}{2}a\right)+\phi\left(x-\frac{1}{2}a\right)\right\}\\&=\frac{1}{2}\left\{b-\frac{b}{a}\left(x+\frac{1}{2}a\right)+b-\frac{b}{a}\left(\frac{1}{2}a-x\right)\right\}\\&=\frac{b}{2}\end{align*}$$  

참고자료: 

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley