[편미분방정식] 7. 푸리에 계수

[편미분방정식] 7. 푸리에 계수

다음의 급수를 구간 $(0,\,l)$에서 푸리에 사인급수(Fourier sine series)라고 한다.

$$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 이 급수에서 계수 $A_{n}$을 구해야 한다. 이 계수를 구하는 데에 다음의 공식을 이용한다. $$\int_{0}^{l}{\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}=0\,(m\neq n)$$ 이 공식은 다음의 삼각함수 공식 $$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\cos(a-b)-\frac{1}{2}\cos(a+b)$$ 으로부터 다음과 같은 결과에 의해 얻어진다. $$\begin{align*}\int_{0}^{l}{\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}&=\int_{0}^{l}{\left\{\frac{1}{2}\cos\frac{(n-m)\pi x}{l}-\frac{1}{2}\cos\frac{(m+n)\pi }{l}\right\}dx}\\&=\left[\frac{l}{2(m-n)\pi}\sin\frac{(m-n)\pi x}{l}-\frac{l}{2(m+n)\pi}\sin\frac{(m-n)\pi x}{l}\right]_{0}^{l}\\&=0\end{align*}$$ $A_{n}$을 구하기 위해 $\phi(x)$에 $\displaystyle\sin\frac{m\pi x}{l}$을 곱하고 구간 $(0,\,l)$에서 적분하면 $$\begin{align*}\int_{0}^{l}{\phi(x)\sin\frac{m\pi x}{l}dx}&=\int_{0}^{l}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}}\right)dx}\\&=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\int_{0}^{l}{\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}}\\&=A_{m}\int_{0}^{l}{\sin^{2}\frac{n\pi x}{l}dx}\\&=\frac{1}{2}lA_{m}\end{align*}$$ 이므로 $A_{m}$은 다음과 같다. $$A_{m}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}{\phi(x)\sin\frac{m\pi x}{l}dx}$$ 이 공식을 푸리에 계수(Fourier coefficient)라고 한다. 

다음의 급수를 구간 $(0,\,l)$에서 푸리에 코사인급수(Fourier cosine series)라고 한다.

$$\phi(x)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}}$$ 사인함수와 마찬가지로 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{0}^{l}{\cos\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{m\pi x}{l}dx}=0\,(m\neq n)$$ 푸리에 사인급수와 같은 방법으로 $$\int_{0}^{l}{\phi(x)\cos\frac{m\pi x}{l}dx}=A_{m}\int_{0}^{l}{\cos^{2}\frac{m\pi x}{l}dx}=\frac{1}{2}lA_{m}$$ 이다. $m=0$일 때 $$\int_{0}^{l}{\phi(x)dx}=\frac{1}{2}A_{0}\int_{0}^{l}{1^{2}dx}=\frac{1}{2}lA_{0}$$ 이므로 $A_{m}$은 다음과 같다. $$A_{m}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}{\phi(x)\cos\frac{m\pi x}{l}dx}$$

구간 $(-l,\,l)$에서 $\phi(x)$의 전체 푸리에 급수(간단히 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다)는 다음과 같이 정의된다.

$$\phi(x)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}\right)}$$ 여기서 고유함수들은 다음과 같고 $$\left\{1,\,\cos\frac{n\pi x}{l},\,\sin\frac{n\pi x}{l}\right\},\,n\in\mathbb{N}$$ 다음의 공식들에 의해 $$\begin{align*}\int_{-l}^{l}{\cos\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}&=0\,(m,\,n\in\mathbb{N})\\ \int_{-l}^{l}{\cos\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{m\pi x}{l}dx}&=0\,(n\neq m)\\ \int_{-l}^{l}{\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}&=0\,(n\neq m)\\ \int_{-l}^{l}{1\cdot\cos\frac{n\pi x}{l}dx}&=0=\int_{-l}^{l}{1\cdot\sin\frac{m\pi x}{l}dx}\\ \int_{-l}^{l}{\cos^{2}\frac{n\pi x}{l}dx}&=l=\int_{-l}^{l}{\sin^{2}\frac{n\pi x}{l}dx},\,\int_{-l}^{l}{1^{2}dx}=2l\end{align*}$$ $A_{n}$과 $B_{n}$은 다음과 같다. $$\begin{align*}A_{n}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}{\phi(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx}\,(n\in\mathbb{N}\cup\{0\})\\B_{n}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}{\phi(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx}\,(n\in\mathbb{N})\end{align*}$$ 주의할 점은 이 계수들이 푸리에 사인, 코사인 급수의 계수와 다르다는 점이다.  

함수 $\phi(x)=x$에 대하여 푸리에 사인급수와 그 계수는 다음과 같고

$$x=\frac{2l}{\pi}\left(\sin\frac{\pi x}{l}-\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi x}{l}+\frac{1}{3}\sin\frac{3\pi x}{l}-\cdots\right),\,A_{m}=(-1)^{m+1}\frac{2l}{m\pi}$$ 푸리에 코사인급수와 그 계수는 다음과 같다. $$x=\frac{l}{2}-\frac{4l}{\pi^{2}}\left(\cos\frac{\pi x}{l}+\frac{1}{9}\cos\frac{3\pi x}{l}+\frac{1}{25}\cos\frac{5\pi x}{l}+\cdots\right),\,A_{m}=\begin{cases}-\frac{4l}{m^{2}\pi^{2}}\,&(m:\,\text{odd})\\0\,&(m:\,\text{even})\end{cases}$$ $\phi(x)=x$에 대한 푸리에 계수는 다음과 같고, 푸리에 사인, 코사인 급수의 계수와 다르다는 것을 알 수 있다. $$A_{0}=0,\,A_{m}=0,\,B_{m}=(-1)^{m+1}\frac{2l}{m\pi}$$

다음의 파동방정식

$$\begin{align*}u_{tt}&=c^{2}u_{xx}\\u(0,\,t)&=u(l,\,t)=0\\u(x,\,0)&=x,\,u_{t}(x,\,0)=0\end{align*}$$ 의 해는 다음과 같다. $$u(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}\right)\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 위의 해를 시간에 대해 미분하면 $$u_{t}(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n\pi c}{l}\left(-A_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}\right)\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 이고 이 미분한 식에서 $t=0$을 대입하면 $$0=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n\pi c}{l}B_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 이므로 $B_{n}=0$이다. $u(x,\,t)$에 $t=0$을 대입하면 $$x=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$ 이므로 $u(x,\,t)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u(x,\,t)=\frac{2l}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{n\pi ct}{l}}$$

다음의 조건을 만족하는 함수 $\phi(x)$를 주기함수(periodic function)라고 한다. 

$p>0$가 존재해서 모든 $x\in\mathbb{R}$에 대해 $\phi(x+p)=\phi(x)$

다음의 조건을 만족하는 함수 $\phi(x)$를 우함수(even function)라고 한다.

$$\phi(-x)=\phi(x)$$  

다음의 조건을 만족하는 함수 $\phi(x)$를 기함수(odd function)라고 한다.

$$\phi(-x)=-\phi(x)$$ 임의의 실함수 $\phi(x)$를 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있다. $\phi_{e}(x)$를 우함수, $\phi_{o}(x)$를 기함수라고 하고 $\phi(x)=\phi_{e}(x)+\phi_{o}(x)$라고 하자. 그러면 $$\phi_{e}(x)=\frac{\phi(x)+\phi(-x)}{2},\,\phi_{o}(x)=\frac{\phi(x)-\phi(-x)}{2}$$ 이므로 $\phi(x)$가 우함수와 기함수의 합으로 나타내어짐을 알 수 있다. 또한 우함수와 기함수의 정적분은 다음과 같다. $$\int_{-l}^{l}{\phi_{e}(x)dx}=2\int_{0}^{l}{\phi_{e}(x)dx},\,\int_{-l}^{l}{\phi_{o}(x)dx}=0$$ 복소수에 대한 오일러공식 $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$ 로부터 사인함수와 코사인함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i},\,\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$ 그러므로 사인, 코사인의 삼각함수 대신 $e^{i\frac{n\pi x}{l}}$과 $e^{-i\frac{n\pi x}{l}}$를 이용하여 나타낼 수 있고 따라서 $\phi(x)$의 푸리에 급수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\phi(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}e^{i\frac{n\pi x}{l}}}$$ 다음의 두 식 $$\int_{-l}^{l}{e^{i\frac{n\pi x}{l}}e^{-i\frac{m\pi x}{l}}dx}=0,\,\int_{-l}^{l}{e^{i\frac{\cdot0\cdot\pi x}{l}}dx}=2l$$ 으로부터 푸리에계수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$c_{n}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{\phi(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}}dx}$$  

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley