[편미분방정식] 7. 푸리에 계수

[편미분방정식] 7. 푸리에 계수

다음의 급수를 구간 \((0,\,l)\)에서 푸리에 사인급수(Fourier sine series)라고 한다.$$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$이 급수에서 계수 \(A_{n}\)을 구해야 한다. 이 계수를 구하는 데에 다음의 공식을 이용한다.$$\int_{0}^{l}{\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}=0\,(m\neq n)$$이 공식은 다음의 삼각함수 공식$$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\cos(a-b)-\frac{1}{2}\cos(a+b)$$으로부터 다음과 같은 결과에 의해 얻어진다.$$\begin{align*}\int_{0}^{l}{\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}&=\int_{0}^{l}{\left\{\frac{1}{2}\cos\frac{(n-m)\pi x}{l}-\frac{1}{2}\cos\frac{(m+n)\pi }{l}\right\}dx}\\&=\left[\frac{l}{2(m-n)\pi}\sin\frac{(m-n)\pi x}{l}-\frac{l}{2(m+n)\pi}\sin\frac{(m-n)\pi x}{l}\right]_{0}^{l}\\&=0\end{align*}$$\(A_{n}\)을 구하기 위해 \(\phi(x)\)에 \(\displaystyle\sin\frac{m\pi x}{l}\)을 곱하고 구간 \((0,\,l)\)에서 적분하면$$\begin{align*}\int_{0}^{l}{\phi(x)\sin\frac{m\pi x}{l}dx}&=\int_{0}^{l}{\left(\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}}\right)dx}\\&=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\int_{0}^{l}{\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}}\\&=A_{m}\int_{0}^{l}{\sin^{2}\frac{n\pi x}{l}dx}\\&=\frac{1}{2}lA_{m}\end{align*}$$이므로 \(A_{m}\)은 다음과 같다.$$A_{m}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}{\phi(x)\sin\frac{m\pi x}{l}dx}$$이 공식을 푸리에 계수(Fourier coefficient)라고 한다. 

다음의 급수를 구간 \((0,\,l)\)에서 푸리에 코사인급수(Fourier cosine series)라고 한다.$$\phi(x)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}}$$사인함수와 마찬가지로 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{0}^{l}{\cos\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{m\pi x}{l}dx}=0\,(m\neq n)$$푸리에 사인급수와 같은 방법으로$$\int_{0}^{l}{\phi(x)\cos\frac{m\pi x}{l}dx}=A_{m}\int_{0}^{l}{\cos^{2}\frac{m\pi x}{l}dx}=\frac{1}{2}lA_{m}$$이다. \(m=0\)일 때$$\int_{0}^{l}{\phi(x)dx}=\frac{1}{2}A_{0}\int_{0}^{l}{1^{2}dx}=\frac{1}{2}lA_{0}$$이므로 \(A_{m}\)은 다음과 같다.$$A_{m}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}{\phi(x)\cos\frac{m\pi x}{l}dx}$$

구간 \((-l,\,l)\)에서 \(\phi(x)\)의 전체 푸리에 급수(간단히 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다)는 다음과 같이 정의된다.$$\phi(x)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}\cos\frac{n\pi x}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}\right)}$$여기서 고유함수들은 다음과 같고$$\left\{1,\,\cos\frac{n\pi x}{l},\,\sin\frac{n\pi x}{l}\right\},\,n\in\mathbb{N}$$다음의 공식들에 의해$$\begin{align*}\int_{-l}^{l}{\cos\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}&=0\,(m,\,n\in\mathbb{N})\\ \int_{-l}^{l}{\cos\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{m\pi x}{l}dx}&=0\,(n\neq m)\\ \int_{-l}^{l}{\sin\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{m\pi x}{l}dx}&=0\,(n\neq m)\\ \int_{-l}^{l}{1\cdot\cos\frac{n\pi x}{l}dx}&=0=\int_{-l}^{l}{1\cdot\sin\frac{m\pi x}{l}dx}\\ \int_{-l}^{l}{\cos^{2}\frac{n\pi x}{l}dx}&=l=\int_{-l}^{l}{\sin^{2}\frac{n\pi x}{l}dx},\,\int_{-l}^{l}{1^{2}dx}=2l\end{align*}$$\(A_{n}\)과 \(B_{n}\)은 다음과 같다.$$\begin{align*}A_{n}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}{\phi(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx}\,(n\in\mathbb{N}\cup\{0\})\\B_{n}&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}{\phi(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx}\,(n\in\mathbb{N})\end{align*}$$주의할 점은 이 계수들이 푸리에 사인, 코사인 급수의 계수와 다르다는 점이다.  

함수 \(\phi(x)=x\)에 대하여 푸리에 사인급수와 그 계수는 다음과 같고$$x=\frac{2l}{\pi}\left(\sin\frac{\pi x}{l}-\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi x}{l}+\frac{1}{3}\sin\frac{3\pi x}{l}-\cdots\right),\,A_{m}=(-1)^{m+1}\frac{2l}{m\pi}$$푸리에 코사인급수와 그 계수는 다음과 같다.$$x=\frac{l}{2}-\frac{4l}{\pi^{2}}\left(\cos\frac{\pi x}{l}+\frac{1}{9}\cos\frac{3\pi x}{l}+\frac{1}{25}\cos\frac{5\pi x}{l}+\cdots\right),\,A_{m}=\begin{cases}-\frac{4l}{m^{2}\pi^{2}}\,&(m:\,\text{odd})\\0\,&(m:\,\text{even})\end{cases}$$\(\phi(x)=x\)에 대한 푸리에 계수는 다음과 같고, 푸리에 사인, 코사인 급수의 계수와 다르다는 것을 알 수 있다.$$A_{0}=0,\,A_{m}=0,\,B_{m}=(-1)^{m+1}\frac{2l}{m\pi}$$

다음의 파동방정식$$\begin{align*}u_{tt}&=c^{2}u_{xx}\\u(0,\,t)&=u(l,\,t)=0\\u(x,\,0)&=x,\,u_{t}(x,\,0)=0\end{align*}$$의 해는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}\right)\sin\frac{n\pi x}{l}}$$위의 해를 시간에 대해 미분하면$$u_{t}(x,\,t)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n\pi c}{l}\left(-A_{n}\sin\frac{n\pi ct}{l}+B_{n}\cos\frac{n\pi ct}{l}\right)\sin\frac{n\pi x}{l}}$$이고 이 미분한 식에서 \(t=0\)을 대입하면$$0=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n\pi c}{l}B_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$이므로 \(B_{n}=0\)이다. \(u(x,\,t)\)에 \(t=0\)을 대입하면$$x=\sum_{n=1}^{\infty}{A_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}}$$이므로 \(u(x,\,t)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u(x,\,t)=\frac{2l}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{n\pi ct}{l}}$$

다음의 조건을 만족하는 함수 \(\phi(x)\)를 주기함수(periodic function)라고 한다. 

\(p>0\)가 존재해서 모든 \(x\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\phi(x+p)=\phi(x)\)

다음의 조건을 만족하는 함수 \(\phi(x)\)를 우함수(even function)라고 한다.$$\phi(-x)=\phi(x)$$ 

다음의 조건을 만족하는 함수 \(\phi(x)\)를 기함수(odd function)라고 한다.$$\phi(-x)=-\phi(x)$$임의의 실함수 \(\phi(x)\)를 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있다. \(\phi_{e}(x)\)를 우함수, \(\phi_{o}(x)\)를 기함수라고 하고 \(\phi(x)=\phi_{e}(x)+\phi_{o}(x)\)라고 하자. 그러면$$\phi_{e}(x)=\frac{\phi(x)+\phi(-x)}{2},\,\phi_{o}(x)=\frac{\phi(x)-\phi(-x)}{2}$$이므로 \(\phi(x)\)가 우함수와 기함수의 합으로 나타내어짐을 알 수 있다. 또한 우함수와 기함수의 정적분은 다음과 같다.$$\int_{-l}^{l}{\phi_{e}(x)dx}=2\int_{0}^{l}{\phi_{e}(x)dx},\,\int_{-l}^{l}{\phi_{o}(x)dx}=0$$복소수에 대한 오일러공식$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$로부터 사인함수와 코사인함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i},\,\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$그러므로 사인, 코사인의 삼각함수 대신 \(e^{i\frac{n\pi x}{l}}\)과 \(e^{-i\frac{n\pi x}{l}}\)를 이용하여 나타낼 수 있고 따라서 \(\phi(x)\)의 푸리에 급수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\phi(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}e^{i\frac{n\pi x}{l}}}$$다음의 두 식$$\int_{-l}^{l}{e^{i\frac{n\pi x}{l}}e^{-i\frac{m\pi x}{l}}dx}=0,\,\int_{-l}^{l}{e^{i\frac{\cdot0\cdot\pi x}{l}}dx}=2l$$으로부터 푸리에계수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$c_{n}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{\phi(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}}dx}$$ 

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley