[편미분방정식] 10. 완비성과 깁스현상

[편미분방정식] 10. 완비성과 깁스현상

\(C^{(1)}\)함수(도함수가 연속인 함수) \(f(x)\)의 주기가 \(2l\)이라 하자. \(l=\pi\)라 하면 \(f(x)\)의 푸리에 급수는$$f(x)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx)}$$이고 여기서 \(A_{n},\,B_{n}\)은 다음과 같다.$$\begin{align*}A_{n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(y)\cos nydy}\,(n\in\mathbb{N}\cup\{0\})\\B_{n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(y)\sin nydy}\,(n\in\mathbb{N})\end{align*}$$푸리에 급수의 \(N\)번째 부분합은 다음과 같고$$S_{N}(x)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{N}{(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx)}$$이고, 이 급수가 \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(f(x)\)로 수렴함을 보이고자 한다. 점별수렴은 \(x\)가 고정되었을 때 극한을 취함을 뜻한다. 

증명의 첫 단계는 부분합의 계수에 대한 공식을 고정하고 항들을 재배열하는 것이다. 이 실행을 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$S_{N}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\left\{1+2\sum_{n=1}^{N}{(\cos ny\cos nx+\sin ny\sin nx)}\right\}f(y)dy}$$위 식을 다음과 같이 정리할 수 있고$$S_{N}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(x-y)f(y)dy}$$여기서 \(K_{N}(\theta)\)는 다음과 같다.$$K_{N}(\theta)=1+2\sum_{n=1}^{N}{\cos n\theta}$$다음 단계(두 번째 단계)는 디리클레 핵(Dirichlet function)이라고 불리는 함수 \(K_{N}(\theta)\)의 성질에 대해 연구하는 것이다. \(K_{N}(\theta)\)는 주기가 \(2\pi\)이고 다음이 성립한다.$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(\theta)d\theta}=1+0+0+\cdots+0=1$$\(K_{N}(\theta)\)를 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.$$K_{N}(\theta)=\frac{\displaystyle\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}$$증명: 복소지수에 대한 드 므아브르 공식에 의해$$\begin{align*}K_{N}(\theta)&=1+\sum_{n=1}^{N}{(e^{in\theta}+e^{-in\theta})}=\sum_{n=-N}^{N}{e^{in\theta}}\\&=e^{-iN\theta}+\cdots+1+\cdots+e^{iN\theta}\end{align*}$$이것은 첫째 항이 \(e^{-in\theta}\)이고 공비가 \(e^{i\theta}\), 마지막 항이 \(e^{iN\theta}\)인 유한등비급수이다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}K_{N}(\theta)&=\frac{e^{-iN\theta}-e^{i(N+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}\\&=\frac{e^{-i\left(N+\frac{1}{2}\right)}-e^{i\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta}\theta}{-e^{\frac{1}{2}i\theta}+e^{-\frac{1}{2}i\theta}}\\&=\frac{\displaystyle\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}\end{align*}$$다음은 \(K_{N}(\theta)\)의 그래프를 나타낸 것이다.

세 번째 단계는 \(K_{N}(\theta)\)를 \(S_{N}(x)\)에 결합하는 것이다. \(\theta=y-x\)라 하고, \(K_{N}\)이 우함수라는 점을 이용해 \(S_{N}(x)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$S_{N}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(\theta)f(x+\theta)d\theta}$$적분구간은 \([x-\pi,\,x+\pi]\)가 되어야 하는데 \(K_{N}\)과 \(f\)의 주기는 모두 \(2\pi\)이기 때문이다. 다음으로 상수 \(f(x)=f(x)\cdot1\)를 빼고, \(K_{N}(\theta)\)에 대한 식을 이용해 다음과 같이 나타낸다.$$\begin{align*}S_{N}(x)-f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(\theta)\{f(x+\theta)-f(x)\}d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(\theta)\sin\left\{\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta\right\}d\theta}\end{align*}$$여기서 \(g(\theta)\)는 다음과 같다.$$g(\theta)=\frac{f(x+\theta)-f(x)}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}$$\(x\)는 고정되었음에 유의하고, \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(S_{N}(x)-f(x)\,\rightarrow\,0\)이다. 

이제 네 번째 단계이다. 다음의 함수$$\phi_{N}(\theta)=\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta\,(N\in\mathbb{N})$$가 구간 \((0,\,\pi)\)에서 직교집합을 형성하는데 고정된 경계조건에 대응되기 때문이다. 따라서 \((-\pi,\,\pi)\)에서 직교한다. 그러므로 다음의 베셀부등식을 적용할 수 있고,$$\sum_{N=1}^{\infty}{\frac{|\langle g,\,\phi_{N}\rangle|^{2}}{\|\phi_{N}\|^{2}}}\leq\|g\|^{2}$$직접적인 계산에 의해 \(\|\phi_{N}\|^{2}=\pi\)이고 \(\|g\|<\infty\)이면 위의 급수는 수렴하고, 0으로 수렴한다. 그러면 \(\langle g,\,\phi_{N}\rangle\,\rightarrow\,0\)이고, 이것은 \(S_{N}(x)-f(x)\,\rightarrow\,0\)을 뜻한다. 

마지막 단계는 \(\|g\|<\infty\)가 성립함을 확인하는 것이다.$$\|g\|^{2}=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\{f(x+\theta)-f(x)\}^{2}}{\displaystyle\sin^{2}\frac{1}{2}\theta}d\theta}$$이고 분자는 연속함수이므로 분모의 사인함수가 0으로 갈 때에 대해 조사하면 된다. 로피탈의 법칙에 의해$$\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{g(\theta)}=\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\theta)-f(x)}{\theta}\frac{\theta}{\sin\frac{1}{2}\theta}}=2f'(x)$$그러므로 \(g(\theta)\)는 \(\theta\)에 대한 연속함수이고 \(\|g\|\)는 유한하다. 이렇게 임의의 \(C^{(1)}\)함수의 푸리에급수의 점별수렴을 증명하였다. 

\(-\infty<x<\infty\)에서 주기함수 \(f(x)\)가 조각연속이고 \(f'(x)\)도 조각연속이면, 푸리에급수가 수렴하고 그 합이 \(\displaystyle\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}\)임을 보이고자 한다. \(f(x),\,f'(x)\)가 조각연속이라는 것은 유한개의 점을 제외한 나머지에서 연속임을 뜻하고, 그 유한개의 점에서 점프 불연속임을 뜻한다. 

증명은 앞에서 다루었던 \(C^{(1)}\)함수와 비슷하나 세 번째 단계에서 \(f(x)\)를 다음과 같이 \(\displaystyle\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}\)로 대체한 것이다.$$\begin{align*}S_{N}(x)-\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}{K_{N}(\theta)\{f(x+\theta)-f(x+)\}d\theta}+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}{K_{N}(\theta)\{f(x+\theta)-f(x-)\}d\theta}\\&=\int_{0}^{\pi}{g_{+}(\theta)\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta d\theta}+\int{-\pi}^{0}{g_{-}(\theta)\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta d\theta}\end{align*}$$여기서 \(g_{\pm}(\theta)\)는 다음과 같다.$$g_{\pm}(\theta)=\frac{f(x+\theta)-f(x\pm)}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}$$네 번째 단계는 함수 \(\displaystyle\sin\left\{\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta\right\}\,(N\in\mathbb{N})\)가 구간 \((-\pi,\,0)\)과 \((0,\,\pi)\)에서 정규직교집합을 형성함을 관찰하자. \(C^{(1)}\)함수의 경우와 비슷하게 다음이 성립할 때$$\int_{0}^{\pi}{|g_{+}(\theta)|^{2}d\theta}<\infty,\,\int_{-\pi}^{0}{|g_{-}(\theta)|^{2}d\theta}<\infty$$\(N\,\rightarrow\,\infty\)이면 \(\displaystyle S_{N}(x)-\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}\,\rightarrow\,0\)이 됨을 보일 수 있다. 

이제 다섯 번째 단계이다. 적분이 발산할 수 있는 경우는 \(\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta\)가 0이 되는 \(\theta=0\)에서이다. \(g_{+}(\theta)\)의 한쪽극한은$$\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{g_{+}(\theta)}=\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\theta)-f(x+)}{\theta}\frac{\theta}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}}=2f'(x+)$$이고, \(x)가 한쪽도함수 \(f'(x+)\)가 존재하는 점일 때 존재한다. \(f'(x+)\)가 존재하지 않으면 \(f\)는 그 점 근방에서 미분가능하고, 평균값의 정리에 의해 \(x\)와 \(x+\theta\)사이에 \(\theta^{*}\)가 존재해서 \(\displaystyle f'(\theta^{*})=\frac{f(x+\theta)-f(x+)}{\theta}\)이다. 이 도함수는 유계이므로 충분히 작은 \(\theta\geq0\)에 대해 \(\displaystyle\frac{f(x+\theta)-f(x)}{\theta}\)는 유계이다. 그러면 \(g_{+}(\theta)\)는 유계이고 \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}{|g_{+}(\theta)|^{2}d\theta}<\infty\)이다. 같은 방법으로 \(g_{-}(\theta)\)에 대해서 보일 수 있다. 

이렇게 해서 일반적인 \(C^{(1)}\)함수와 구분연속함수의 푸리에 급수가 수렴함을 보였다. 다시 \(f(x),\,f'(x)\)가 주기가 \(2\pi\)인 연속함수라 하자. 여기서는 푸리에 계수가 빠르게 0으로 수렴함을 보이고자 한다. \(A_{n},\,B_{n}\)을 \(f(x)\) 푸리에 계수라 하고, \(A_{n}',\,B_{n}'\)을 \(f'(x)\)의 푸리에 계수라 하자. 부분적분법에 의해$$\begin{align*}A_{n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos nxdx}\\&=\left[\frac{f(x)\sin nx}{n\pi}\right]_{\pi}^{\pi}-\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f'(x)\sin nxdx}\\&=-\frac{1}{n}B_{n}\end{align*}$$이고 같은 방법으로 \(B_{n}=\frac{1}{n}A_{n}'\)임을 보일 수 있다. 베셀의 부등식에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(|A_{n}'|^{2}+|B_{n}'|^{2})}<\infty\)이고 그러므로 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}{(|A_{n}\cos nx|+|B_{n}\sin nx|)}&\leq\sum_{n=1}^{\infty}{(|A_{n}|+|B_{n}|)}\\&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(|B_{n}'|+|A_{n}'|)}{n}}\\&\leq\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}}\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}{2(|A_{n}'|^{2}+|B_{n}'|^{2})}}\\&<\infty\end{align*}$$위의 마지막 줄은 슈바르츠 부등식을 적용한 것이고 이것은 푸리에 급수가 절대수렴함을 뜻한다. 

\(S_{N}(x)\)를 푸리에 급수의 \(N\)번째 부분합이라고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있고$$\begin{align*}\max_{x}|f(x)-S_{N}(x)|&\leq\max\sum_{n=N+1}^{\infty}{|A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx|}\\&\leq\sum_{n=N+1}^{\infty}{(|A_{n}|+|B_{n}|)}\\&<\infty\end{align*}$$위의 마지막 합은 \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 0으로 수렴하고 따라서 푸리에 급수는 \(f(x)\)로 절대수렴하고, 균등수렴한다. 

이 증명은 \(f(x)\)가 연속이나 \(f'(x)\)가 조각연속인 경우에 대해서도 적용할 수 있다. 그 예로 \(f(x)=|x|\)가 있다. 

깁스현상(Gibbs phenomenon)은 점프 불연속점에서 푸리에 급수가 일으키는 현상이다. 점프불연속을 갖는 함수에 대해 부분합 \(S_{N}(x)\)은 다음과 같이 충분히 큰 \(N\)에 대해 근사한 것을 나타낸 것이다.

깁스는 \(S_{N}(x)\)가 급격한 점프가 일어나는 점 근처에서 약 9% 다르다는 것을 보였다. \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 급격한 점프가 일어나는 점의 폭은 0으로 수렴한다. 따라서 \(f(x)\)가 점프하지 않는 \(x\)에서 \(S_{N}(x)-f(x)\,\rightarrow\,0\)이더라고 다음과 같게 된다.$$\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\max_{x}|S_{N}(x)-f(x)|}\neq0$$. 다음 함수$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}&\,(0<x<\pi)\\-\frac{1}{2}&\,(-\pi<x<0)\end{cases}$$에 대한 푸리에 급수는 \(\displaystyle\sum_{n\,\text{odd}}^{\infty}{\frac{2}{n\pi}\sin n\pi}\)이고 위의 그래프는 \(S_{16}(x)\)를 나타낸 것이다. 부분합 \(S_{N}\)은 다음과 같고$$\begin{align*}S_{N}(x)&=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}{K_{N}(x-y)dy}-\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{0}{K_{N}(x-y)dy}\\&=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)(x-y)}{\sin\frac{1}{2}(x-y)}dy}-\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{0}{\frac{\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)(x-y)}{\sin\frac{1}{2}(x-y)}dy}\end{align*}$$\(\displaystyle M=N+\frac{1}{2}\)이라 하자. 다음의 첫 번째 적분에서 \(\theta=M(x-y)\), 두 번째 적분에서 \(\theta=M(y-x)\)라 하자. 변수변환에 의해$$\begin{align*}S_{N}(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{M(x-\pi)}^{Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}-\frac{1}{2\pi}\int_{-M(x+\pi)}^{-Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-Mx}^{Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}-\frac{1}{2\pi}\int_{-M\pi-Mx}^{-M\pi+Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-Mx}^{Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}-\frac{1}{2\pi}\int_{M\pi-Mx}^{M\pi+Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}\end{align*}$$위의 마지막 적분식은 \(\theta\)에 \(-\theta\)를 대입한 것이고, 피적분함수는 우함수이다. \(S_{N}(x)\)는 피적분함수의 분모 \(\displaystyle\sin\frac{\theta}{2M}\)이 충분히 작을 때 그 값이 커지고, \(\displaystyle x=\frac{\pi}{M}\)에서 \(S_{N}(x)\)는 극대이다.$$S_{N}\left(\frac{\pi}{M}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}-\frac{1}{2M}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}$$이고, \(\displaystyle\frac{\theta}{2M}\)은 다음에 의해 위로 유계이고 아래로 유계이다. \(M>0\)에 대하여$$\frac{\pi}{4}<\left(1-\frac{1}{M}\right)\frac{\pi}{M}\leq\frac{\theta}{2M}\leq\left(1+\frac{1}{M}\right)\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{4}$$이고 따라서 \(\displaystyle\sin\frac{\theta}{2M}>\frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로$$\frac{1}{2\pi}\int_{M\pi-\pi}^{M\pi+\pi}{\left(\frac{2M}{\sqrt{2}}\right)^{-1}d\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}M}$$이고 \(M\,\rightarrow\,\infty\)일 때 0으로 수렴한다. 

반면에 \(|\theta|\leq\pi\)이고, \(M\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle 2M\sin\frac{\theta}{2M}\)은 \(-\pi\leq\theta\leq\pi\)에서 \(\theta\)로 균등수렴하고, \(\displaystyle S_{N}\left(\frac{\pi}{M}\right)\,\rightarrow\,\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin\theta}{\theta}d\theta}\simeq0.95\)이다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley