[편미분방정식] 10. 완비성과 깁스현상

[편미분방정식] 10. 완비성과 깁스현상

$C^{(1)}$함수(도함수가 연속인 함수) $f(x)$의 주기가 $2l$이라 하자. $l=\pi$라 하면 $f(x)$의 푸리에 급수는 $$f(x)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx)}$$ 이고 여기서 $A_{n},\,B_{n}$은 다음과 같다. $$\begin{align*}A_{n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(y)\cos nydy}\,(n\in\mathbb{N}\cup\{0\})\\B_{n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(y)\sin nydy}\,(n\in\mathbb{N})\end{align*}$$ 푸리에 급수의 $N$번째 부분합은 다음과 같고 $$S_{N}(x)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{N}{(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx)}$$ 이고, 이 급수가 $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 $f(x)$로 수렴함을 보이고자 한다. 점별수렴은 $x$가 고정되었을 때 극한을 취함을 뜻한다. 

증명의 첫 단계는 부분합의 계수에 대한 공식을 고정하고 항들을 재배열하는 것이다. 이 실행을 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$S_{N}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\left\{1+2\sum_{n=1}^{N}{(\cos ny\cos nx+\sin ny\sin nx)}\right\}f(y)dy}$$ 위 식을 다음과 같이 정리할 수 있고 $$S_{N}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(x-y)f(y)dy}$$ 여기서 $K_{N}(\theta)$는 다음과 같다. $$K_{N}(\theta)=1+2\sum_{n=1}^{N}{\cos n\theta}$$ 다음 단계(두 번째 단계)는 디리클레 핵(Dirichlet function)이라고 불리는 함수 $K_{N}(\theta)$의 성질에 대해 연구하는 것이다. $K_{N}(\theta)$는 주기가 $2\pi$이고 다음이 성립한다. $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(\theta)d\theta}=1+0+0+\cdots+0=1$$ $K_{N}(\theta)$를 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다. $$K_{N}(\theta)=\frac{\displaystyle\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}$$ 증명: 복소지수에 대한 드 므아브르 공식에 의해 $$\begin{align*}K_{N}(\theta)&=1+\sum_{n=1}^{N}{(e^{in\theta}+e^{-in\theta})}=\sum_{n=-N}^{N}{e^{in\theta}}\\&=e^{-iN\theta}+\cdots+1+\cdots+e^{iN\theta}\end{align*}$$ 이것은 첫째 항이 $e^{-in\theta}$이고 공비가 $e^{i\theta}$, 마지막 항이 $e^{iN\theta}$인 유한등비급수이다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}K_{N}(\theta)&=\frac{e^{-iN\theta}-e^{i(N+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}\\&=\frac{e^{-i\left(N+\frac{1}{2}\right)}-e^{i\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta}\theta}{-e^{\frac{1}{2}i\theta}+e^{-\frac{1}{2}i\theta}}\\&=\frac{\displaystyle\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}\end{align*}$$ 다음은 $K_{N}(\theta)$의 그래프를 나타낸 것이다.

세 번째 단계는 $K_{N}(\theta)$를 $S_{N}(x)$에 결합하는 것이다. $\theta=y-x$라 하고, $K_{N}$이 우함수라는 점을 이용해 $S_{N}(x)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$S_{N}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(\theta)f(x+\theta)d\theta}$$ 적분구간은 $[x-\pi,\,x+\pi]$가 되어야 하는데 $K_{N}$과 $f$의 주기는 모두 $2\pi$이기 때문이다. 다음으로 상수 $f(x)=f(x)\cdot1$를 빼고, $K_{N}(\theta)$에 대한 식을 이용해 다음과 같이 나타낸다. $$\begin{align*}S_{N}(x)-f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(\theta)\{f(x+\theta)-f(x)\}d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{g(\theta)\sin\left\{\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta\right\}d\theta}\end{align*}$$ 여기서 $g(\theta)$는 다음과 같다. $$g(\theta)=\frac{f(x+\theta)-f(x)}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}$$ $x$는 고정되었음에 유의하고, $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 $S_{N}(x)-f(x)\,\rightarrow\,0$이다. 

이제 네 번째 단계이다. 다음의 함수 $$\phi_{N}(\theta)=\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta\,(N\in\mathbb{N})$$ 가 구간 $(0,\,\pi)$에서 직교집합을 형성하는데 고정된 경계조건에 대응되기 때문이다. 따라서 $(-\pi,\,\pi)$에서 직교한다. 그러므로 다음의 베셀부등식을 적용할 수 있고, $$\sum_{N=1}^{\infty}{\frac{|\langle g,\,\phi_{N}\rangle|^{2}}{\|\phi_{N}\|^{2}}}\leq\|g\|^{2}$$ 직접적인 계산에 의해 $\|\phi_{N}\|^{2}=\pi$이고 $\|g\|<\infty$이면 위의 급수는 수렴하고, 0으로 수렴한다. 그러면 $\langle g,\,\phi_{N}\rangle\,\rightarrow\,0$이고, 이것은 $S_{N}(x)-f(x)\,\rightarrow\,0$을 뜻한다. 

마지막 단계는 $\|g\|<\infty$가 성립함을 확인하는 것이다. $$\|g\|^{2}=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\{f(x+\theta)-f(x)\}^{2}}{\displaystyle\sin^{2}\frac{1}{2}\theta}d\theta}$$ 이고 분자는 연속함수이므로 분모의 사인함수가 0으로 갈 때에 대해 조사하면 된다. 로피탈의 법칙에 의해 $$\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{g(\theta)}=\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\theta)-f(x)}{\theta}\frac{\theta}{\sin\frac{1}{2}\theta}}=2f'(x)$$ 그러므로 $g(\theta)$는 $\theta$에 대한 연속함수이고 $\|g\|$는 유한하다. 이렇게 임의의 $C^{(1)}$함수의 푸리에급수의 점별수렴을 증명하였다. 

$-\infty<x<\infty$에서 주기함수 $f(x)$가 조각연속이고 $f'(x)$도 조각연속이면, 푸리에급수가 수렴하고 그 합이 $\displaystyle\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}$임을 보이고자 한다. $f(x),\,f'(x)$가 조각연속이라는 것은 유한개의 점을 제외한 나머지에서 연속임을 뜻하고, 그 유한개의 점에서 점프 불연속임을 뜻한다. 

증명은 앞에서 다루었던 $C^{(1)}$함수와 비슷하나 세 번째 단계에서 $f(x)$를 다음과 같이 $\displaystyle\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}$로 대체한 것이다. $$\begin{align*}S_{N}(x)-\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}{K_{N}(\theta)\{f(x+\theta)-f(x+)\}d\theta}+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}{K_{N}(\theta)\{f(x+\theta)-f(x-)\}d\theta}\\&=\int_{0}^{\pi}{g_{+}(\theta)\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta d\theta}+\int{-\pi}^{0}{g_{-}(\theta)\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta d\theta}\end{align*}$$ 여기서 $g_{\pm}(\theta)$는 다음과 같다. $$g_{\pm}(\theta)=\frac{f(x+\theta)-f(x\pm)}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}$$ 네 번째 단계는 함수 $\displaystyle\sin\left\{\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta\right\}\,(N\in\mathbb{N})$가 구간 $(-\pi,\,0)$과 $(0,\,\pi)$에서 정규직교집합을 형성함을 관찰하자. $C^{(1)}$함수의 경우와 비슷하게 다음이 성립할 때 $$\int_{0}^{\pi}{|g_{+}(\theta)|^{2}d\theta}<\infty,\,\int_{-\pi}^{0}{|g_{-}(\theta)|^{2}d\theta}<\infty$$ $N\,\rightarrow\,\infty$이면 $\displaystyle S_{N}(x)-\frac{1}{2}\{f(x+)+f(x-)\}\,\rightarrow\,0$이 됨을 보일 수 있다. 

이제 다섯 번째 단계이다. 적분이 발산할 수 있는 경우는 $\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta$가 0이 되는 $\theta=0$에서이다. $g_{+}(\theta)$의 한쪽극한은 $$\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{g_{+}(\theta)}=\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\theta)-f(x+)}{\theta}\frac{\theta}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}}=2f'(x+)$$ 이고, $x)가 한쪽도함수 \(f'(x+)$가 존재하는 점일 때 존재한다. $f'(x+)$가 존재하지 않으면 $f$는 그 점 근방에서 미분가능하고, 평균값의 정리에 의해 $x$와 $x+\theta$사이에 $\theta^{*}$가 존재해서 $\displaystyle f'(\theta^{*})=\frac{f(x+\theta)-f(x+)}{\theta}$이다. 이 도함수는 유계이므로 충분히 작은 $\theta\geq0$에 대해 $\displaystyle\frac{f(x+\theta)-f(x)}{\theta}$는 유계이다. 그러면 $g_{+}(\theta)$는 유계이고 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{|g_{+}(\theta)|^{2}d\theta}<\infty$이다. 같은 방법으로 $g_{-}(\theta)$에 대해서 보일 수 있다. 

이렇게 해서 일반적인 $C^{(1)}$함수와 구분연속함수의 푸리에 급수가 수렴함을 보였다. 다시 $f(x),\,f'(x)$가 주기가 $2\pi$인 연속함수라 하자. 여기서는 푸리에 계수가 빠르게 0으로 수렴함을 보이고자 한다. $A_{n},\,B_{n}$을 $f(x)$ 푸리에 계수라 하고, $A_{n}',\,B_{n}'$을 $f'(x)$의 푸리에 계수라 하자. 부분적분법에 의해 $$\begin{align*}A_{n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos nxdx}\\&=\left[\frac{f(x)\sin nx}{n\pi}\right]_{\pi}^{\pi}-\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f'(x)\sin nxdx}\\&=-\frac{1}{n}B_{n}\end{align*}$$ 이고 같은 방법으로 $B_{n}=\frac{1}{n}A_{n}'$임을 보일 수 있다. 베셀의 부등식에 의해 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(|A_{n}'|^{2}+|B_{n}'|^{2})}<\infty$이고 그러므로 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}{(|A_{n}\cos nx|+|B_{n}\sin nx|)}&\leq\sum_{n=1}^{\infty}{(|A_{n}|+|B_{n}|)}\\&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(|B_{n}'|+|A_{n}'|)}{n}}\\&\leq\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}}\sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}{2(|A_{n}'|^{2}+|B_{n}'|^{2})}}\\&<\infty\end{align*}$$ 위의 마지막 줄은 슈바르츠 부등식을 적용한 것이고 이것은 푸리에 급수가 절대수렴함을 뜻한다. 

$S_{N}(x)$를 푸리에 급수의 $N$번째 부분합이라고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$\begin{align*}\max_{x}|f(x)-S_{N}(x)|&\leq\max\sum_{n=N+1}^{\infty}{|A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx|}\\&\leq\sum_{n=N+1}^{\infty}{(|A_{n}|+|B_{n}|)}\\&<\infty\end{align*}$$ 위의 마지막 합은 $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 0으로 수렴하고 따라서 푸리에 급수는 $f(x)$로 절대수렴하고, 균등수렴한다. 

이 증명은 $f(x)$가 연속이나 $f'(x)$가 조각연속인 경우에 대해서도 적용할 수 있다. 그 예로 $f(x)=|x|$가 있다. 

깁스현상(Gibbs phenomenon)은 점프 불연속점에서 푸리에 급수가 일으키는 현상이다. 점프불연속을 갖는 함수에 대해 부분합 $S_{N}(x)$은 다음과 같이 충분히 큰 $N$에 대해 근사한 것을 나타낸 것이다.

깁스는 $S_{N}(x)$가 급격한 점프가 일어나는 점 근처에서 약 9% 다르다는 것을 보였다. $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 급격한 점프가 일어나는 점의 폭은 0으로 수렴한다. 따라서 $f(x)$가 점프하지 않는 $x$에서 $S_{N}(x)-f(x)\,\rightarrow\,0$이더라고 다음과 같게 된다. $$\lim_{N\,\rightarrow\,\infty}{\max_{x}|S_{N}(x)-f(x)|}\neq0$$ . 다음 함수 $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}&\,(0<x<\pi)\\-\frac{1}{2}&\,(-\pi<x<0)\end{cases}$$ 에 대한 푸리에 급수는 $\displaystyle\sum_{n\,\text{odd}}^{\infty}{\frac{2}{n\pi}\sin n\pi}$이고 위의 그래프는 $S_{16}(x)$를 나타낸 것이다. 부분합 $S_{N}$은 다음과 같고 $$\begin{align*}S_{N}(x)&=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}{K_{N}(x-y)dy}-\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{0}{K_{N}(x-y)dy}\\&=\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)(x-y)}{\sin\frac{1}{2}(x-y)}dy}-\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{0}{\frac{\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)(x-y)}{\sin\frac{1}{2}(x-y)}dy}\end{align*}$$ $\displaystyle M=N+\frac{1}{2}$이라 하자. 다음의 첫 번째 적분에서 $\theta=M(x-y)$, 두 번째 적분에서 $\theta=M(y-x)$라 하자. 변수변환에 의해 $$\begin{align*}S_{N}(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{M(x-\pi)}^{Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}-\frac{1}{2\pi}\int_{-M(x+\pi)}^{-Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-Mx}^{Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}-\frac{1}{2\pi}\int_{-M\pi-Mx}^{-M\pi+Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-Mx}^{Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}-\frac{1}{2\pi}\int_{M\pi-Mx}^{M\pi+Mx}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}\end{align*}$$ 위의 마지막 적분식은 $\theta$에 $-\theta$를 대입한 것이고, 피적분함수는 우함수이다. $S_{N}(x)$는 피적분함수의 분모 $\displaystyle\sin\frac{\theta}{2M}$이 충분히 작을 때 그 값이 커지고, $\displaystyle x=\frac{\pi}{M}$에서 $S_{N}(x)$는 극대이다. $$S_{N}\left(\frac{\pi}{M}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}-\frac{1}{2M}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin\theta}{2M\sin\frac{\theta}{2M}}d\theta}$$ 이고, $\displaystyle\frac{\theta}{2M}$은 다음에 의해 위로 유계이고 아래로 유계이다. $M>0$에 대하여 $$\frac{\pi}{4}<\left(1-\frac{1}{M}\right)\frac{\pi}{M}\leq\frac{\theta}{2M}\leq\left(1+\frac{1}{M}\right)\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{4}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\sin\frac{\theta}{2M}>\frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 $$\frac{1}{2\pi}\int_{M\pi-\pi}^{M\pi+\pi}{\left(\frac{2M}{\sqrt{2}}\right)^{-1}d\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}M}$$ 이고 $M\,\rightarrow\,\infty$일 때 0으로 수렴한다. 

반면에 $|\theta|\leq\pi$이고, $M\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle 2M\sin\frac{\theta}{2M}$은 $-\pi\leq\theta\leq\pi$에서 $\theta$로 균등수렴하고, $\displaystyle S_{N}\left(\frac{\pi}{M}\right)\,\rightarrow\,\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin\theta}{\theta}d\theta}\simeq0.95$이다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley