[편미분방정식] 12. 포아송 공식

[편미분방정식] 12. 포아송 공식

가장 흥미로운 경우는 원에서의 디리클레 문제이다. \(\Delta\)의 회전변환불변은 원이 조화함수의 자연스런 형태라는 것에 대한 힌트이다. 다음의 문제를 고려하자.$$\begin{align*}u_{xx}+u_{yy}=0\,&x^{2}+y^{2}<a^{2}\\u=h(\theta)\,&x^{2}+y^{2}=a^{2}\end{align*}$$여기서 \(a\)는 반지름, \(h(\theta)\)는 경계조건의 자료이다. 

극좌표에서 변수분리를 하자. \(u=R(r)\Theta(\theta)\)라 하면

그러면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}0&=u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}\\&=R''\Theta+\frac{1}{r}R'\Theta+\frac{1}{r^{2}}R\Theta''\end{align*}$$위 식을 \(R\Theta\)로 나눈 다음 \(r^{2}\)을 곱하면 다음의 식들을 얻는다.$$\Theta''+\lambda\Theta=0,\,r^{2}R''+rR'-\lambda R=0$$\(\Theta(\theta)\)에 대해 다음의 주기적 경계조건이 요구된다.$$\Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta),\,-\infty<\theta<\infty$$따라서$$\lambda=n^{2},\,\Theta(\theta)=A\cos n\theta+B\sin n\theta\,(n\in\mathbb{N})$$또한 \(\lambda=0\), \(\Theta(\theta)=A\)도 이 방정식의 해이다.

\(R\)에 대한 방정식은 해가 \(R(r)=r^{\alpha}\)형태이므로 풀기가 쉽다. \(\lambda=n^{2}\)이므로$$\alpha(\alpha-1)r^{\alpha}+\alpha r^{\alpha}-n^{2}r^{\alpha}=0$$이고 \(\alpha=\pm n\)이므로 \(R(r)=Cr^{n}+Dr^{-n}\)이고 다음의 변수분리해를 얻는다.$$u=\left(Cr^{n}+Dr^{-n}\right)(A\cos\theta+B\sin\theta)$$\(n=0\)이면, 일차독립인 또 다른 해가 필요하고, 그 해는 \(R=\ln r\)이므로 \(u=C+D\ln r\)이다. \(r=0\)에서 \(r^{-n}\)과 \(\ln r\)은 무한대이므로 해가 유한하기 위한 조건은 \(r=0\)에서 경계조건이다. 남은 항들을 더하면 다음을 얻고$$u=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{r^{n}(A_{n\cos n\theta}+B_{n}\sin n\theta)}$$이다. 마지막으로 \(r=a\)에서 비동차 경계조건을 이용하자. 위의 급수에서 \(r=a\)이라 하면 다음의 식이 필요하고$$h(\theta)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{a^{n}(A_{n}\cos n\theta+B_{n}\sin n\theta)}$$이것은 \(h(\theta)\)에 대한 푸리에 급수이고 다음이 성립한다.$$A_{n}=\frac{1}{\pi a^{n}}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)\cos n\phi d\phi},\,B_{n}=\frac{1}{\pi a^{n}}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)\sin n\phi d\phi}$$이다. 위의 두 식들을 \(u\)에 대한 급수에 대입하자. 그러면$$\begin{align*}u(r,\,\theta)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)d\phi}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^{n}}{\pi a^{n}}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)\{\cos n\phi\cos n\theta+\sin n\phi\sin n\theta\}d\phi}}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)\left\{1+2\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{r}{a}\right)^{n}\cos n(\theta-\phi)}\right\}d\phi}\end{align*}$$위 적분식 안의 대괄호 부분은 다음과 같고$$\begin{align*}&1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{r}{a}\right)^{n}e^{in(\theta-\phi)}}+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{r}{a}\right)^{n}e^{-in(\theta-\phi)}}\\&=1+\frac{re^{i(\theta-\phi)}}{a-re^{i(\theta-\phi)}}+\frac{re^{i(\theta-\phi)}}{a-re^{-i(\theta-\phi)}}\\&=\frac{a^{2}-r^{2}}{a^{2}-2ar\cos(\theta-\phi)+r^{2}}\end{align*}$$이므로 다음의 식을 얻고$$u(r,\,\theta)=\frac{a^{2}-r^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\frac{h(\phi)}{a^{2}-2ar\cos(\theta-\phi)+r^{2}}d\phi}$$이 공식을 포아송 공식(Poisson's formula)이라고 하고, 앞의 세 공식들을 대체한다.  

포아송 공식은 다음과 같이 기하학적으로 나타낼 수 있다. 

\(\mathbf{x}=(x,\,y)\)를 극좌표 \((r,\,\theta)\)로 나타내자.

\(\mathbf{x}\)를 원점에서 점 \((x,\,y)\)로의 벡터로 볼 수 있고 \(\mathbf{x}'\)을 경계점이라 하자. \(\mathbf{x}\)를 극좌표 \((r,\,\theta)\)라 하면 \(\mathbf{x}'\)은 극좌표 \((a,\,\phi)\)이다. 

원점과 점 \(\mathbf{x},\,\mathbf{x}'\)은 삼각형을 형성하고 변의 길이는 각각 \(r=|\mathbf{x}|\), \(a=|\mathbf{x}'|\), \(|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|\)이다. 코사인 법칙에 의해$$|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^{2}=a^{2}+r^{2}-2ar\cos(\theta-\phi)$$이고 원둘레에서의 호의 길이요소는 \(ds'=ad\phi\)이므로 포아송 공식을 \(\mathbf{x}\in D\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u(\mathbf{x})=\frac{a^{2}-|\mathbf{x}|^{2}}{2\pi a}\int_{|\mathbf{x}'|=a}{\frac{u(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^{2}}ds'}$$여기서 \(u(\mathbf{x}')=h(\phi)\)이다. 원에 대해 \(s'=a\phi\)이므로 이것은 호의 길이 \(ds'=ad\phi\)에 대한 선적분이다.

\(h(\phi)=u(\mathbf{x}')\)을 원 \(C=\partial D\)에서의 임의의 연속함수라 하자. 그러면 포아송 공식은 \(D\)에서의 조화함수이고 다음을 만족한다.$$\lim_{\mathbf{x}\,\rightarrow\,\mathbf{x}_{0}}{u(\mathbf{x})}=h(\mathbf{x}_{0}),\,\mathbf{x}_{0}\in C$$이것은 \(u(\mathbf{x})\)가 \(\overline{D}=D\cup C\)위에서 연속함수임을 뜻한다. 

포아송 공식은 여러개의 중요한 결과들을 갖는다. 

평균값 성질(mean value property) \(u\)를 원판 \(D\) 위에서 조화함수이고, 폐포 \(\overline{D}\)에서 연속함수라 하자. 그러면 \(D\)의 중심에서 \(u\)의 값은 원둘레에서 \(u\)의 평균값과 같다. 

증명: 원의 중심인 원점 \(\mathbf{0}\)에서 좌표를 잡자. \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\)(또는 \(r=0\))를 포아송 공식에 대입하면$$u(\mathbf{0})=\frac{a^{2}}{2\pi a}\int_{|\mathbf{x}'|=a}{\frac{u(\mathbf{x}')}{a^{2}}ds'}$$이것은 원둘레 \(|\mathbf{x}'|=a\)위에서 \(u\)의 평균값이다. 

앞에서 최대원리를 증명했고, 여기서는 강력한 최대원리(maximum principle)를 증명하고자 한다. \(u\)는 \(\overline{D}\)에서 연속이므로 그 최댓값은 \(\mathbf{x}_{M}\in\overline{D}\)에서 값는다. \(u\)가 상수함수가 아닌 이상 \(\mathbf{x}_{M}\notin D\)임을 보여야 한다. \(M\)의 정의에 의해$$u(\mathbf{x})\leq u(\mathbf{x}_{M}),\,\mathbf{x}\in D$$\(D\)에 포함되는 \(\mathbf{x}_{M}\)을 중심으로 한 원을 다음과 같이 그리자.

평균값 성질에 의해 \(u(\mathbf{x}_{M})\)는 원둘레에서의 평균값과 같고 평균값은 최댓값보다 크지 않으므로 다음의 부등식을 얻고$$M=u(\mathbf{x}_{M})\leq M$$그러므로 원둘레의 모든 \(\mathbf{x}\)에 대해 \(u(\mathbf{x})=M\) 이것은 임의의 원에서 참이다. 그러므로 위 그림의 빗금친 영역 상의 \(\mathbf{x}\)에 대해 \(u(\mathbf{x})=M\)이다. 

이것을 다른 중심에 대해 반복하자. 원을 이용해 영역을 다 채울 수 있고, \(D\)가 연결집합이라는 가정을 통해 \(D\) 전체에서 \(u(\mathbf{x})=M\)이고 따라서 \(u\)는 상수함수이다. 

미분가능성(differentiability) \(u\)를 평면상의 임의의 열린집합 \(D\)에서 조화함수라 하자. 그러면 \(u(\mathbf{x})=u(x,\,y)\)는 \(D\)에서 무한번 미분가능한 편도함수를 갖는다. \(D\)를 중심이 원점인 원판이라 하자. 포아송 공식의 피적분함수는 모든 \(\mathbf{x}\in D\)에 대해 무한번 미분가능한 편도함수를 갖고, \(\mathbf{x}'(\neq\mathbf{x})\in\partial D\)라 하자. 그러면 적분기호 안에서 미분이 가능하므로 \(u(\mathbf{x})\)는 \(D\)에서 무한번 미분가능한 편도함수를 갖는다. 

\(D\)를 임의의 영역이라 하고 \(\mathbf{x}_{0}\in D\)라 하자. \(B\)를 중심이 \(\mathbf{x}_{0}\)이고 \(D\)안에 포함되는 원이라 하자. 앞에서 \(u(\mathbf{x})\)는 \(B\)에서 미분가능함을 보였고, 따라서 \(\mathbf{x}_{0}\)에서도 미분가능하다. \(\mathbf{x}_{0}\)는 \(D\)의 임의의 점이므로 따라서 \(u\)는 \(D\) 전체의 점에서 미분가능하다. 

극한식 \(\displaystyle\lim_{\mathbf{x}\,\rightarrow\,\mathbf{x}_{0}}{u(\mathbf{x})}=h(\mathbf{x}_{0})\)의 증명

\(r<a\)에 대해 포아송 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u(r,\,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{P(r,\,\theta-\phi)h(\phi)d\phi}$$여기서$$P(r,\,\theta)=\frac{a^{2}-r^{2}}{a^{2}-2ar\cos\theta+r^{2}}=1+2\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{r}{a}\right)^{n}\cos n\theta}$$는 포아송 핵(Poisson kernel)이다. 이때 \(P\)는 다음의 세 성질들을 만족한다.

(i) \(r<a\)에 대해 \(P(r,\,\theta)>0\)이다. 이 성질은 다음의 부등식에 의해 성립한다.$$a^{2}-2ar\cos\theta+r^{2}\geq a^{2}-2ar+r^{2}=(a-r)^{2}>0$$(ii)$$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{P(r,\,\theta)d\theta}=1$$모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\cos n\theta d\theta}=0\)이므로 포아송 핵 공식에 의해 성립한다.

(iii) \(P(r,\,\theta)\)는 원 내부에서 조화함수이다. 이 성질은 포아송 핵 공식의 급수 안의 항 \(\displaystyle\left(\frac{r}{a}\right)^{n}\cos n\theta\)가 조화적이라는 사실로부터 성립하고 따라서 합에 대해서도 성립한다. 

\(r<a\)에 대해$$\begin{align*}u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\left(P_{rr}+\frac{1}{r}P_{r}+\frac{1}{r^{2}}P_{\theta\theta}\right)(r,\,\theta-\phi)h(\phi)d\phi}\\&=\int_{0}^{2\pi}{0\cdot h(\phi)d\phi}=0\end{align*}$$이므로 \(u\)는 \(D\)에서 조화적이다. 

이제 극한식을 증명하자. 이를 위해 각 \(\theta_{0}\)를 고정하고 \(a\)근처의 \(r\)을 반지름이라 하자. 그러면 앞에서의 포아송 핵 \(P\)의 성질 (ii)에 의해$$u(r,\,\theta_{0})-h(\theta_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{P(r,\,\theta_{0}-\phi)\{h(\phi)-h(\theta_{0})\}d\phi}$$이다. \(P(r,\,\theta)\)는 \(\theta=0\)근처에서 집중되어있으므로 이것은 앞에서와 비슷하게 \(\delta\leq\theta2\pi-\delta\)에 대해서 참이고 \(a\)에 충분히 가까운 \(r\)에 대해 다음이 성립한다.$$|P(r,\,\theta)|=\frac{a^{2}-r^{2}}{a^{2}-2ar\cos\theta+r^{2}}=\frac{a^{2}-r^{2}}{(a-r)^{2}+4ar\sin^{2}\frac{\theta}{2}}<\epsilon$$충분히 작은 \(\delta>0\)과 \(\epsilon>0\)에 대해 위 부등식은 참이고, 포아송 핵 \(P\)에 대한 성질 (i)와 앞의 두 등식과 부등식에 의해 \(a\)에 충분히 가까운 \(r\)에 대해 다음을 얻는다.$$|u(r,\,\theta_{0})-h(\theta_{0})|\leq\frac{\epsilon}{2\pi}\int_{\theta_{0}-\delta}^{\theta_{0}+\delta}{P(r,\,\theta_{0}-\phi)d\phi}+\frac{\epsilon}{2\pi}\int_{|\phi-\theta_{0}|>\delta}{|h(\phi)-h(\theta_{0})|d\phi}$$위의 첫 번째 적분식의 \(\epsilon\)은 \(h\)의 연속성에 의해 나타나는데 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|\phi-\theta_{0}|<\delta\)에 대해 \(|h(\phi)-h(\theta_{0})|<\epsilon\)이 성립하기 때문이다. 적당한 상수 \(H\)와 (ii)의 관점으로부터 \(|h|\leq H\)이고 위의 부등식으로부터 \(r\)이 \(a\)에 충분히 가까울 때 다음의 부등식을 얻고$$|u(r,\,\theta_{0})-h(\theta_{0})|\leq(1+2H)\epsilon$$따라서 극한식이 성립한다.         

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley