[편미분방정식] 12. 포아송 공식

[편미분방정식] 12. 포아송 공식

가장 흥미로운 경우는 원에서의 디리클레 문제이다. $\Delta$의 회전변환불변은 원이 조화함수의 자연스런 형태라는 것에 대한 힌트이다. 다음의 문제를 고려하자. $$\begin{align*}u_{xx}+u_{yy}=0\,&x^{2}+y^{2}<a^{2}\\u=h(\theta)\,&x^{2}+y^{2}=a^{2}\end{align*}$$ 여기서 $a$는 반지름, $h(\theta)$는 경계조건의 자료이다. 

극좌표에서 변수분리를 하자. $u=R(r)\Theta(\theta)$라 하면

그러면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}0&=u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}\\&=R''\Theta+\frac{1}{r}R'\Theta+\frac{1}{r^{2}}R\Theta''\end{align*}$$ 위 식을 $R\Theta$로 나눈 다음 $r^{2}$을 곱하면 다음의 식들을 얻는다. $$\Theta''+\lambda\Theta=0,\,r^{2}R''+rR'-\lambda R=0$$ $\Theta(\theta)$에 대해 다음의 주기적 경계조건이 요구된다. $$\Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta),\,-\infty<\theta<\infty$$ 따라서 $$\lambda=n^{2},\,\Theta(\theta)=A\cos n\theta+B\sin n\theta\,(n\in\mathbb{N})$$ 또한 $\lambda=0$, $\Theta(\theta)=A$도 이 방정식의 해이다.

$R$에 대한 방정식은 해가 $R(r)=r^{\alpha}$형태이므로 풀기가 쉽다. $\lambda=n^{2}$이므로 $$\alpha(\alpha-1)r^{\alpha}+\alpha r^{\alpha}-n^{2}r^{\alpha}=0$$ 이고 $\alpha=\pm n$이므로 $R(r)=Cr^{n}+Dr^{-n}$이고 다음의 변수분리해를 얻는다. $$u=\left(Cr^{n}+Dr^{-n}\right)(A\cos\theta+B\sin\theta)$$ $n=0$이면, 일차독립인 또 다른 해가 필요하고, 그 해는 $R=\ln r$이므로 $u=C+D\ln r$이다. $r=0$에서 $r^{-n}$과 $\ln r$은 무한대이므로 해가 유한하기 위한 조건은 $r=0$에서 경계조건이다. 남은 항들을 더하면 다음을 얻고 $$u=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{r^{n}(A_{n\cos n\theta}+B_{n}\sin n\theta)}$$ 이다. 마지막으로 $r=a$에서 비동차 경계조건을 이용하자. 위의 급수에서 $r=a$이라 하면 다음의 식이 필요하고 $$h(\theta)=\frac{1}{2}A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{a^{n}(A_{n}\cos n\theta+B_{n}\sin n\theta)}$$ 이것은 $h(\theta)$에 대한 푸리에 급수이고 다음이 성립한다. $$A_{n}=\frac{1}{\pi a^{n}}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)\cos n\phi d\phi},\,B_{n}=\frac{1}{\pi a^{n}}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)\sin n\phi d\phi}$$ 이다. 위의 두 식들을 $u$에 대한 급수에 대입하자. 그러면 $$\begin{align*}u(r,\,\theta)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)d\phi}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{r^{n}}{\pi a^{n}}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)\{\cos n\phi\cos n\theta+\sin n\phi\sin n\theta\}d\phi}}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{h(\phi)\left\{1+2\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{r}{a}\right)^{n}\cos n(\theta-\phi)}\right\}d\phi}\end{align*}$$ 위 적분식 안의 대괄호 부분은 다음과 같고 $$\begin{align*}&1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{r}{a}\right)^{n}e^{in(\theta-\phi)}}+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{r}{a}\right)^{n}e^{-in(\theta-\phi)}}\\&=1+\frac{re^{i(\theta-\phi)}}{a-re^{i(\theta-\phi)}}+\frac{re^{i(\theta-\phi)}}{a-re^{-i(\theta-\phi)}}\\&=\frac{a^{2}-r^{2}}{a^{2}-2ar\cos(\theta-\phi)+r^{2}}\end{align*}$$ 이므로 다음의 식을 얻고 $$u(r,\,\theta)=\frac{a^{2}-r^{2}}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\frac{h(\phi)}{a^{2}-2ar\cos(\theta-\phi)+r^{2}}d\phi}$$ 이 공식을 포아송 공식(Poisson's formula)이라고 하고, 앞의 세 공식들을 대체한다.  

포아송 공식은 다음과 같이 기하학적으로 나타낼 수 있다. 

$\mathbf{x}=(x,\,y)$를 극좌표 $(r,\,\theta)$로 나타내자.

$\mathbf{x}$를 원점에서 점 $(x,\,y)$로의 벡터로 볼 수 있고 $\mathbf{x}'$을 경계점이라 하자. $\mathbf{x}$를 극좌표 $(r,\,\theta)$라 하면 $\mathbf{x}'$은 극좌표 $(a,\,\phi)$이다. 

원점과 점 $\mathbf{x},\,\mathbf{x}'$은 삼각형을 형성하고 변의 길이는 각각 $r=|\mathbf{x}|$, $a=|\mathbf{x}'|$, $|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|$이다. 코사인 법칙에 의해 $$|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^{2}=a^{2}+r^{2}-2ar\cos(\theta-\phi)$$ 이고 원둘레에서의 호의 길이요소는 $ds'=ad\phi$이므로 포아송 공식을 $\mathbf{x}\in D$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u(\mathbf{x})=\frac{a^{2}-|\mathbf{x}|^{2}}{2\pi a}\int_{|\mathbf{x}'|=a}{\frac{u(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^{2}}ds'}$$ 여기서 $u(\mathbf{x}')=h(\phi)$이다. 원에 대해 $s'=a\phi$이므로 이것은 호의 길이 $ds'=ad\phi$에 대한 선적분이다.

$h(\phi)=u(\mathbf{x}')$을 원 $C=\partial D$에서의 임의의 연속함수라 하자. 그러면 포아송 공식은 $D$에서의 조화함수이고 다음을 만족한다. $$\lim_{\mathbf{x}\,\rightarrow\,\mathbf{x}_{0}}{u(\mathbf{x})}=h(\mathbf{x}_{0}),\,\mathbf{x}_{0}\in C$$ 이것은 $u(\mathbf{x})$가 $\overline{D}=D\cup C$위에서 연속함수임을 뜻한다. 

포아송 공식은 여러개의 중요한 결과들을 갖는다. 

평균값 성질(mean value property) $u$를 원판 $D$ 위에서 조화함수이고, 폐포 $\overline{D}$에서 연속함수라 하자. 그러면 $D$의 중심에서 $u$의 값은 원둘레에서 $u$의 평균값과 같다. 

증명: 원의 중심인 원점 $\mathbf{0}$에서 좌표를 잡자. $\mathbf{x}=\mathbf{0}$(또는 $r=0$)를 포아송 공식에 대입하면 $$u(\mathbf{0})=\frac{a^{2}}{2\pi a}\int_{|\mathbf{x}'|=a}{\frac{u(\mathbf{x}')}{a^{2}}ds'}$$ 이것은 원둘레 $|\mathbf{x}'|=a$위에서 $u$의 평균값이다. 

앞에서 최대원리를 증명했고, 여기서는 강력한 최대원리(maximum principle)를 증명하고자 한다. $u$는 $\overline{D}$에서 연속이므로 그 최댓값은 $\mathbf{x}_{M}\in\overline{D}$에서 값는다. $u$가 상수함수가 아닌 이상 $\mathbf{x}_{M}\notin D$임을 보여야 한다. $M$의 정의에 의해 $$u(\mathbf{x})\leq u(\mathbf{x}_{M}),\,\mathbf{x}\in D$$ $D$에 포함되는 $\mathbf{x}_{M}$을 중심으로 한 원을 다음과 같이 그리자.

평균값 성질에 의해 $u(\mathbf{x}_{M})$는 원둘레에서의 평균값과 같고 평균값은 최댓값보다 크지 않으므로 다음의 부등식을 얻고 $$M=u(\mathbf{x}_{M})\leq M$$ 그러므로 원둘레의 모든 $\mathbf{x}$에 대해 $u(\mathbf{x})=M$ 이것은 임의의 원에서 참이다. 그러므로 위 그림의 빗금친 영역 상의 $\mathbf{x}$에 대해 $u(\mathbf{x})=M$이다. 

이것을 다른 중심에 대해 반복하자. 원을 이용해 영역을 다 채울 수 있고, $D$가 연결집합이라는 가정을 통해 $D$ 전체에서 $u(\mathbf{x})=M$이고 따라서 $u$는 상수함수이다. 

미분가능성(differentiability) $u$를 평면상의 임의의 열린집합 $D$에서 조화함수라 하자. 그러면 $u(\mathbf{x})=u(x,\,y)$는 $D$에서 무한번 미분가능한 편도함수를 갖는다. $D$를 중심이 원점인 원판이라 하자. 포아송 공식의 피적분함수는 모든 $\mathbf{x}\in D$에 대해 무한번 미분가능한 편도함수를 갖고, $\mathbf{x}'(\neq\mathbf{x})\in\partial D$라 하자. 그러면 적분기호 안에서 미분이 가능하므로 $u(\mathbf{x})$는 $D$에서 무한번 미분가능한 편도함수를 갖는다. 

$D$를 임의의 영역이라 하고 $\mathbf{x}_{0}\in D$라 하자. $B$를 중심이 $\mathbf{x}_{0}$이고 $D$안에 포함되는 원이라 하자. 앞에서 $u(\mathbf{x})$는 $B$에서 미분가능함을 보였고, 따라서 $\mathbf{x}_{0}$에서도 미분가능하다. $\mathbf{x}_{0}$는 $D$의 임의의 점이므로 따라서 $u$는 $D$ 전체의 점에서 미분가능하다. 

극한식 $\displaystyle\lim_{\mathbf{x}\,\rightarrow\,\mathbf{x}_{0}}{u(\mathbf{x})}=h(\mathbf{x}_{0})$의 증명

$r<a$에 대해 포아송 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$u(r,\,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{P(r,\,\theta-\phi)h(\phi)d\phi}$$ 여기서 $$P(r,\,\theta)=\frac{a^{2}-r^{2}}{a^{2}-2ar\cos\theta+r^{2}}=1+2\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{r}{a}\right)^{n}\cos n\theta}$$ 는 포아송 핵(Poisson kernel)이다. 이때 $P$는 다음의 세 성질들을 만족한다.

(i) $r<a$에 대해 $P(r,\,\theta)>0$이다. 이 성질은 다음의 부등식에 의해 성립한다. $$a^{2}-2ar\cos\theta+r^{2}\geq a^{2}-2ar+r^{2}=(a-r)^{2}>0$$ (ii) $$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{P(r,\,\theta)d\theta}=1$$ 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}{\cos n\theta d\theta}=0$이므로 포아송 핵 공식에 의해 성립한다.

(iii) $P(r,\,\theta)$는 원 내부에서 조화함수이다. 이 성질은 포아송 핵 공식의 급수 안의 항 $\displaystyle\left(\frac{r}{a}\right)^{n}\cos n\theta$가 조화적이라는 사실로부터 성립하고 따라서 합에 대해서도 성립한다. 

$r<a$에 대해 $$\begin{align*}u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\left(P_{rr}+\frac{1}{r}P_{r}+\frac{1}{r^{2}}P_{\theta\theta}\right)(r,\,\theta-\phi)h(\phi)d\phi}\\&=\int_{0}^{2\pi}{0\cdot h(\phi)d\phi}=0\end{align*}$$ 이므로 $u$는 $D$에서 조화적이다. 

이제 극한식을 증명하자. 이를 위해 각 $\theta_{0}$를 고정하고 $a$근처의 $r$을 반지름이라 하자. 그러면 앞에서의 포아송 핵 $P$의 성질 (ii)에 의해 $$u(r,\,\theta_{0})-h(\theta_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{P(r,\,\theta_{0}-\phi)\{h(\phi)-h(\theta_{0})\}d\phi}$$ 이다. $P(r,\,\theta)$는 $\theta=0$근처에서 집중되어있으므로 이것은 앞에서와 비슷하게 $\delta\leq\theta2\pi-\delta$에 대해서 참이고 $a$에 충분히 가까운 $r$에 대해 다음이 성립한다. $$|P(r,\,\theta)|=\frac{a^{2}-r^{2}}{a^{2}-2ar\cos\theta+r^{2}}=\frac{a^{2}-r^{2}}{(a-r)^{2}+4ar\sin^{2}\frac{\theta}{2}}<\epsilon$$ 충분히 작은 $\delta>0$과 $\epsilon>0$에 대해 위 부등식은 참이고, 포아송 핵 $P$에 대한 성질 (i)와 앞의 두 등식과 부등식에 의해 $a$에 충분히 가까운 $r$에 대해 다음을 얻는다. $$|u(r,\,\theta_{0})-h(\theta_{0})|\leq\frac{\epsilon}{2\pi}\int_{\theta_{0}-\delta}^{\theta_{0}+\delta}{P(r,\,\theta_{0}-\phi)d\phi}+\frac{\epsilon}{2\pi}\int_{|\phi-\theta_{0}|>\delta}{|h(\phi)-h(\theta_{0})|d\phi}$$ 위의 첫 번째 적분식의 $\epsilon$은 $h$의 연속성에 의해 나타나는데 $\delta>0$가 존재해서 $|\phi-\theta_{0}|<\delta$에 대해 $|h(\phi)-h(\theta_{0})|<\epsilon$이 성립하기 때문이다. 적당한 상수 $H$와 (ii)의 관점으로부터 $|h|\leq H$이고 위의 부등식으로부터 $r$이 $a$에 충분히 가까울 때 다음의 부등식을 얻고 $$|u(r,\,\theta_{0})-h(\theta_{0})|\leq(1+2H)\epsilon$$ 따라서 극한식이 성립한다.         

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley