[편미분방정식] 13. 에너지와 인과율

[편미분방정식] 13. 에너지와 인과율

여기서는 다음의 파동방정식 $$u_{tt}-c^{2}\Delta u=0$$ 을 경계가 없다고 하고 다룰 것이다. 3차원 파동방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$u_{tt}=c^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$$ 이 방정식은 공간과 시간에서의 평행이동에 대해 불변이고, 공간에서의 회전에 대해 불변이다. 

1차원 특성직선(characteristic line) $x-x_{0}=c(t-t_{0})$를 축 $t=t_{0}$을 중심으로 회전시키자. 그러면 다음의 쌍곡추면을 얻는다. $$|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}=c|t-t_{0}|$$ 이 뿔은 4차원(3차원공간+시간)이고, 위의 방정식으로 정의되는 공간-시간의 집합을 $(\mathbf{x}_{0},\,t)$에서의 특성원뿔(characteristic cone) 또는 빛원뿔(light cone)라고 하고, 여기서 $c$는 광속이다. 

뿔은 한 점 $(\mathbf{x}_{0},\,t)$에서 발산하는 광선들의 집합이다. 고체 빛원뿔(solid light cone)은 뿔의 내부($|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|<c|t-t_{0}|$)이고, 이것은 미래의 반원뿔과 과거의 반원뿔의 합집합이다.

임의의 고정된 시간 $t$에 대해 빛원뿔은 일반적인 구이고, 미래는 단지 $(\mathbf{x}_{0},\,t)$에서 광속보다 낮은 속력으로 출발한 입자가 시간 $t$에서 도달할 수 있는 점들로 구성되어있다. $t\,\rightarrow\,\infty$일 때 구는 속력 $c$를 중심으로 커지고 빛원뿔은 본질적 특성표면(characteristic surface)이다. 

위의 빛원뿔의 법선벡터를 구하자. 빛원뿔의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\phi(x,\,y,\,z,\,t)=-c^{2}(t-t_{0})^{2}+(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}$$ 이 방정식에 대한 그래디언트가 $$\text{grad}\phi=(\phi_{x},\,\phi_{y},\,\phi_{z},\,\phi_{t})=2(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0},\,-c^{2}(t-t_{0}))$$ 이므로 단위 법선벡터는 $$\begin{align*}\mathbf{n}&=\pm\frac{\text{grad}\phi}{|\text{grad}\phi|}\\&=\pm\frac{(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0},\,-c^{2}(t-t_{0}))}{\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}+c^{4}(t-t_{0})^{2}}}\end{align*}$$ $r^{2}=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}$라 하자. 그러면 이 빛원뿔의 방정식은 $r=\pm c(t-t_{0})$으로 나타낼 수 있으므로 $$\begin{align*}\mathbf{n}&=\pm\left(\frac{x-x_{0}}{\sqrt{(c^{2}+1)r^{2}}},\,...,\,-\frac{c^{2}(t-t_{0})}{\sqrt{(c^{4}+c^{2})(t-t_{0})^{2}}}\right)\\&=\pm\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\left(\frac{x-x_{0}}{cr},\,\frac{y-y_{0}}{cr},\,\frac{z-z_{0}}{cr},\,-\frac{t-t_{0}}{|t-t_{0}|}\right)\end{align*}$$ 이것은 4차원 빛원뿔의 두 단위법선벡터이고, 한 벡터는 빛원뿔의 내부로, 다른 벡터는 바깥으로 향하고 있다. 

다음과 같이 파동방정식에 $u_{r}$을 곱하면 $$0=(u_{tt}-c^{2}\Delta u)u_{t}=\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)_{t}-c^{2}\nabla\cdot(u_{t}\nabla u)$$ 이고, 이것을 3차원 공간에서 적분한다. 위 식 우변의 마지막 항 $c^{2}\nabla\cdot(u_{t}\nabla u)$는 $u(\mathbf{x},\,t)$의 도함수가 $|\mathbf{x}\,\rightarrow\,\infty|$일 때 0으로 갈 때 사라진다. 이를 가정하면 다음의 식을 얻고, $$0=\iiint\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}=\frac{d}{dt}\iiint\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}$$ 따라서 전체 에너지는 $$E=\frac{1}{2}\iiint(u_{t}^{2}+c^{2}|\nabla u|^{2})d\mathbf{x}$$ 이고, 위 식에서 첫 번째 항은 운동에너지(kinetic energy), 두 번째 항은 위치에너지(퍼텐셜에너지, potential energy)이다.인과율   

다음과 같은 경계조건을 갖는 파동방정식을 고려하자. $$u(\mathbf{x},\,0)=\phi(\mathbf{x}),\,u_{t}(\mathbf{x},\,0)=\psi(\mathbf{x})$$ $\mathbf{x}_{0}$를 임의의 점, $t_{0}>0$을 임의의 시간이라 하자. 인과율(principle of causality)에 의해 $u(\mathbf{x}_{0},\,t_{0})$의 값은 공 $\{\mathbf{x}\,|\,|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|\leq ct_{0}\}$안에서 $\phi(\mathbf{x})$와 $\psi(\mathbf{x})$의 값에 의존하고, 이 공은 초기 초평면 $t=0$에서 고체 빛원뿔과 교차한다.

증명: 다음의 등식을 이용하여 증명한다. $$\left(\frac{1}{2}u_{t}^{t}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)_{t}+(-c^{2}u_{t}u_{x})_{x}+(-c^{2}u_{t}u_{y})_{y}+(-c^{2}u_{t}u_{z})_{z}=0$$ 위 식을 윗면 $T$, 아랫면 $B$, 옆면 $K$로 구성된 4차원 원뿔체 $F$에 대해 적분한다. 위의 등식을 소멸하는 4차원 벡터장의 발산으로 보겠다. $F$는 4차원이고, $F$의 경계 $\partial F$는 3차원이다. $(n_{x},\,n_{y},\,n_{z},\,n_{t})$를 $\partial F$ 바깥방향으로의 단위법선벡터라 하고, $dV$를 $\partial F$위에서 3차원 체적적분(3중적분)요소라 하자. 그러면 다음의 식을 얻는다. $$\iiint_{\partial F}\left\{n_{t}\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)-n_{x}(c^{2}u_{t}u_{x})-n_{y}(c^{2}u_{t}u_{y})-n_{z}(c^{2}u_{t}u_{z})\right\}dV=0$$ $\partial F=T\cup B\cup K$이고

원뿔체의 윗면 $T$에서 $\mathbf{n}=(n_{x},\,n_{y},\,n_{z},\,n_{t})=(0,\,0,\,0,\,1)$이므로 식 $\displaystyle\iiint_{T}{\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}}$을 얻는다.

밑면 $B$에서 $\mathbf{n}=(0,\,0,\,0,\,-1)$이므로 다음의 식을 얻는다. $$\iiint_{B}(-1)\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}=-\iiint_{B}{\left(\frac{1}{2}\psi^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla\phi|^{2}\right)d\mathbf{x}}$$ 외벽(mantle) $K$위에서의 적분은 복잡하나 그 적분이 양의 값 또는 0이 됨을 보일 수 있다. 이를 증명하기 위해 $\mathbf{n}$을 다음과 같다고 하자. $$\mathbf{n}=\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\left(\frac{x-x_{0}}{cr},\,\frac{y-y_{0}}{cr},\,\frac{z-z_{0}}{cr},\,-\frac{t-t_{0}}{|t-t_{0}|}\right)$$ 양의 값을 취한 이유는 바깥 방향 법선벡터는 양의 $t$의 값을 갖기 때문이다.

$t<t_{0}$에 주목하고, $r=|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|$이므로 적분은 다음과 같다. $$\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\iiint_{K}{\left\{\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}+\frac{x-x_{0}}{cr}(-c^{2}u_{t}u_{x})+\frac{y-y_{0}}{cr}(-c^{2}u_{t}u_{y})+\frac{z-z_{0}}{cr}(-c^{2}u_{t}u_{z})\right\}dV}$$ 위 식의 마지막 피적분함수는 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다. $$I=\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}-cu_{t}u_{r}$$ 여기서 $\nabla u=(u_{x},\,u_{y},\,u_{z})$이고 $$\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|}=\left(\frac{x-x_{0}}{r},\,\frac{y-y_{0}}{r},\,\frac{z-z_{0}}{r}\right)$$ 이며 지름도함수는 다음과 같다. $$u_{r}=u_{x}\frac{\partial x}{\partial r}+u_{y}\frac{\partial y}{\partial r}+u_{z}\frac{\partial z}{\partial r}=\hat{\mathbf{r}}\cdot\nabla u$$ $I$를 제곱합으로 나타내면 $$\begin{align*}I&=\frac{1}{2}(u_{t}-cu_{r})^{2}+\frac{1}{2}c^{2}(|\nabla u|^{2}-u_{r}^{2})\\&=\frac{1}{2}(u_{t}-cu_{r})^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u-u_{r}\hat{r}|^{2}\end{align*}$$ 이므로 $I\geq0$이다. 

따라서 다음의 부등식을 얻는다. $$\iiint_{T}\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}\leq\iiint_{B}{\left(\frac{1}{2}\psi^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla\phi|^{2}\right)d\mathbf{x}}$$ $\psi$와 $\phi$가 $B$에서 소멸(vanish, 0을 값으로 가짐)한다고 하자. 그러면 위 부등식에 의해 $T$에서 $\displaystyle\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}$는 소멸하고 따라서 $u_{t}$와 $\nabla u$도 $T$에서 소멸한다. $F$의 높이를 임의로 조절할 수 있으므로 따라서 $B$위의 원뿔대에서 $u_{t}$와 $\nabla u$는 소멸한다.(아래 그림에서 $B$위의 $C$에서 $u_{t},\,\nabla u$는 소멸)

그러면 $u$는 원뿔영역 $C$에서 상수함수이고, $B$에서 $u=0$이므로 그 상수는 0이다. 그러므로 $C$에서 $u=0$이고 $u(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=0$이다. $u,\,v$가 파동방정식 $u_{tt}-c^{2}\Delta u=0$의 해이고, $B$에서 $u=v$이면 $u(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=v(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})$이고 이렇게 해서 인과율의 증명을 마쳤다. 

위 증명에서 원뿔 $C$를 종속의 영역(domain of dependence) 꼭짓점 $(\mathbf{x}_{0},\,t_{0})$의 지난 과거(past history)라고 한다.               

공간점 $\mathbf{x}_{0}$에서의 초기조건 $\phi,\,\psi$는 꼭짓점이 $(\mathbf{x}_{0},\,0)$인 고체 광원뿔 안에서 해에 영향을 줄 수 있다. 

이것은 한 점에서 영향을 주는 영역(domain of influence)이 기껏해야 한 점에서 퍼져나가는 빛원뿔임을 뜻하고 따라서 어떠한 신호도 광속보다 빠를 수 없다. 

이 인과율은 2차원에서도 성립한다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Wiley