[편미분방정식] 13. 에너지와 인과율

[편미분방정식] 13. 에너지와 인과율

여기서는 다음의 파동방정식$$u_{tt}-c^{2}\Delta u=0$$을 경계가 없다고 하고 다룰 것이다. 3차원 파동방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있고$$u_{tt}=c^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$$이 방정식은 공간과 시간에서의 평행이동에 대해 불변이고, 공간에서의 회전에 대해 불변이다. 

1차원 특성직선(characteristic line) \(x-x_{0}=c(t-t_{0})\)를 축 \(t=t_{0}\)을 중심으로 회전시키자. 그러면 다음의 쌍곡추면을 얻는다.$$|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}=c|t-t_{0}|$$이 뿔은 4차원(3차원공간+시간)이고, 위의 방정식으로 정의되는 공간-시간의 집합을 \((\mathbf{x}_{0},\,t)\)에서의 특성원뿔(characteristic cone) 또는 빛원뿔(light cone)라고 하고, 여기서 \(c\)는 광속이다. 

뿔은 한 점 \((\mathbf{x}_{0},\,t)\)에서 발산하는 광선들의 집합이다. 고체 빛원뿔(solid light cone)은 뿔의 내부(\(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|<c|t-t_{0}|\))이고, 이것은 미래의 반원뿔과 과거의 반원뿔의 합집합이다.

임의의 고정된 시간 \(t\)에 대해 빛원뿔은 일반적인 구이고, 미래는 단지 \((\mathbf{x}_{0},\,t)\)에서 광속보다 낮은 속력으로 출발한 입자가 시간 \(t\)에서 도달할 수 있는 점들로 구성되어있다. \(t\,\rightarrow\,\infty\)일 때 구는 속력 \(c\)를 중심으로 커지고 빛원뿔은 본질적 특성표면(characteristic surface)이다. 

위의 빛원뿔의 법선벡터를 구하자. 빛원뿔의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$\phi(x,\,y,\,z,\,t)=-c^{2}(t-t_{0})^{2}+(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}$$이 방정식에 대한 그래디언트가$$\text{grad}\phi=(\phi_{x},\,\phi_{y},\,\phi_{z},\,\phi_{t})=2(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0},\,-c^{2}(t-t_{0}))$$이므로 단위 법선벡터는$$\begin{align*}\mathbf{n}&=\pm\frac{\text{grad}\phi}{|\text{grad}\phi|}\\&=\pm\frac{(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0},\,-c^{2}(t-t_{0}))}{\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}+c^{4}(t-t_{0})^{2}}}\end{align*}$$\(r^{2}=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\)라 하자. 그러면 이 빛원뿔의 방정식은 \(r=\pm c(t-t_{0})\)으로 나타낼 수 있으므로$$\begin{align*}\mathbf{n}&=\pm\left(\frac{x-x_{0}}{\sqrt{(c^{2}+1)r^{2}}},\,...,\,-\frac{c^{2}(t-t_{0})}{\sqrt{(c^{4}+c^{2})(t-t_{0})^{2}}}\right)\\&=\pm\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\left(\frac{x-x_{0}}{cr},\,\frac{y-y_{0}}{cr},\,\frac{z-z_{0}}{cr},\,-\frac{t-t_{0}}{|t-t_{0}|}\right)\end{align*}$$이것은 4차원 빛원뿔의 두 단위법선벡터이고, 한 벡터는 빛원뿔의 내부로, 다른 벡터는 바깥으로 향하고 있다. 

다음과 같이 파동방정식에 \(u_{r}\)을 곱하면$$0=(u_{tt}-c^{2}\Delta u)u_{t}=\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)_{t}-c^{2}\nabla\cdot(u_{t}\nabla u)$$이고, 이것을 3차원 공간에서 적분한다. 위 식 우변의 마지막 항 \(c^{2}\nabla\cdot(u_{t}\nabla u)\)는 \(u(\mathbf{x},\,t)\)의 도함수가 \(|\mathbf{x}\,\rightarrow\,\infty|\)일 때 0으로 갈 때 사라진다. 이를 가정하면 다음의 식을 얻고,$$0=\iiint\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}=\frac{d}{dt}\iiint\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}$$따라서 전체 에너지는$$E=\frac{1}{2}\iiint(u_{t}^{2}+c^{2}|\nabla u|^{2})d\mathbf{x}$$이고, 위 식에서 첫 번째 항은 운동에너지(kinetic energy), 두 번째 항은 위치에너지(퍼텐셜에너지, potential energy)이다.$$ $$인과율   

다음과 같은 경계조건을 갖는 파동방정식을 고려하자.$$u(\mathbf{x},\,0)=\phi(\mathbf{x}),\,u_{t}(\mathbf{x},\,0)=\psi(\mathbf{x})$$\(\mathbf{x}_{0}\)를 임의의 점, \(t_{0}>0\)을 임의의 시간이라 하자. 인과율(principle of causality)에 의해 \(u(\mathbf{x}_{0},\,t_{0})\)의 값은 공 \(\{\mathbf{x}\,|\,|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|\leq ct_{0}\}\)안에서 \(\phi(\mathbf{x})\)와 \(\psi(\mathbf{x})\)의 값에 의존하고, 이 공은 초기 초평면 \(t=0\)에서 고체 빛원뿔과 교차한다.

증명: 다음의 등식을 이용하여 증명한다.$$\left(\frac{1}{2}u_{t}^{t}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)_{t}+(-c^{2}u_{t}u_{x})_{x}+(-c^{2}u_{t}u_{y})_{y}+(-c^{2}u_{t}u_{z})_{z}=0$$위 식을 윗면 \(T\), 아랫면 \(B\), 옆면 \(K\)로 구성된 4차원 원뿔체 \(F\)에 대해 적분한다. 위의 등식을 소멸하는 4차원 벡터장의 발산으로 보겠다. \(F\)는 4차원이고, \(F\)의 경계 \(\partial F\)는 3차원이다. \((n_{x},\,n_{y},\,n_{z},\,n_{t})\)를 \(\partial F\) 바깥방향으로의 단위법선벡터라 하고, \(dV\)를 \(\partial F\)위에서 3차원 체적적분(3중적분)요소라 하자. 그러면 다음의 식을 얻는다.$$\iiint_{\partial F}\left\{n_{t}\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)-n_{x}(c^{2}u_{t}u_{x})-n_{y}(c^{2}u_{t}u_{y})-n_{z}(c^{2}u_{t}u_{z})\right\}dV=0$$\(\partial F=T\cup B\cup K\)이고

원뿔체의 윗면 \(T\)에서 \(\mathbf{n}=(n_{x},\,n_{y},\,n_{z},\,n_{t})=(0,\,0,\,0,\,1)\)이므로 식 \(\displaystyle\iiint_{T}{\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}}\)을 얻는다.

밑면 \(B\)에서 \(\mathbf{n}=(0,\,0,\,0,\,-1)\)이므로 다음의 식을 얻는다.$$\iiint_{B}(-1)\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}=-\iiint_{B}{\left(\frac{1}{2}\psi^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla\phi|^{2}\right)d\mathbf{x}}$$외벽(mantle) \(K\)위에서의 적분은 복잡하나 그 적분이 양의 값 또는 0이 됨을 보일 수 있다. 이를 증명하기 위해 \(\mathbf{n}\)을 다음과 같다고 하자.$$\mathbf{n}=\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\left(\frac{x-x_{0}}{cr},\,\frac{y-y_{0}}{cr},\,\frac{z-z_{0}}{cr},\,-\frac{t-t_{0}}{|t-t_{0}|}\right)$$양의 값을 취한 이유는 바깥 방향 법선벡터는 양의 \(t\)의 값을 갖기 때문이다.

\(t<t_{0}\)에 주목하고, \(r=|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|\)이므로 적분은 다음과 같다.$$\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\iiint_{K}{\left\{\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}+\frac{x-x_{0}}{cr}(-c^{2}u_{t}u_{x})+\frac{y-y_{0}}{cr}(-c^{2}u_{t}u_{y})+\frac{z-z_{0}}{cr}(-c^{2}u_{t}u_{z})\right\}dV}$$위 식의 마지막 피적분함수는 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.$$I=\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}-cu_{t}u_{r}$$여기서 \(\nabla u=(u_{x},\,u_{y},\,u_{z})\)이고$$\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|}=\left(\frac{x-x_{0}}{r},\,\frac{y-y_{0}}{r},\,\frac{z-z_{0}}{r}\right)$$이며 지름도함수는 다음과 같다.$$u_{r}=u_{x}\frac{\partial x}{\partial r}+u_{y}\frac{\partial y}{\partial r}+u_{z}\frac{\partial z}{\partial r}=\hat{\mathbf{r}}\cdot\nabla u$$\(I\)를 제곱합으로 나타내면$$\begin{align*}I&=\frac{1}{2}(u_{t}-cu_{r})^{2}+\frac{1}{2}c^{2}(|\nabla u|^{2}-u_{r}^{2})\\&=\frac{1}{2}(u_{t}-cu_{r})^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u-u_{r}\hat{r}|^{2}\end{align*}$$이므로 \(I\geq0\)이다. 

따라서 다음의 부등식을 얻는다.$$\iiint_{T}\left(\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\right)d\mathbf{x}\leq\iiint_{B}{\left(\frac{1}{2}\psi^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla\phi|^{2}\right)d\mathbf{x}}$$\(\psi\)와 \(\phi\)가 \(B\)에서 소멸(vanish, 0을 값으로 가짐)한다고 하자. 그러면 위 부등식에 의해 \(T\)에서 \(\displaystyle\frac{1}{2}u_{t}^{2}+\frac{1}{2}c^{2}|\nabla u|^{2}\)는 소멸하고 따라서 \(u_{t}\)와 \(\nabla u\)도 \(T\)에서 소멸한다. \(F\)의 높이를 임의로 조절할 수 있으므로 따라서 \(B\)위의 원뿔대에서 \(u_{t}\)와 \(\nabla u\)는 소멸한다.(아래 그림에서 \(B\)위의 \(C\)에서 \(u_{t},\,\nabla u\)는 소멸)

그러면 \(u\)는 원뿔영역 \(C\)에서 상수함수이고, \(B\)에서 \(u=0\)이므로 그 상수는 0이다. 그러므로 \(C\)에서 \(u=0\)이고 \(u(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=0\)이다. \(u,\,v\)가 파동방정식 \(u_{tt}-c^{2}\Delta u=0\)의 해이고, \(B\)에서 \(u=v\)이면 \(u(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})=v(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,t_{0})\)이고 이렇게 해서 인과율의 증명을 마쳤다. 

위 증명에서 원뿔 \(C\)를 종속의 영역(domain of dependence) 꼭짓점 \((\mathbf{x}_{0},\,t_{0})\)의 지난 과거(past history)라고 한다.               

공간점 \(\mathbf{x}_{0}\)에서의 초기조건 \(\phi,\,\psi\)는 꼭짓점이 \((\mathbf{x}_{0},\,0)\)인 고체 광원뿔 안에서 해에 영향을 줄 수 있다. 

이것은 한 점에서 영향을 주는 영역(domain of influence)이 기껏해야 한 점에서 퍼져나가는 빛원뿔임을 뜻하고 따라서 어떠한 신호도 광속보다 빠를 수 없다. 

이 인과율은 2차원에서도 성립한다.

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Wiley