[편미분방정식] 14. 시간-공간 영역에서의 파동방정식, 특성표면, 상대성기하학, 특이점

[편미분방정식] 14. 시간-공간 영역에서의 파동방정식, 특성표면, 상대성기하학, 특이점

다음의 파동방정식에 대한 해의 공식을 찾고자 한다.$$\begin{align*}u_{tt}&=c^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\\u(\mathbf{x},\,0)&=\phi(\mathbf{x}),\,u_{t}(\mathbf{x},\,0)=\psi(\mathbf{x})\end{align*}$$그 해는 다음과 같고$$u(\mathbf{x},\,t_{0})=\frac{1}{4\pi c^{2}t_{0}}\iint_{S}{\psi(\mathbf{x})dS}+\frac{\partial}{\partial t_{0}}\left\{\frac{1}{4\pi c^{2}t_{0}}\iint_{S}{\phi(\mathbf{x})dS}\right\}$$여기서 \(S\)는 반지름이 \(ct_{0}\), \(\mathbf{x}_{0}\)를 중심으로 하는 구이고, 이 공식은 포아송에 의해 얄려졌으나 키르히호프 공식(Kirchhoff's formula)이라고 한다. 

먼저 앞에서의 인과율과 비교하자. 위의 공식에 따르면 구 표면 \(\{(\mathbf{x},\,t)\,|\,|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|=ct_{0}\}\)위의 점 \(\mathbf{x}\)에 대한 \(\psi(\mathbf{x}),\,\phi(\mathbf{x})\)의 영향을 받으나 구 내부에서의 값에 대해서는 영향을 받지 않는다. 이 주장은 공간상의 점 \(\mathbf{x}_{1}\)에서의 \(\phi,\,\psi\)의 값이 점 \((\mathbf{x}_{1},\,0)\)에서 발산되는 빛원뿔 표면위에서의 해에 영향을 주기 때문에 뒤집어질 수 있다. 이것은 다음 그림으로 나타내져있고, 이 사실을 호이겐스의 원리(Huygens's principle)라고 한다.

이것은 3차원 파동방정식(예: 진공에서의 전자기 신호)의 해가 파동을 정확히 광속으로 전파함을 의미한다. 이것은 뾰족함을 허용하는 원리이고, 또한 임의의 소리는 벽이나 뷸균질한 공기가 없다는 조건 하에서 광속 \(c\)로 공기에 전파되고 메아리치지 않음을 뜻한다. 따라서 임의의 시간 \(t\)에서 청취자는 시간 \(\displaystyle t-\frac{d}{c}\)에서 재생된 음악을 들을 수 있고, 여기서 \(d\)는 청취자와 반주기기와의 거리이다. 

호이겐스의 원리는 2차원에서는 성립하지 않는다. 2차원에서의 파동방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}u_{tt}=c^{2}(u_{xx}+u_{yy})\\u(x,\,y,\,0)=\phi(x,\,y),\,u_{t}(x,\,y,\,0)=\psi(x,\,y)\end{align*}$$여기서 핵심은 \(u(x,\,y,\,t)\)가 3차원 문제에서 \(z\)를 무시한 해로 간주하는 것이다. 그러면 \(u\)는 키르히호프 공식이 되어야 한다. 단순화를 위해 \(\phi=0\), \((x_{0},\,y_{0})=(0,\,0)\)이라 하자. 그러면 \(\phi=0\)이므로$$u(0,\,0,\,t)=\frac{1}{4\pi c^{2}t}\iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}}{\psi(x,\,y)dS}$$이고, 이것을 다음과 같이 간단화할 수 있다.

이 적분을 반구 \(z=\sqrt{c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}}\)위의 면적분이고, 다음과 같이 이중적분으로 나타낼 수 있다.$$u(0,\,0,\,t)=\frac{1}{2\pi c^{2}t}\iint_{x^{2}+y^{2}\leq c^{2}t^{2}}\psi(x,\,y)\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}dxdy$$위의 근호 안을 다음과 같이 나타낼 수 있고$$1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}=1+\left(-\frac{x}{z}\right)^{2}+\left(-\frac{y}{z}\right)^{2}=\frac{c^{2}t^{2}}{z^{2}}=\frac{c^{2}t^{2}}{c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}}$$따라서$$u(0,\,0,\,t)=\frac{1}{2\pi c}\iint_{x^{2}+y^{2}\leq c^{2}t^{2}}\frac{\psi(x,\,y)}{\sqrt{c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy$$는 점 \((0,\,0,\,t)\)에서 해의 공식이다. 일반적인 점에서의 공식은$$u(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})=\frac{1}{2\pi c}\iint_{D}\frac{\psi(x,\,y)}{\sqrt{c^{2}t^{2}-(x-x_{0})^{2}-(y-y_{0})^{2}}}dxdy+\frac{\partial}{\partial t_{0}}F(\phi)$$여기서 \(F(\phi)\)는 \(\phi\)에 대한 표현식, \(D\)는 원판 \((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\leq c^{2}t_{0}^{2}\)이다. 

위의 공식은 \(u(x_{0},\,y_{0},\,t_{0})\)의 값이 원뿔 \((x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\leq c^{2}t_{0}^{2}\)내부의 점 \((x,\,y)\)에서 \(\phi,\,\psi\)의 값에 의존함을 뜻한다. 

이것은 호이겐스의 원리가 2차원에서는 적용되지 않음을 뜻한다. 예를들어 잔잔한 호수에 돌을 던질 때 표면파가 2차원 파동방정식을 만족하고, 광속 \(c\)로 생성된다. 파원으로부터의 거리가 \(\delta\)인 수생곤충은 시간 \(\displaystyle t=\frac{\delta }{c}\)에서 첫 파동을 느끼게 되고, 그 이후로는 잔물결을 연속적으로 느낀다. 잔물결은 없어지지만 이론적으로는 계속된다. 

특성표면

광선(light ray)은 3차원 상의 한 점에서 광속 \(c\)로 직선으로 뻗어나가는 선들의 경로이다. 즉, \(\displaystyle\left|\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right|=c\)또는$$\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0}+\mathbf{v}_{0}t\,(|\mathbf{v}_{0}|=c)$$이러한 반직선은 구 \(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}|=c|t|\)와 수직이다. 

앞에서 파동방정식의 기본 기하학은 빛원뿔 \(|\mathbf{x}|=c|t|\)이고, 이것은 점 \(\mathbf{x}_{0}=0\)에서의 광선으로 만들어진 것이다. 시간-공간에서의 임의의 표면을 \(S\)라 하자. 시간 분할(time slices)은 \(S_{t}=S\cap\{t=\text{constant}\}\)로 나타내어지고, 따라서 \(S\)는 3차원 표면을 4차원 시간-공간에 정착시키고, 각 \(S_{t}\)는 보통의 2차원 표면이다. 이 \(S\)가 시간 분할 \(S_{t}\)와 3차원에서 수직인 광선(반직선)들의 합집합일 때 이 \(S\)를 특성표면(characteristic surface)이라고 한다. 

해석적으로 보자면 \(S\)를 \(t-\gamma(\mathbf{x})\)형태의 함수의 수평면(level surface)이라고 하자. 즉, 적당한 상수 \(k\)에 대해 \(S=\{(\mathbf{x},\,t)\,|\,t-\gamma(\mathbf{x})=k\}\) 그러면 시간 분할은 \(S_{t}=\{\mathbf{x}\,|\,t-\gamma(\mathbf{x})=k\}\)이다. 

상대성기하학

상대성 이론에서 다음의 용어가 사용된다. 점 \((\mathbf{0},\,0)\)의 과거(또는 과거사)는 집합 \(\{(\mathbf{x},\,t)\,|\,ct<-|\mathbf{x}|\}\)이고, 미래는 \(\{(\mathbf{x},\,t)\,|\,ct>-|\mathbf{x}|\}\), 현재는 \(\{(\mathbf{x},\,t)\,|\,-|\mathbf{x}|<ct<|\mathbf{x}|\}\)이다. 4차원 벡터 \((\mathbf{v},\,v^{0})\)를 

\(|v^{0}|>c|\mathbf{v}|\)이면 시간적(timelike)이라고 하고, \(|v^{0}|<c|\mathbf{v}|\)이면 공간적(spacelike), \(|v^{0}|=c|\mathbf{v}|\)는 특성(characteristic) 또는 영(null)이라고 한다.

특이점

특성표면은 파동방정식의 해들의 특이점들을 옮기는 표면이다. 해의 특이점(singularity)은 해 또는 그 도함수가 불연속인 점이다.  

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley