[편미분방정식] 16. 초함수

[편미분방정식] 16. 초함수

델타함수 $\delta(x)$는 $x=0$에서 무한대이므로 실수 전체에서의 정적분은 1, 즉 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)dx}=1$이어야 한다. 이것은 수학적으로는 불가능하나 물리학의 관점에서는 맞다. 델타함수 $\delta(x)$는 점질량을 나타내어야 한다, 즉 이것은 단위질량의 입자가 원점에 있음을 뜻한다. 이것은 논리적으로 어려운 수학적 점 위에서의 이상화이고, 이것을 정당화하기 위해서 함수가 아닌 초함수(distribution)라는 개념을 도입한다. 함수는 수에서 수로 대응하는 규칙인 반면 초함수는 함수에서 수로 대응하는 규칙이다.

*distribution은 확률, 통계학에서 '분포'의 뜻을 가지지만 여기서는 '초함수'라는 뜻을 갖는다.

델타함수는 함수 $\phi(x)$를 수 $\phi(0)$으로 대응하는 규칙이다.

적절한 정의를 주기 위해 어떤 종류의 함수 $\phi(x)$가 사용되는지 언급할 필요가 있다. 시험함수(test function) $\phi(x)$는 $C^{(\infty)}$함수(무한번 미분가능한 함수)이고, 유한한 구간 바깥에서 소멸한다. 따라서 $\phi:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$는 정의되고, 모든 $-\infty<x<\infty$에서 미분가능하며, 충분히 크거나 작은 $x$에 대해 $\phi(x)=0$이다. 

$\mathcal{D}$를 시험함수들의 집합이라고 하자. 

초함수(distribution) $f$는 범함수로 $\mathcal{D}\,\mapsto\,\mathbb{R}$이고 다음의 의미로 선형이고 연속이다. 

$\phi\in\mathcal{D}$가 시험함수이면, 범함수에 의해 대응되는 실수를 $(f,\,\phi)$로 나타낸다. 

선형성(linearity)은 모든 상수 $a,\,b$와 시험함수 $\phi,\,\psi$에 대해 다음과 같고 $$(f,\,a\phi+b\psi)=a(f,\,\phi)+b(f,\,\psi)$$ 연속성(continuity)은 $\{\phi_{n}\}$이 시험함수열로 시험함수 $\phi$로 균등수렴하며 그 도함수도 이런 성질을 만족하면 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $(f,\,\phi_{n})\,\rightarrow\,(f,\,\phi)$이다. 초함수 $f$를 $\phi\,\mapsto\,(f,\,\phi)$로 나타낸다. 

초함수의 정의에 따르면 델타함수는 초함수로 $\phi\,\mapsto\,\phi(0)$이다. 이것을 $\delta$로 나타내고 적분이론에서 단위 점질량(unit point mass)이라 한다. 델타함수가 초함수가 되는 이유는 초함수에서의 선형성과 연속성을 만족하기 때문이다. 

범함수 $\phi\,\mapsto\,\phi''(5)$는 초함수이다. 이것은 선형인데 $(a\phi+b\psi)''(5)=a\phi''(5)+b\psi''(5)$이기 때문이고, 연속인데 분명히 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\phi''_{n}(5)\,\rightarrow\,\phi''(5)$이고, $\phi_{n}\,\rightarrow\,\phi$, $\phi'_{n}\,\rightarrow\,\phi'$이고 $\phi_{n}''\,\rightarrow\,\phi''$이기 때문이다. 여기서 수렴은 균등수렴이다. 

$f(x)$를 적분가능한 함수라 하자. 이것은 다음의 초함수에 대응하고 $$\phi\,\mapsto\,\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\phi(x)dx}$$ 적분은 선형이며, 균등수렴에 한해서 극한기호를 자유롭게 위치할 수 있기 때문이다. 이때 다음이 성립한다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)\phi(x)dx}=\phi(0)$$ $f_{N}$이 초함수열이고, $f$가 초함수일 때, $f_{N}$이 $f$로 약 수렴(converges weakly)한다는 것은 $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 모든 시험함수 $\phi$에 대해 $(f_{N},\,\phi)\,\rightarrow\,(f,\,\phi)$(균등수렴)가 성립하는 것이다.

실직선 전체에서 확산방정식의 근원함수 $\displaystyle S(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-\frac{x^{2}}{4kt}}\,(t>0)$에 대해 $t\,\rightarrow\,0$일 때 $$\int_{-\infty}^{\infty}{S(x,\,t)\phi(x)dx}\,\rightarrow\,\phi(0)$$ 인데 앞의 적분형 초함수의 경우처럼 모든 $t$에 대해 $S(x,\,t)$를 초함수로 볼 수 있기 때문이다. 이것은 $t\,\rightarrow\,0$일 때 $S(x,\,t)$가 $\delta (x)$로 약 수렴함을 뜻한다.

디리클레 핵(Dirichlet kernel) $K_{N}(\theta)$는 다음과 같이 정의되고 $$K_{N}(\theta)=1+2\sum_{k=1}^{N}{\cos n\theta}=\frac{\displaystyle\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}$$ 이고 $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 모든 $C^{(1)}$(미분가능하고 도함수가 연속)주기함수 $\phi(x)$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(\theta)\phi(\theta)d\theta}\,\rightarrow\,2\pi\phi(0)$$ 그러므로 구간 $(-\pi,\,\pi)$에서 $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 $K_{N}(\theta)$가 $2\pi\delta(\theta)$로 수렴함을 뜻한다. 

초함수의 도함수는 존재하고 그 도함수는 다른 초함수이다. $f(x)$를 $C^{(1)}$함수라 하고 $\phi(x)$를 임의의 시험함수라 하자. 부분적분에 의해 $$\int_{-\infty}^{\infty}{f'(x)\phi(x)dx}=-\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\phi'(x)dx}$$ 인데 충분히 큰 $|x|$에 대해 $\phi(x)=0$이기 때문이다. 

임의의 초함수 $f$에 대하여 도함수 $f'$을 모든 시험함수 $\phi$에 대해 다음의 공식으로 정의한다. $$(f',\,\phi)=-(f,\,\phi')$$ $f'$은 선형성과 연속성을 만족하고, 일반적인 미분법칙도 만족한다. 또한 $f_{N}$이 $f$로 약 수렴하면, $f'_{N}$도 $f$로 약 수렴한다. 

초함수의 도함수의 정의로부터 델타함수의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다. $$\begin{align*}(\delta',\,\phi)&=-(\delta,\,\phi')=-\phi'(0)\\(\delta'',\,\phi)&=-(\delta,\,\phi')=(\delta,\,\phi'')=\phi''(0)\end{align*}$$ 헤비사이드 함수(Heaviside function)(또는 계단함수)는 $x>0$에 대해 $H(x)=1$, $x<0$에 대해 $H(x)=0$으로 정의된다. 임의의 시험함수 $\phi$에 대해 $$\begin{align*}(H',\,\phi)&=-(H,\,\phi')=-\int_{-\infty}^{\infty}{H(x)\phi'(x)dx}\\&=-\int_{0}^{\infty}{\phi'(x)dx}=\phi(0)\end{align*}$$ 이므로 따라서 $H'=\delta$이다. 

함수 $p(x)=x^{+}$는 $x\geq0$에 대해 $p(x)=x$, $x\leq0$에 대해 $p(x)=0$으로 정의된다. 이때 $p'=H$, $p''=\delta$이다. 

다음의 식 $$|x|=\frac{\pi}{2}-\sum_{n\,\text{odd}}{\frac{4}{n^{2}\pi}\cos nx}$$ 은 $[-\pi,\,\pi]$에서 균등수렴하고, 위 급수식에 시험함수급수를 곱하고 적분하면, $(-\pi,\,\pi)$에서 시험함수급수로 약 수렴한다. 그러므로 그 시험함수급수의 도함수도 약 수렴하고 이것은 다음을 뜻한다. $$\sum_{n\,\text{odd}}{\frac{4}{n\pi}\sin nx}=2H(x)-1$$ 위 식을 전 단계와 같은 방법으로 미분하고 그 결과를 2로 나누면 다음의 식을 얻는다. $$\sum_{n\,\text{odd}}{\frac{2}{\pi}\cos nx}=\delta(x),\,x\in(-\pi,\,\pi)$$ 실제로 위의 식은 $\pm\pi$에서 소멸하는 $C^{(\infty)}$시험함수 $\phi(x)$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\sum_{n\,\text{odd}}\int_{-\pi}^{\pi}{\phi(x)\cos nxdx}=\frac{\pi\phi(0)}{2}$$ 복소급수 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{inx}}$는 발산하는 급수로 알려져있다. 그러나 디리클레 핵을 $\displaystyle K_{N}(x)=\sum_{n=-N}^{N}{e^{inx}}$로 나타낼 수 있고, $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 디리클레 핵이 $2\pi\delta$로 약 수렴하므로 따라서 $(-\pi,\,\pi)$에서 약수렴의 의미로 다음의 등식이 성립한다. $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{inx}}=2\pi\delta(x)$$ 참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley