[편미분방정식] 16. 초함수

[편미분방정식] 16. 초함수

델타함수 \(\delta(x)\)는 \(x=0\)에서 무한대이므로 실수 전체에서의 정적분은 1, 즉 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)dx}=1\)이어야 한다. 이것은 수학적으로는 불가능하나 물리학의 관점에서는 맞다. 델타함수 \(\delta(x)\)는 점질량을 나타내어야 한다, 즉 이것은 단위질량의 입자가 원점에 있음을 뜻한다. 이것은 논리적으로 어려운 수학적 점 위에서의 이상화이고, 이것을 정당화하기 위해서 함수가 아닌 초함수(distribution)라는 개념을 도입한다. 함수는 수에서 수로 대응하는 규칙인 반면 초함수는 함수에서 수로 대응하는 규칙이다.

*distribution은 확률, 통계학에서 '분포'의 뜻을 가지지만 여기서는 '초함수'라는 뜻을 갖는다.

델타함수는 함수 \(\phi(x)\)를 수 \(\phi(0)\)으로 대응하는 규칙이다.

적절한 정의를 주기 위해 어떤 종류의 함수 \(\phi(x)\)가 사용되는지 언급할 필요가 있다. 시험함수(test function) \(\phi(x)\)는 \(C^{(\infty)}\)함수(무한번 미분가능한 함수)이고, 유한한 구간 바깥에서 소멸한다. 따라서 \(\phi:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)는 정의되고, 모든 \(-\infty<x<\infty\)에서 미분가능하며, 충분히 크거나 작은 \(x\)에 대해 \(\phi(x)=0\)이다. 

\(\mathcal{D}\)를 시험함수들의 집합이라고 하자. 

초함수(distribution) \(f\)는 범함수로 \(\mathcal{D}\,\mapsto\,\mathbb{R}\)이고 다음의 의미로 선형이고 연속이다. 

\(\phi\in\mathcal{D}\)가 시험함수이면, 범함수에 의해 대응되는 실수를 \((f,\,\phi)\)로 나타낸다. 

선형성(linearity)은 모든 상수 \(a,\,b\)와 시험함수 \(\phi,\,\psi\)에 대해 다음과 같고$$(f,\,a\phi+b\psi)=a(f,\,\phi)+b(f,\,\psi)$$연속성(continuity)은 \(\{\phi_{n}\}\)이 시험함수열로 시험함수 \(\phi\)로 균등수렴하며 그 도함수도 이런 성질을 만족하면 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \((f,\,\phi_{n})\,\rightarrow\,(f,\,\phi)\)이다. 초함수 \(f\)를 \(\phi\,\mapsto\,(f,\,\phi)\)로 나타낸다. 

초함수의 정의에 따르면 델타함수는 초함수로 \(\phi\,\mapsto\,\phi(0)\)이다. 이것을 \(\delta\)로 나타내고 적분이론에서 단위 점질량(unit point mass)이라 한다. 델타함수가 초함수가 되는 이유는 초함수에서의 선형성과 연속성을 만족하기 때문이다. 

범함수 \(\phi\,\mapsto\,\phi''(5)\)는 초함수이다. 이것은 선형인데 \((a\phi+b\psi)''(5)=a\phi''(5)+b\psi''(5)\)이기 때문이고, 연속인데 분명히 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\phi''_{n}(5)\,\rightarrow\,\phi''(5)\)이고, \(\phi_{n}\,\rightarrow\,\phi\), \(\phi'_{n}\,\rightarrow\,\phi'\)이고 \(\phi_{n}''\,\rightarrow\,\phi''\)이기 때문이다. 여기서 수렴은 균등수렴이다. 

\(f(x)\)를 적분가능한 함수라 하자. 이것은 다음의 초함수에 대응하고$$\phi\,\mapsto\,\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\phi(x)dx}$$적분은 선형이며, 균등수렴에 한해서 극한기호를 자유롭게 위치할 수 있기 때문이다. 이때 다음이 성립한다.$$\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)\phi(x)dx}=\phi(0)$$\(f_{N}\)이 초함수열이고, \(f\)가 초함수일 때, \(f_{N}\)이 \(f\)로 약 수렴(converges weakly)한다는 것은 \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 모든 시험함수 \(\phi\)에 대해 \((f_{N},\,\phi)\,\rightarrow\,(f,\,\phi)\)(균등수렴)가 성립하는 것이다.

실직선 전체에서 확산방정식의 근원함수 \(\displaystyle S(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-\frac{x^{2}}{4kt}}\,(t>0)\)에 대해 \(t\,\rightarrow\,0\)일 때$$\int_{-\infty}^{\infty}{S(x,\,t)\phi(x)dx}\,\rightarrow\,\phi(0)$$인데 앞의 적분형 초함수의 경우처럼 모든 \(t\)에 대해 \(S(x,\,t)\)를 초함수로 볼 수 있기 때문이다. 이것은 \(t\,\rightarrow\,0\)일 때 \(S(x,\,t)\)가 \(\delta (x)\)로 약 수렴함을 뜻한다.

디리클레 핵(Dirichlet kernel) \(K_{N}(\theta)\)는 다음과 같이 정의되고$$K_{N}(\theta)=1+2\sum_{k=1}^{N}{\cos n\theta}=\frac{\displaystyle\sin\left(N+\frac{1}{2}\right)\theta}{\displaystyle\sin\frac{1}{2}\theta}$$이고 \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 모든 \(C^{(1)}\)(미분가능하고 도함수가 연속)주기함수 \(\phi(x)\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{-\pi}^{\pi}{K_{N}(\theta)\phi(\theta)d\theta}\,\rightarrow\,2\pi\phi(0)$$그러므로 구간 \((-\pi,\,\pi)\)에서 \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(K_{N}(\theta)\)가 \(2\pi\delta(\theta)\)로 수렴함을 뜻한다. 

초함수의 도함수는 존재하고 그 도함수는 다른 초함수이다. \(f(x)\)를 \(C^{(1)}\)함수라 하고 \(\phi(x)\)를 임의의 시험함수라 하자. 부분적분에 의해$$\int_{-\infty}^{\infty}{f'(x)\phi(x)dx}=-\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\phi'(x)dx}$$인데 충분히 큰 \(|x|\)에 대해 \(\phi(x)=0\)이기 때문이다. 

임의의 초함수 \(f\)에 대하여 도함수 \(f'\)을 모든 시험함수 \(\phi\)에 대해 다음의 공식으로 정의한다.$$(f',\,\phi)=-(f,\,\phi')$$\(f'\)은 선형성과 연속성을 만족하고, 일반적인 미분법칙도 만족한다. 또한 \(f_{N}\)이 \(f\)로 약 수렴하면, \(f'_{N}\)도 \(f\)로 약 수렴한다. 

초함수의 도함수의 정의로부터 델타함수의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다.$$\begin{align*}(\delta',\,\phi)&=-(\delta,\,\phi')=-\phi'(0)\\(\delta'',\,\phi)&=-(\delta,\,\phi')=(\delta,\,\phi'')=\phi''(0)\end{align*}$$헤비사이드 함수(Heaviside function)(또는 계단함수)는 \(x>0\)에 대해 \(H(x)=1\), \(x<0\)에 대해 \(H(x)=0\)으로 정의된다. 임의의 시험함수 \(\phi\)에 대해$$\begin{align*}(H',\,\phi)&=-(H,\,\phi')=-\int_{-\infty}^{\infty}{H(x)\phi'(x)dx}\\&=-\int_{0}^{\infty}{\phi'(x)dx}=\phi(0)\end{align*}$$이므로 따라서 \(H'=\delta\)이다. 

함수 \(p(x)=x^{+}\)는 \(x\geq0\)에 대해 \(p(x)=x\), \(x\leq0\)에 대해 \(p(x)=0\)으로 정의된다. 이때 \(p'=H\), \(p''=\delta\)이다. 

다음의 식$$|x|=\frac{\pi}{2}-\sum_{n\,\text{odd}}{\frac{4}{n^{2}\pi}\cos nx}$$은 \([-\pi,\,\pi]\)에서 균등수렴하고, 위 급수식에 시험함수급수를 곱하고 적분하면, \((-\pi,\,\pi)\)에서 시험함수급수로 약 수렴한다. 그러므로 그 시험함수급수의 도함수도 약 수렴하고 이것은 다음을 뜻한다.$$\sum_{n\,\text{odd}}{\frac{4}{n\pi}\sin nx}=2H(x)-1$$위 식을 전 단계와 같은 방법으로 미분하고 그 결과를 2로 나누면 다음의 식을 얻는다.$$\sum_{n\,\text{odd}}{\frac{2}{\pi}\cos nx}=\delta(x),\,x\in(-\pi,\,\pi)$$실제로 위의 식은 \(\pm\pi\)에서 소멸하는 \(C^{(\infty)}\)시험함수 \(\phi(x)\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\sum_{n\,\text{odd}}\int_{-\pi}^{\pi}{\phi(x)\cos nxdx}=\frac{\pi\phi(0)}{2}$$복소급수 \(\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{inx}}\)는 발산하는 급수로 알려져있다. 그러나 디리클레 핵을 \(\displaystyle K_{N}(x)=\sum_{n=-N}^{N}{e^{inx}}\)로 나타낼 수 있고, \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 디리클레 핵이 \(2\pi\delta\)로 약 수렴하므로 따라서 \((-\pi,\,\pi)\)에서 약수렴의 의미로 다음의 등식이 성립한다.$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{inx}}=2\pi\delta(x)$$참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley