[편미분방정식] 17. 푸리에 변환

[편미분방정식] 17. 푸리에 변환

구간 $(-l,\,l)$에서 정의된 함수 $f(x)$의 푸리에 급수를 복소함수로 나타내면 다음과 같다. $$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}e^{\frac{in\pi x}{l}}}\,\left(c_{n}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(y)e^{-\frac{in\pi y}{l}}dy}\right)$$ 이때 $\displaystyle k=\frac{n\pi}{l}$이라 하면 푸리에 급수를 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$f(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left\{\int_{-l}^{l}{f(y)e^{-iky}dy}\right\}e^{ikx}\frac{\pi}{l}}$$ $\displaystyle\Delta k=\frac{\pi}{l}$이라 하고, $l\,\rightarrow\,\infty$라 하면 위의 푸리에 급수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left\{\int_{-\infty}^{\infty}{f(y)e^{-iky}dy}\right\}e^{ikx}dk}$$ 이때 $$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(k)e^{ikx}dk},\,F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-ikx}dx}$$ 로 나타낼 수 있고, $F(k)$를 $f(x)$의 푸리에 변환(Fourier transformation)이라고 한다. 

다음은 여러 함수의 푸리에 변환을 나타낸 것이다.

$f(x)=\delta(x)$(델타함수)의 경우 $$\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)e^{ikx}dx}=e^{-ik0}=1$$ 이므로 그 푸리에 변환은 1이고, 사각펄스 $H(a-|x|)$의 경우, $-a\leq x\leq a$에서 $f(x)=1$이고, 나머지 구간에서 $f(x)=0$이므로 $$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-ikx}dx}&=\int_{-a}^{a}{e^{-ikxdx}}=\left[-\frac{e^{-ikx}}{ik}\right]_{-a}^{a}\\&=-\frac{e^{-ika}}{ik}+\frac{e^{ika}}{ik}=\frac{2}{k}\left(\frac{e^{ika}-e^{-ika}}{2i}\right)\\&=\frac{2}{k}\sin ak\end{align*}$$ 이다. 지수함수 $e^{-a|x|}$의 경우, $$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-a|x|}(\cos kx+i\sin kx)dx}&=2\int_{0}^{\infty}{e^{-ax}\cos kxdx}\\&=2\left[\frac{e^{-ax}(-a\cos kx+k\sin kx)}{a^{2}+k^{2}}\right]_{0}^{\infty}\\&=\frac{2a}{a^{2}+k^{2}}\end{align*}$$ 이고, 약수렴의 의미로 $$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{H(x)e^{-ikx}dx}&=\int_{0}^{\infty}{e^{-ikx}dx}=\left[-\frac{1}{ik}e^{-ikx}\right]_{0}^{\infty}\\&=\pi\delta(k)+\frac{1}{ik}\end{align*}$$ 이므로 $H(x)$의 푸리에 변환은 $\displaystyle\pi\delta(k)+\frac{1}{ik}$이다. 그러면 부호함수 $H(x)-H(-x)$의 푸리에 변환은 $\displaystyle\frac{2}{ik}$이고, 상수 1의 푸리에 변환은 $2\pi\delta(k)$이다. 마지막으로 $$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{x^{2}}{2}}e^{-ikx}dx}&=e^{\frac{i^{2}k^{2}}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\frac{-(x+ik)^{2}}{2}}dx}\\&=\sqrt{2\pi}e^{-\frac{k^{2}}{2}}\end{align*}$$ 이므로 $e^{-\frac{x^{2}}{2}}$의 푸리에 변환은 $\sqrt{2\pi}e^{-\frac{k^{2}}{2}}$이다.         

$F(k)$를 $f(x)$의 푸리에변환, $G(k)$를 $g(x)$의 푸리에 변환이라 하자. 그러면 다음의 표가 성립한다.

다음은 파세발 항등식(Perseval's equality)이다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{|f(x)|^{2}dx}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{|F(k)|^{2}dk}$$ 위의 적분 중 어느 하나가 유한하면 다른 하나도 유한하고, 또한 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\overline{g(x)}dx}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(k)\overline{G(k)}dk}$$ 하이젠베르크의 불확정성 원리

양자역학에서 $k$는 운동량변수, $x$는 위치변수이다. 파동함수 $f(x)$는 규격화되어있어서 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{|f(x)|^{2}dx}=1$이다. $f(x)$를 시험함수라 하면 위치의 기댓값의 제곱은 $\displaystyle\overline{x}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}{|xf(x)|^{2}dx}$이고, 운동량의 기댓값의 제곱은 $\displaystyle\overline{k}^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{|kF(k)|^{2}dk}$이다. 불확정성 원리는 다음의 부등식이 성립함을 주장한다. $$\overline{x}\cdot\overline{k}\geq\frac{1}{2}$$ 따라서 $\overline{x}$와 $\overline{k}$는 서로 가까워질 수 없다. *부등식 우변에서 플랑크 상수는 생략되었다. 

증명: 슈바르츠 부등식에 의해 $$\left|\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)f'(x)dx}\right|\leq\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}{|xf(x)|^{2}dx}}\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}{|f'(x)|^{2}dx}}$$ 이고, $\overline{x},\,\overline{k}$의 정의와 위 성질 (i)에 의해 $$\overline{x}\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{|ikF(k)|^{2}}dk}=\overline{x}\overline{k}$$ 이다. 부분적분으로부터 $$\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)f'(x)dx}=\left[\frac{1}{2}x\{f(x)\}^{2}\right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2}\{f(x)\}^{2}dx}=0-\frac{1}{2}$$ 따라서 부등식 $\displaystyle\overline{x}\overline{k}\geq\frac{1}{2}$를 얻는다. 

함수 $f(x),\,g(x)$의 합성곱(convolution)은 다음과 같이 정의된다. $$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x-y)g(y)dy}$$ $f(x)$의 푸리에 변환이 $F(k)$, $g(x)$의 푸리에 변환이 $G(k)$이면 $f*g$의 푸리에 변환은 $$\int_{-\infty}^{\infty}{(f*g)(x)e^{-ikx}dx}=\iint_{\mathbb{R}^{2}}{f(x-y)g(y)dye^{-ikx}dx}$$ 이고 $z=x-y$라 하면 $$\begin{align*}\iint_{\mathbb{R}^{2}}{f(z)e^{-ik(y+z)}dzg(y)dy}&=\left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(z)e^{-ikz}dz}\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}{g(y)e^{-iky}dy}\right)\\&=F(k)G(k)\end{align*}$$ 이다.   

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley