[편미분방정식] 17. 푸리에 변환

[편미분방정식] 17. 푸리에 변환

구간 \((-l,\,l)\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)의 푸리에 급수를 복소함수로 나타내면 다음과 같다.$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}e^{\frac{in\pi x}{l}}}\,\left(c_{n}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(y)e^{-\frac{in\pi y}{l}}dy}\right)$$이때 \(\displaystyle k=\frac{n\pi}{l}\)이라 하면 푸리에 급수를 다음과 같이 나타낼 수 있고$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left\{\int_{-l}^{l}{f(y)e^{-iky}dy}\right\}e^{ikx}\frac{\pi}{l}}$$\(\displaystyle\Delta k=\frac{\pi}{l}\)이라 하고, \(l\,\rightarrow\,\infty\)라 하면 위의 푸리에 급수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left\{\int_{-\infty}^{\infty}{f(y)e^{-iky}dy}\right\}e^{ikx}dk}$$이때$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(k)e^{ikx}dk},\,F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-ikx}dx}$$로 나타낼 수 있고, \(F(k)\)를 \(f(x)\)의 푸리에 변환(Fourier transformation)이라고 한다. 

다음은 여러 함수의 푸리에 변환을 나타낸 것이다.

\(f(x)=\delta(x)\)(델타함수)의 경우$$\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)e^{ikx}dx}=e^{-ik0}=1$$이므로 그 푸리에 변환은 1이고, 사각펄스 \(H(a-|x|)\)의 경우, \(-a\leq x\leq a\)에서 \(f(x)=1\)이고, 나머지 구간에서 \(f(x)=0\)이므로$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-ikx}dx}&=\int_{-a}^{a}{e^{-ikxdx}}=\left[-\frac{e^{-ikx}}{ik}\right]_{-a}^{a}\\&=-\frac{e^{-ika}}{ik}+\frac{e^{ika}}{ik}=\frac{2}{k}\left(\frac{e^{ika}-e^{-ika}}{2i}\right)\\&=\frac{2}{k}\sin ak\end{align*}$$이다. 지수함수 \(e^{-a|x|}\)의 경우,$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-a|x|}(\cos kx+i\sin kx)dx}&=2\int_{0}^{\infty}{e^{-ax}\cos kxdx}\\&=2\left[\frac{e^{-ax}(-a\cos kx+k\sin kx)}{a^{2}+k^{2}}\right]_{0}^{\infty}\\&=\frac{2a}{a^{2}+k^{2}}\end{align*}$$이고, 약수렴의 의미로$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{H(x)e^{-ikx}dx}&=\int_{0}^{\infty}{e^{-ikx}dx}=\left[-\frac{1}{ik}e^{-ikx}\right]_{0}^{\infty}\\&=\pi\delta(k)+\frac{1}{ik}\end{align*}$$이므로 \(H(x)\)의 푸리에 변환은 \(\displaystyle\pi\delta(k)+\frac{1}{ik}\)이다. 그러면 부호함수 \(H(x)-H(-x)\)의 푸리에 변환은 \(\displaystyle\frac{2}{ik}\)이고, 상수 1의 푸리에 변환은 \(2\pi\delta(k)\)이다. 마지막으로$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{x^{2}}{2}}e^{-ikx}dx}&=e^{\frac{i^{2}k^{2}}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{\frac{-(x+ik)^{2}}{2}}dx}\\&=\sqrt{2\pi}e^{-\frac{k^{2}}{2}}\end{align*}$$이므로 \(e^{-\frac{x^{2}}{2}}\)의 푸리에 변환은 \(\sqrt{2\pi}e^{-\frac{k^{2}}{2}}\)이다.         

\(F(k)\)를 \(f(x)\)의 푸리에변환, \(G(k)\)를 \(g(x)\)의 푸리에 변환이라 하자. 그러면 다음의 표가 성립한다.

다음은 파세발 항등식(Perseval's equality)이다.$$\int_{-\infty}^{\infty}{|f(x)|^{2}dx}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{|F(k)|^{2}dk}$$위의 적분 중 어느 하나가 유한하면 다른 하나도 유한하고, 또한 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\overline{g(x)}dx}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(k)\overline{G(k)}dk}$$하이젠베르크의 불확정성 원리

양자역학에서 \(k\)는 운동량변수, \(x\)는 위치변수이다. 파동함수 \(f(x)\)는 규격화되어있어서 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{|f(x)|^{2}dx}=1\)이다. \(f(x)\)를 시험함수라 하면 위치의 기댓값의 제곱은 \(\displaystyle\overline{x}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}{|xf(x)|^{2}dx}\)이고, 운동량의 기댓값의 제곱은 \(\displaystyle\overline{k}^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{|kF(k)|^{2}dk}\)이다. 불확정성 원리는 다음의 부등식이 성립함을 주장한다.$$\overline{x}\cdot\overline{k}\geq\frac{1}{2}$$따라서 \(\overline{x}\)와 \(\overline{k}\)는 서로 가까워질 수 없다. *부등식 우변에서 플랑크 상수는 생략되었다. 

증명: 슈바르츠 부등식에 의해$$\left|\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)f'(x)dx}\right|\leq\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}{|xf(x)|^{2}dx}}\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}{|f'(x)|^{2}dx}}$$이고, \(\overline{x},\,\overline{k}\)의 정의와 위 성질 (i)에 의해$$\overline{x}\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{|ikF(k)|^{2}}dk}=\overline{x}\overline{k}$$이다. 부분적분으로부터$$\int_{-\infty}^{\infty}{xf(x)f'(x)dx}=\left[\frac{1}{2}x\{f(x)\}^{2}\right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2}\{f(x)\}^{2}dx}=0-\frac{1}{2}$$따라서 부등식 \(\displaystyle\overline{x}\overline{k}\geq\frac{1}{2}\)를 얻는다. 

함수 \(f(x),\,g(x)\)의 합성곱(convolution)은 다음과 같이 정의된다.$$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x-y)g(y)dy}$$\(f(x)\)의 푸리에 변환이 \(F(k)\), \(g(x)\)의 푸리에 변환이 \(G(k)\)이면 \(f*g\)의 푸리에 변환은$$\int_{-\infty}^{\infty}{(f*g)(x)e^{-ikx}dx}=\iint_{\mathbb{R}^{2}}{f(x-y)g(y)dye^{-ikx}dx}$$이고 \(z=x-y\)라 하면$$\begin{align*}\iint_{\mathbb{R}^{2}}{f(z)e^{-ik(y+z)}dzg(y)dy}&=\left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(z)e^{-ikz}dz}\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}{g(y)e^{-iky}dy}\right)\\&=F(k)G(k)\end{align*}$$이다.   

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley