[편미분방정식] 19. 라플라스 변환

[편미분방정식] 19. 라플라스 변환

함수 $f(t)$에 대한 라플라스 변환(Laplace transformation)은 다음과 같이 정의된다. $$F(s)=\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}dt}$$ 다음은 여러 함수에 대한 라플라스 변환표이다.

$F(s)$와 $G(s)$를 각각 $f(t)$와 $g(t)$의 라플라스 변환이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$\displaystyle\sin\omega t$의 라플라스 변환이 $\displaystyle\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$이므로 $\displaystyle\frac{\sin t}{t}$의 라플라스 변환은 $$\int_{s}^{\infty}{\frac{1}{s'^{2}+1}ds'}=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}s=\tan^{-1}\frac{1}{s}$$ 이다. 

라플라스 역변환은 다음과 같이 복소평면에서의 수직선 $s=\alpha+i\beta\,(-\infty<\beta<\infty)$위에서의 선적분이다. $$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty}{e^{st}F(s)ds}$$ 다음의 상미분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 해를 얻고자 한다. $$u_{tt}+\omega^{2}u=f(t),\,u(0)=u'(0)=0$$ $u$의 라플라스 변환을 $U(s)$라 하면 $$s^{2}U(s)+\omega^{2}U(s)=F(s)$$ ($F(s)$는 $f(t)$의 라플라스 변환)이고 따라서 $\displaystyle U(s)=\frac{F(s)}{s^{2}+\omega^{2}}$이고 다음과 같이 합성곱으로 나타내어진다. $$u(t)=\frac{1}{\omega}\int_{0}^{t}{\sin\omega(t-t')f(t')dt'}$$ 다음과 같은 초기조건을 갖는 $(0,\,l)$위에서의 확산방정식 $u_{t}=ku_{xx}$의 해를 구하자. $$u(0,\,t)=u(l,\,t)=1,\,u(x,\,0)=1+\sin\frac{\pi x}{l}$$ $u(x,\,t)$의 변수 $t$에 대한 라플라스 변환을 $U(x,\,s)$라 하면 $$sU(x,\,s)-u(x,\,0)=kU_{xx}(x,\,s)$$ 이고 경계조건은 $\displaystyle U(0,\,s)=U(l,\,s)=\frac{1}{s}$로 나타낼 수 있고, 다음의 $x$에 대한 해를 얻는다. $$U(x,\,s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s+\frac{k\pi^{2}}{l^{2}}}\sin\frac{\pi x}{l}$$ 그러므로 $$u(x,\,t)=1+e^{-\frac{k\pi^{2}t}{l^{2}}}\sin\frac{\pi x}{l}$$ 다음의 초기조건을 갖는 $0<x<\infty$에 대한 파동방정식 $u_{tt}=c^{2}u_{xx}$를 고려하자. $$u(0,\,t)=f(t),\,u(x,\,0)=u_{t}(x,\,0)=0$$ $x\,\rightarrow\,\infty$일 때 초기조건이 소멸하므로 $u(x,\,t)\,\rightarrow\,0$이라고 할 수 있다. $t$에 대해 라플라스 변환을 하면 다음과 같고 $$s^{2}U=c^{2}U_{xx},\,U(0,\,s)=F(s)$$ 이것은 $x$에 대한 상미분방정식이므로 그 해는 다음과 같다. $$U(x,\,s)=a(s)e^{-\frac{xs}{c}}+b(s)e^{\frac{xs}{c}}$$ 여기서 $a(s),\,b(s)$는 $s$에 대한 함수로 초기조건에 의해 결정된다. $x\,\rightarrow\,\infty$일 때 $u\,\rightarrow\,0$이므로 $x\,\rightarrow\,\infty$일 때 $U(x,\,s)\,\rightarrow\,0$이라고 할 수 있다. 그러면 파동방정식의 해 $u$는 다음과 같다. $$u(x,\,t)=H\left(t-\frac{x}{c}\right)f\left(t-\frac{x}{c}\right)$$ 다음의 초기조건을 갖는 확산방정식 $u_{t}=ku_{xx}$의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하자. $$u(0,\,t)=f(t),\,u(x,\,0)=0$$ 이때 $x\,\rightarrow\,\infty$일 때 $u(x,\,t)\,\rightarrow\,0$이다. $t$에 대해 라플라스 변환을 하면 다음과 같고 $$sU=kU_{xx},\,U(0,\,s)=F(s),\,U(\infty)=0$$ 이것은 $x$에 대한 상미분방정식이다. 무한대로 발산하는 경우는 배제해야 하므로 이 $x$에 대한 상미분방정식의 해는 $U(x,\,s)=F(s)e^{-x\sqrt{\frac{s}{k}}}$이다. $e^{-x\sqrt{\frac{s}{k}}}$는 함수 $\displaystyle E(x,\,t)=\frac{x}{2\sqrt{k\pi t^{3}}}e^{-\frac{x^{2}}{4kt}}$의 라플라스 변환이므로 그 해는 다음과 같다. $$\begin{align*}u(x,\,t)&=\int_{0}^{t}{E(t-t')f(t')dt'}\\&=\frac{x}{\sqrt{4\pi} k}\int_{0}^{t}{\frac{1}{(t-t')^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{x^{2}}{4k(t-t')}}f(t')dt'}\end{align*}$$ 참고자료: 

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley