[편미분방정식] 19. 라플라스 변환

[편미분방정식] 19. 라플라스 변환

함수 \(f(t)\)에 대한 라플라스 변환(Laplace transformation)은 다음과 같이 정의된다.$$F(s)=\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}dt}$$다음은 여러 함수에 대한 라플라스 변환표이다.

\(F(s)\)와 \(G(s)\)를 각각 \(f(t)\)와 \(g(t)\)의 라플라스 변환이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

\(\displaystyle\sin\omega t\)의 라플라스 변환이 \(\displaystyle\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)이므로 \(\displaystyle\frac{\sin t}{t}\)의 라플라스 변환은$$\int_{s}^{\infty}{\frac{1}{s'^{2}+1}ds'}=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}s=\tan^{-1}\frac{1}{s}$$이다. 

라플라스 역변환은 다음과 같이 복소평면에서의 수직선 \(s=\alpha+i\beta\,(-\infty<\beta<\infty)\)위에서의 선적분이다.$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty}{e^{st}F(s)ds}$$다음의 상미분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 해를 얻고자 한다.$$u_{tt}+\omega^{2}u=f(t),\,u(0)=u'(0)=0$$\(u\)의 라플라스 변환을 \(U(s)\)라 하면$$s^{2}U(s)+\omega^{2}U(s)=F(s)$$(\(F(s)\)는 \(f(t)\)의 라플라스 변환)이고 따라서 \(\displaystyle U(s)=\frac{F(s)}{s^{2}+\omega^{2}}\)이고 다음과 같이 합성곱으로 나타내어진다.$$u(t)=\frac{1}{\omega}\int_{0}^{t}{\sin\omega(t-t')f(t')dt'}$$다음과 같은 초기조건을 갖는 \((0,\,l)\)위에서의 확산방정식 \(u_{t}=ku_{xx}\)의 해를 구하자.$$u(0,\,t)=u(l,\,t)=1,\,u(x,\,0)=1+\sin\frac{\pi x}{l}$$\(u(x,\,t)\)의 변수 \(t\)에 대한 라플라스 변환을 \(U(x,\,s)\)라 하면$$sU(x,\,s)-u(x,\,0)=kU_{xx}(x,\,s)$$이고 경계조건은 \(\displaystyle U(0,\,s)=U(l,\,s)=\frac{1}{s}\)로 나타낼 수 있고, 다음의 \(x\)에 대한 해를 얻는다.$$U(x,\,s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s+\frac{k\pi^{2}}{l^{2}}}\sin\frac{\pi x}{l}$$그러므로$$u(x,\,t)=1+e^{-\frac{k\pi^{2}t}{l^{2}}}\sin\frac{\pi x}{l}$$다음의 초기조건을 갖는 \(0<x<\infty\)에 대한 파동방정식 \(u_{tt}=c^{2}u_{xx}\)를 고려하자.$$u(0,\,t)=f(t),\,u(x,\,0)=u_{t}(x,\,0)=0$$\(x\,\rightarrow\,\infty\)일 때 초기조건이 소멸하므로 \(u(x,\,t)\,\rightarrow\,0\)이라고 할 수 있다. \(t\)에 대해 라플라스 변환을 하면 다음과 같고$$s^{2}U=c^{2}U_{xx},\,U(0,\,s)=F(s)$$이것은 \(x\)에 대한 상미분방정식이므로 그 해는 다음과 같다.$$U(x,\,s)=a(s)e^{-\frac{xs}{c}}+b(s)e^{\frac{xs}{c}}$$여기서 \(a(s),\,b(s)\)는 \(s\)에 대한 함수로 초기조건에 의해 결정된다. \(x\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(u\,\rightarrow\,0\)이므로 \(x\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(U(x,\,s)\,\rightarrow\,0\)이라고 할 수 있다. 그러면 파동방정식의 해 \(u\)는 다음과 같다.$$u(x,\,t)=H\left(t-\frac{x}{c}\right)f\left(t-\frac{x}{c}\right)$$다음의 초기조건을 갖는 확산방정식 \(u_{t}=ku_{xx}\)의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하자.$$u(0,\,t)=f(t),\,u(x,\,0)=0$$이때 \(x\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(u(x,\,t)\,\rightarrow\,0\)이다. \(t\)에 대해 라플라스 변환을 하면 다음과 같고$$sU=kU_{xx},\,U(0,\,s)=F(s),\,U(\infty)=0$$이것은 \(x\)에 대한 상미분방정식이다. 무한대로 발산하는 경우는 배제해야 하므로 이 \(x\)에 대한 상미분방정식의 해는 \(U(x,\,s)=F(s)e^{-x\sqrt{\frac{s}{k}}}\)이다. \(e^{-x\sqrt{\frac{s}{k}}}\)는 함수 \(\displaystyle E(x,\,t)=\frac{x}{2\sqrt{k\pi t^{3}}}e^{-\frac{x^{2}}{4kt}}\)의 라플라스 변환이므로 그 해는 다음과 같다.$$\begin{align*}u(x,\,t)&=\int_{0}^{t}{E(t-t')f(t')dt'}\\&=\frac{x}{\sqrt{4\pi} k}\int_{0}^{t}{\frac{1}{(t-t')^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{x^{2}}{4k(t-t')}}f(t')dt'}\end{align*}$$참고자료: 

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley