[편미분방정식] 18. 근원함수

[편미분방정식] 18. 근원함수

이변수함수 $\displaystyle S(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-\frac{x^{2}}{4kt}}$를 근원함수(source function)라고 한다. 

확산

근원함수는 다음의 확산방정식에서 유일한 해로 정의된다. $$S_{t}=S_{xx}\,(-\infty<x<\infty,\,0<t<\infty),\,S(x,\,0)=\delta(x)$$ 여기서 상수 $k$를 1로 설정했다. $S(x,\,t)$의 $x$에 대한 푸리에 변환을 다음과 같이 나타내자. $$\hat{S}(k,\,t)=\int_{-\infty}^{\infty}{S(x,\,t)e^{-ikx}dx}$$ 푸리에 변환의 성질에 의해 $$\frac{\partial\hat{S}}{\partial t}=(ik)^{2}\hat{S}=-k^{2}\hat{S},\,\hat{S}(k,\,0)=1$$ 이므로 $\hat{S}(k,\,t)=e^{-k^{2}t}$이고 이것의 역변환은 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$이다. 임의의 $a>0$에 대해 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{a^{2}x^{2}}{2}}$의 푸리에 변환은 $\displaystyle\frac{1}{a}e^{-\frac{k^{2}}{2a^{2}}}$이다. $\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2t}}$라 하면 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{4t}}$의 푸리에 변환은 $\sqrt{2t}e^{-k^{2}t}$이고 따라서 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{4t}}$의 푸리에 변환은 $e^{-k^{2}t}$이고 $\displaystyle S(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{4t}}$이다. 

파동

1차원 파동방정식에 대한 근원함수는 다음을 만족한다. $$S_{tt}=c^{2}S_{xx},\,S(x,\,0)=0,\,S_{t}(x,\,0)=\delta(x)$$ 확산방정식의 풀이와 같은 방법으로 $$\frac{\partial^{2}\hat{S}}{\partial t^{2}}=-c^{2}k^{2}\hat{S},\,\hat{S}(k,\,0)=0,\,\frac{\partial\hat{S}}{\partial t}(k,\,0)=1$$ 여기서 $\hat{S}$는 $S$의 푸리에 변환이고 $$\hat{S}(k,\,t)=\frac{\sin kct}{kc}=\frac{e^{ikct}-e^{-ikct}}{2ikc}$$ 이므로 $$S(x,\,t)=\frac{1}{4\pi ikc}\int_{-\infty}^{\infty}{(e^{ik(x+ct)}-e^{-ik(x-ct)})dk}$$ 이다. $\text{sgn}(x)=H(x)-H(-x)$의 푸리에 변환은 $\displaystyle\frac{2}{ik}$이므로 $\displaystyle\frac{\text{sgn}(x+a)}{4c}$의 푸리에 변환은 $\displaystyle\frac{1}{2ikc}e^{iak}$이다. 그러므로 $$S(x,\,t)=\frac{\text{sgn}(x+ct)-\text{sgn}(x-ct)}{4c}=\begin{cases}\displaystyle\frac{1-1}{4c}=0&\,|x|>ct>0\\ \displaystyle\frac{1+1}{4c}=\frac{1}{2c}&\,|x|<ct\end{cases}$$ 이고 $$S(x,\,t)=\frac{H(c^{2}t^{2}-x^{2})}{2c}$$ 이다. 

반평면에서의 라플라스 방정식

다음의 라플라스 방정식을 고려하자. $$\begin{align*}u_{xx}+u_{yy}&=0,\,y>0\\u(x,\,0)&=\delta(x),\,y=0\end{align*}$$ 이 방정식을 $y$에 대해 변환할 수 없으나 $x$에 대해서는 가능하다. 그 이유는 $y>0$인 반면 $x$는 실수 전체에 있기 때문이다. $$U(k,\,y)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ikx}u(x,\,y)dx}$$ 를 $u$의 푸리에 변환이라 하자. 그러면 $U$는 다음의 상미분방정식을 만족한다. $$-k^{2}U+U_{yy}=0\,(y>0),\,U(k,\,0)=1$$ 이 상미분방정식의 해는 $e^{yk},\,e^{-yk}$이고 $|k|\,\rightarrow\,\infty$일 때 무한대로 발산하는 해를 배제해야 하므로 $U(k,\,y)=e^{-y|k|}$이어야 하고 따라서 $$\begin{align*}u(x,\,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{ikx}e^{-y|k|}dk}\\&=\left[\frac{1}{2\pi(ix-y)}e^{ikx-ky}\right]_{0}^{\infty}+\left[\frac{1}{2\pi(ix+y)}\right]_{-\infty}^{0}\\&=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{y-ix}+\frac{1}{y+ix}\right)\\&=\frac{y}{\pi(x^{2}+y^{2})}\end{align*}$$ 이다.     

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley