[편미분방정식] 18. 근원함수

[편미분방정식] 18. 근원함수

이변수함수 \(\displaystyle S(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-\frac{x^{2}}{4kt}}\)를 근원함수(source function)라고 한다. 

확산

근원함수는 다음의 확산방정식에서 유일한 해로 정의된다.$$S_{t}=S_{xx}\,(-\infty<x<\infty,\,0<t<\infty),\,S(x,\,0)=\delta(x)$$여기서 상수 \(k\)를 1로 설정했다. \(S(x,\,t)\)의 \(x\)에 대한 푸리에 변환을 다음과 같이 나타내자.$$\hat{S}(k,\,t)=\int_{-\infty}^{\infty}{S(x,\,t)e^{-ikx}dx}$$푸리에 변환의 성질에 의해$$\frac{\partial\hat{S}}{\partial t}=(ik)^{2}\hat{S}=-k^{2}\hat{S},\,\hat{S}(k,\,0)=1$$이므로 \(\hat{S}(k,\,t)=e^{-k^{2}t}\)이고 이것의 역변환은 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\)이다. 임의의 \(a>0\)에 대해 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{a^{2}x^{2}}{2}}\)의 푸리에 변환은 \(\displaystyle\frac{1}{a}e^{-\frac{k^{2}}{2a^{2}}}\)이다. \(\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2t}}\)라 하면 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{4t}}\)의 푸리에 변환은 \(\sqrt{2t}e^{-k^{2}t}\)이고 따라서 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{4t}}\)의 푸리에 변환은 \(e^{-k^{2}t}\)이고 \(\displaystyle S(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{4t}}\)이다. 

파동

1차원 파동방정식에 대한 근원함수는 다음을 만족한다.$$S_{tt}=c^{2}S_{xx},\,S(x,\,0)=0,\,S_{t}(x,\,0)=\delta(x)$$확산방정식의 풀이와 같은 방법으로$$\frac{\partial^{2}\hat{S}}{\partial t^{2}}=-c^{2}k^{2}\hat{S},\,\hat{S}(k,\,0)=0,\,\frac{\partial\hat{S}}{\partial t}(k,\,0)=1$$여기서 \(\hat{S}\)는 \(S\)의 푸리에 변환이고$$\hat{S}(k,\,t)=\frac{\sin kct}{kc}=\frac{e^{ikct}-e^{-ikct}}{2ikc}$$이므로$$S(x,\,t)=\frac{1}{4\pi ikc}\int_{-\infty}^{\infty}{(e^{ik(x+ct)}-e^{-ik(x-ct)})dk}$$이다. \(\text{sgn}(x)=H(x)-H(-x)\)의 푸리에 변환은 \(\displaystyle\frac{2}{ik}\)이므로 \(\displaystyle\frac{\text{sgn}(x+a)}{4c}\)의 푸리에 변환은 \(\displaystyle\frac{1}{2ikc}e^{iak}\)이다. 그러므로$$S(x,\,t)=\frac{\text{sgn}(x+ct)-\text{sgn}(x-ct)}{4c}=\begin{cases}\displaystyle\frac{1-1}{4c}=0&\,|x|>ct>0\\ \displaystyle\frac{1+1}{4c}=\frac{1}{2c}&\,|x|<ct\end{cases}$$이고$$S(x,\,t)=\frac{H(c^{2}t^{2}-x^{2})}{2c}$$이다. 

반평면에서의 라플라스 방정식

다음의 라플라스 방정식을 고려하자.$$\begin{align*}u_{xx}+u_{yy}&=0,\,y>0\\u(x,\,0)&=\delta(x),\,y=0\end{align*}$$이 방정식을 \(y\)에 대해 변환할 수 없으나 \(x\)에 대해서는 가능하다. 그 이유는 \(y>0\)인 반면 \(x\)는 실수 전체에 있기 때문이다.$$U(k,\,y)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-ikx}u(x,\,y)dx}$$를 \(u\)의 푸리에 변환이라 하자. 그러면 \(U\)는 다음의 상미분방정식을 만족한다.$$-k^{2}U+U_{yy}=0\,(y>0),\,U(k,\,0)=1$$이 상미분방정식의 해는 \(e^{yk},\,e^{-yk}\)이고 \(|k|\,\rightarrow\,\infty\)일 때 무한대로 발산하는 해를 배제해야 하므로 \(U(k,\,y)=e^{-y|k|}\)이어야 하고 따라서$$\begin{align*}u(x,\,y)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{ikx}e^{-y|k|}dk}\\&=\left[\frac{1}{2\pi(ix-y)}e^{ikx-ky}\right]_{0}^{\infty}+\left[\frac{1}{2\pi(ix+y)}\right]_{-\infty}^{0}\\&=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{y-ix}+\frac{1}{y+ix}\right)\\&=\frac{y}{\pi(x^{2}+y^{2})}\end{align*}$$이다.     

참고자료:

Partial Differential Equations second edition, Strauss, Wiley