연속함수의 근사

연속함수의 근사

닫힌구간 $[a,\,b]$에서 정의된 연속함수 $f$는 균등연속이다. 또한 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $|x-y|<\epsilon$일 필요충분조건은 $x=y$임이 알려져 있다. 이를 이용하여 연속함수 $f$를 계단함수 $s$로 근사시킬 수 있다.

닫힌구간 $[a,\,b]$에서 정의된 함수 $f$가 구간 $[a,\,b]$의 분할 $$P:\,a=x_{0}<x_{1}<\,\cdots\,<x_{n-1}<x_{n}$$ 과 적당한 실수 $a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n}$이 존재해서 $x_{i-1}<x<x_{i}$일 때 $f(x)=a_{i}$이면 함수 $f$를 $[a,\,b]$에서 정의된 계단함수(step function)라고 한다.

다음은 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수 $f$를 근사시키는 계단함수 $s$를 구하는 과정이다.

함수 $f$는 구간 $[a,\,b]$에서 연속이므로 $[a,\,b]$에서 균등연속이다. 그러면 모든 $\epsilon>0$과 $x,\,y\in[a,\,b]$에 대하여 $\delta>0$이 존재해서 $|x-y|<\delta$일 때 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$이다. 구간 $[a,\,b]$의 분할 $P$를 다음과 같이 정의하고 $$P:\,a=x_{0}<x_{1}<\,\cdots\,<x_{n-1}<x_{n}=b$$ $|x_{i}-x_{i-1}|<\delta\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)$이라 하자. $[a,\,b]$에서의 계단함수 $s$를 다음과 같이 정의하면 $$s(x)=\begin{cases}f(x_{i-1})\,&(x_{i-1}\leq x<x_{i},\,i=1,\,2,\,\,\cdots,\,n)\\f(b)\,&(x=x_{n})\end{cases}$$ 그러면 $|x_{i}-x_{i-1}|<\delta$이므로 모든 $x\in[a,\,b]$에 대하여 $$|f(x)-s(x)|<\epsilon$$ 이다.

참고자료:

실해석학개론, 정동명, 조승제, 경문사