연속함수의 근사

연속함수의 근사

닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 연속함수 \(f\)는 균등연속이다. 또한 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(|x-y|<\epsilon\)일 필요충분조건은 \(x=y\)임이 알려져 있다. 이를 이용하여 연속함수 \(f\)를 계단함수 \(s\)로 근사시킬 수 있다.

닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)의 분할$$P:\,a=x_{0}<x_{1}<\,\cdots\,<x_{n-1}<x_{n}$$과 적당한 실수 \(a_{1},\,a_{2},\,\cdots,\,a_{n}\)이 존재해서 \(x_{i-1}<x<x_{i}\)일 때 \(f(x)=a_{i}\)이면 함수 \(f\)를 \([a,\,b]\)에서 정의된 계단함수(step function)라고 한다.

다음은 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수 \(f\)를 근사시키는 계단함수 \(s\)를 구하는 과정이다.

함수 \(f\)는 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이므로 \([a,\,b]\)에서 균등연속이다. 그러면 모든 \(\epsilon>0\)과 \(x,\,y\in[a,\,b]\)에 대하여 \(\delta>0\)이 존재해서 \(|x-y|<\delta\)일 때 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)이다. 구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)를 다음과 같이 정의하고$$P:\,a=x_{0}<x_{1}<\,\cdots\,<x_{n-1}<x_{n}=b$$\(|x_{i}-x_{i-1}|<\delta\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)이라 하자. \([a,\,b]\)에서의 계단함수 \(s\)를 다음과 같이 정의하면$$s(x)=\begin{cases}f(x_{i-1})\,&(x_{i-1}\leq x<x_{i},\,i=1,\,2,\,\,\cdots,\,n)\\f(b)\,&(x=x_{n})\end{cases}$$그러면 \(|x_{i}-x_{i-1}|<\delta\)이므로 모든 \(x\in[a,\,b]\)에 대하여$$|f(x)-s(x)|<\epsilon$$이다.

참고자료:

실해석학개론, 정동명, 조승제, 경문사