블랙-숄즈 방정식(3: 블랙-숄즈 방정식의 유도와 풀이)

블랙-숄즈 방정식(3: 블랙-숄즈 방정식의 유도와 풀이)

여기서는 델타헷징법과 이토 보조정리를 이용하여 블랙-숄즈 방정식을 유도하고 연쇄법칙과 열방정식을 이용하여 해를 구하는 과정을 보일 것이다.

블랙-숄즈 방정식은 다음의 7가지 가정 하에서 유도된다.

1. 거래는 연속시간으로 이루어지고 주가는 이토과정 $dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dB_{t}$($\mu$는 기댓값, $\sigma$는 변동성)를 따른다.

2. 무위험이자율 $r$은 상수이다.

3. 주식 배당금은 없다.

4. 매매에서 발생하는 거래비용(수수료), 세금은 무시한다.

5. 주식을 임의로 분할할 수 있다.

6. 공매도가 허용되고 공매도로 발생한 돈은 전액 사용가능하다.

7. 차익거래는 일어나지 않는다. 

 

임의의 시점 $t$에서의 주가를 $S=S_{t}$, 옵션의 가치를 $c(S_{t},\,t)$라 할 때, 옵션 1단위를 매각하고 주식 $\Delta$단위(주의: 여기서의 $\Delta$는 값이고 증분이 아니다!) 매입하는 포트폴리오의 가치는 $$\Pi=\Delta S-c(S,\,t)$$ 이다.

임의의 시간 $t>0$에 대하여 가장 짧은 시간 $dt$에서의 포트폴리오의 변화량은 $$d\Pi=\Delta dS-dc$$ 이고, 이토의 보조정리에 의해 $$dc=\frac{\partial c}{\partial t}dt+\frac{\partial c}{\partial S}dS+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}}dt$$ 이므로 이 식에 $dS=\mu Sdt+\sigma SdB_{t}$를 대입하면 $$dc=\left(\frac{\partial c}{\partial t}+\mu S\frac{\partial c}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}}\right)dt+\sigma S\frac{\partial c}{\partial S}dB_{t}$$ 이고 따라서 $$\begin{align*}d\Pi&=\Delta dS-dc\\&=\Delta(\mu Sdt+\sigma SdB_{t})-\left(\frac{\partial c}{\partial t}+\mu S\frac{\partial c}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}}\right)-\sigma S\frac{\partial c}{\partial S}dB_{t}\\&=\left\{-\frac{\partial c}{\partial t}+\mu S\left(\Delta-\frac{\partial c}{\partial S}\right)-\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}}\right\}dt+\sigma S\left(\Delta-\frac{\partial c}{\partial S}\right)dB_{t}\end{align*}$$ 이다. 여기서 $dt$시간에서의 $\Delta$의 값을 $$\Delta=\frac{\partial c}{\partial S}$$ 라 하면, $d\Pi$중에서 확률적인 부분이 제거되어 포트폴리오는 $dt$시간에서 무위험상태가 되고 $$d\Pi=\left(-\frac{\partial c}{\partial t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}}\right)dt$$ 이다.

$\displaystyle\Delta=\frac{\partial c}{\partial S}$일 때 시간 $t$에서의 포트폴리오의 가치는 $$\Pi=S\frac{\partial c}{\partial S}-c$$ 이고, 차익거래가 없으므로 시간 $dt$에서의 포트폴리오의 변화량은 $$d\Pi=r\Pi dt$$ 이어야 한다. 그러면 등식 $$\left(-\frac{\partial c}{\partial t}-\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial t^{2}}\right)dt=r\left(S\frac{\partial s}{\partial S}-c\right)dt$$ 이 성립해야 하고, 다음의 편미분방정식을 얻는다. $$rc=\frac{\partial c}{\partial t}+rS\frac{\partial c}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}}$$ 이 편미분방정식을 블랙-숄즈 방정식(Black-Scholes equation)이라고 한다.

위에서 블랙-숄즈 방정식을 델타헷징법을 이용하여 옵션 $c$에 대해서 유도했는데 옵션 $c$ 대신 일반적인 파생상품의 가격 $f$에 적용해도 블랙-숄즈 방정식이 성립한다. 따라서 다음의 명제를 얻는다.

무배당 기초자산의 가격 $S=S_{t}$가 이토과정 $dS=\mu Sdt+\sigma SdB_{t}$를 따를 때, 파생상품의 가격 $f=f(S_{t},\,t)$은 편미분방정식 $\displaystyle rf=\frac{\partial f}{\partial t}+rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial S^{2}}$를 만족한다.

이렇게 블랙-숄즈 방정식의 유도를 완료했다. 위의 명제를 만족하는 편미분방정식의 해(파생상품의 가격)는 다양하기 때문에, 특정 파생상품에 해당하는 경계조건을 추가해야 해당 파생상품의 가격을 구할 수 있다.

이제 블랙-숄즈 방정식의 해를 구하자. 여기서는 만기가 $T$이고, 행사가격이 $K$인 유러피언 콜옵션 $c=c(S_{t},\,t)$에 대한 해를 구할 것이다.

앞에서 언급한 유러피언 콜옵션에 대한 블랙-숄즈 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle rc=\frac{\partial c}{\partial t}+rS\frac{\partial c}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}}$

초기조건: $c(S,\,T)=\max(S_{T}-K,\,0)$

이 블랙-숄즈 방정식을 열방정식으로 변환하기 위해 $\displaystyle u=\ln\frac{S}{K}+\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t),\,x=T-t$로 치환하고 함수 $y(u,\,x)$(잔존기간이 $x$만큼 남은 옵션의 가치)가 $$c(S,\,t)=e^{-rx}y(u,\,x)$$ 를 만족한다고 하자. $\displaystyle\frac{\partial x}{\partial S}=0,\,\frac{\partial x}{\partial t}=-1$이므로 연쇄법칙에 의해 $$\begin{align*}\frac{\partial c}{\partial t}&=\frac{\partial c}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial c}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}\\&=-e^{-rx}\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)\frac{\partial y}{\partial u}-\left(-re^{-rx}y+e^{-rx}\frac{\partial y}{\partial x}\right)\\&=e^{-rx}\left\{-\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)\frac{\partial y}{\partial u}+ry-\frac{\partial y}{\partial x}\right\}\\ \frac{\partial c}{\partial S}&=\frac{\partial}{\partial u}\left(e^{-rx}y\right)\frac{\partial u}{\partial S}=\frac{e^{-rx}}{S}\frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial^{2} c}{\partial S^{2}}&=\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial c}{\partial S}=\frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{e^{-rx}}{S}\frac{\partial y}{\partial u}\right)=e^{-rx}\left(\frac{1}{S}\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial y}{\partial u}-\frac{1}{S^{2}}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\\&=e^{-rx}\left(\frac{1}{S}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\frac{\partial u}{\partial S}-\frac{1}{S^{2}}\frac{\partial y}{\partial u}\right)\\&=\frac{e^{-rx}}{S^{2}}\left(\frac{\partial^{2}y}{\partial u^{2}}-\frac{\partial y}{\partial u}\right)\end{align*}$$ 이고 초기조건 $c(S,\,T)=\max(S_{T}-K,\,0)$은 $g(u)=y(u,\,0)=\max(K(e^{u}-1),\,0)$으로 바뀌므로 이 식들을 원래의 블랙-숄즈 방정식에 대입하면 좌변은 $$\begin{align*}&\frac{\partial c}{\partial t}+rS\frac{\partial c}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}c}{\partial S^{2}}\\&=e^{-rx}\left\{-\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)\frac{\partial y}{\partial u}+ry-\frac{\partial y}{\partial x}\right\}+rS\frac{e^{-rx}}{S}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{e^{-rx}}{S^{2}}\left(\frac{\partial^{2}y}{\partial u^{2}}-\frac{\partial y}{\partial u}\right)\\&=e^{-rx}\left\{-\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)\frac{\partial y}{\partial u}+ry-\frac{\partial y}{\partial x}+r\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}y}{\partial u^{2}}-\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial y}{\partial u}\right\}\\&=e^{-rx}\left(ry-\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}y}{\partial u^{2}}\right)\end{align*}$$ 이고, 우변은 $$rc=re^{-rx}y=e^{-rx}(ry)$$ 이므로 $$e^{-rx}\left(ry-\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}y}{\partial u^{2}}\right)=e^{-rx}(ry)$$ 이고 따라서 다음과 같은 열방정식과 비슷한 형태의 편미분방정식을 얻는다. $$\begin{cases}\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\sigma^{2}}{2}\frac{\partial^{2}y}{\partial u^{2}}&\\y(u,\,0)=g(u)=\max(K(e^{u}-1),\,0)\end{cases}$$ 경계조건이 $u(x,\,0)=f(x)$인 열방정식 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}=c\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$의 해는 $$u(x,\,y)=\frac{1}{\sqrt{4\pi ct}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{(x-a)^{2}}{4ct}}f(a)da}$$ 이므로 얻어진 편미분방정식의 해는 $$y(u,\,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}{g(a)e^{-\frac{(u-a)^{2}}{2\sigma^{2}x}}da}$$ 이다. $\displaystyle v=\frac{a-u}{\sigma\sqrt{x}}$라 하면, $\displaystyle dv=\frac{1}{\sigma\sqrt{x}}da$이므로 $$\begin{align*}y(u,\,x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}{g(a)e^{-\frac{(u-a)^{2}}{2\sigma^{2}x}}da}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{g(u+\sigma\sqrt{x}v)e^{-\frac{v^{2}}{2}}dv}\end{align*}$$ 이다. 여기서 $$g(a)=g(u+\sigma\sqrt{x}v)=\max(K(e^{u+\sigma\sqrt{x}v}-1),\,0)=\begin{cases}K(e^{u+\sigma\sqrt{x}v}-1)&\,v\geq-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}\\0&\,v<-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}\end{cases}$$ 이므로 $$\begin{align*} y(u,\,x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}{K(e^{u+\sigma\sqrt{x}v}-1)e^{-\frac{v^{2}}{2}}dv}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}{Ke^{u+\sigma\sqrt{x}v}e^{-\frac{v^{2}}{2}}dv}-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}{Ke^{-\frac{v^{2}}{2}}dv}\end{align*}$$ 이다. $$\begin{align*}&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}Ke^{u+\sigma\sqrt{x}v}e^{-\frac{v^{2}}{2}dv}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}{Ke^{u}e^{\sigma\sqrt{x}}e^{-\frac{v^{2}}{2}}dv}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}{Se^{rx-\frac{\sigma^{2}x}{2}}e^{\sigma\sqrt{x}v}e^{-\frac{v^{2}}{2}}dv}\,\left(\because u=\ln\frac{S}{K}+\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)x,\,e^{u}=\frac{S}{K}e^{rx-\frac{\sigma^{2}x}{2}}\right)\\&=Se^{rx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}{e^{-\frac{(v-\sigma\sqrt{x})^{2}}{2}}dv}\end{align*}$$ 이고 여기서 $z=v-\sigma\sqrt{x}$라 하면 $dz=dv$이므로 위의 적분은 $$Se^{rx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}-\sigma\sqrt{x}}^{\infty}{e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz}$$ 이다. 따라서 $$y(u,\,x)=Se^{rx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}{e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz}-K\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{\infty}{e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz}$$ 이고 여기서 $\displaystyle\Phi(d)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d}{e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz}$라 하면, 이 적분은 표준정규분포를 따르는 확률변수의 누적분포함수이다. $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d}{e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-d}^{\infty}{e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz}$$ 이고 $\displaystyle u=\ln\frac{S}{K}+\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)x,\,x=T-t$이므로 $$\begin{align*}\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}+\sigma\sqrt{x}&=\frac{u+\sigma^{2}x}{\sigma\sqrt{x}}=\frac{\ln\frac{S}{K}+\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t)+\sigma^{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\&=\frac{\ln\frac{S}{K}+\left(r+\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\ \frac{u}{\sigma\sqrt{x}}&=\frac{\ln\frac{S}{K}+\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=\frac{\ln\frac{S}{K}+\left(r+\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}-\sigma\sqrt{T-t}\end{align*}$$ 이므로 $$y(u,\,x)=Se^{rx}\Phi\left(\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}+\sigma\sqrt{x}\right)-K\Phi\left(\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}\right)$$ 이고 $c(S,\,t)=e^{-rx}y(u,\,x)$이므로 따라서 $$\begin{align*}c(S,\,t)&=e^{-rx}\left\{Se^{rx}\Phi\left(\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}+\sigma\sqrt{x}\right)-K\Phi\left(\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}\right)\right\}\\&=S\Phi\left(\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}+\sigma\sqrt{x}\right)-Ke^{-rx}\Phi\left(\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}\right)\end{align*}$$ 이다. 

이렇게 블랙-숄즈 방정식의 해를 구했고, 그 해는 다음과 같고 $$c(S,\,t)=S\Phi(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_{2})$$ 여기서 $\displaystyle d_{1}=\frac{\ln\frac{S}{K}+\left(r+\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},\,d_{2}=\frac{\ln\frac{S}{K}+\left(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=d_{1}-\sigma\sqrt{T-t},\,\Phi(d)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d}{e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz}$이다.

참고자료:

금융수학, 이재성, 서강대학교 출판부

금융 증권을 위한 블랙 숄즈의 편미분방정식, 石村貞夫, 石村園子 저, 김완세 역, 경문사