블랙-숄즈 방정식(1: 기초 금융이론)

블랙-숄즈 방정식(1: 기초 금융이론)

1. 블랙-숄즈 방정식

1970년대 초반 피셔 블랙(Fischer Black), 마이런 숄즈(Myron Scholes), 로버트 머튼(Robert Merton)은 블랙-숄즈 모형(방정식)을 개발해 유러피언 주식옵션의 가격결정에 획기적인 발전을 가져다 줬다. 블랙-숄즈 모형은 차익거래(arbitrage trading, 위험없이 이익을 수반하는 거래)가 불가능하다는 공리 안에서 주식의 현물, 선물, 옵션, 무위험국채, LIBOR(런던은행 간 거래금리)간의 관계식을 세워 방정식을 유도해 확률미적분학을 이용하여 옵션가격을 결정하는 모형이고 여기서 열방정식의 풀이법이 이용되었다. 그 결과로 숄즈와 머튼은 1997년에 노벨경제학상을 수상했고(블랙은 1995년 사망해서 받지 못함), 이는 블랙-숄즈 방정식의 중요성을 확장시켰다. 그러나 현재는 잘 사용되지 않는다.

2008년에 발생한 키코사태때 피해를 입은 중소기업에서 내세운 노벨경제학상 수상자인 로버트 엥글 뉴욕대학교 스턴경영대학교 석좌교수는 1990년대 이후로 파생상품의 가격을 예측하는 모형으로 더 이상 블랙-숄즈가 아닌 헤스톤 모형을 사용한다고 주장했다. 그 이유는 금융시장은 변동이 심하고 상품이 정규분포를 따르지 않기 때문에 헤스톤 모형을 적용하는것이 적합하고 반면 정규분포를 따르는 상품에 대해서 블랙-숄즈 모형을 적용하는것이 적합하다고 한다.

그럼에도 블랙-숄즈 방정식은 금융공학을 공부하는데 있어서 발판의 역할을 하기 때문에 필수적이다. 

2. 옵션

옵션은 기초자산(주식, 채권, 통화 등)으로부터 발생한 파생상품(기초자산의 가격에 따라 가치가 결정되는 금융상품)으로 콜옵션(call option)과 풋옵션(put option)이 있다.

콜옵션은 소지자에게 계약에 의해 정해진 가격(행사가격)으로 특정 기초자산을 살 수 있는 권리를 말하고 풋옵션은 소지자에게 정해진 가격(행사가격)으로 팔 수 있는 권리를 말한다.

옵션은 만기 시점에서만 권리를 행사할 수 있는 유러피언 옵션(European option), 만기 이전의 원하는 시점에서도 권리를 행사할 수 있는 아메리칸 옵션(American option)으로 구분된다. 또 옵션의 가격을 고려하지 않은 상태에서의 옵션의 보유자/매입자 또는 매도자의 (만기 시점에서의) 손익을 (만기) 페이오프(payoff)라고 한다.

옵션의 만기를 \(T\), 기초자산의 만기 시점의 가격을 \(S_{T}\), 옵션의 행사가격을 \(K\)라고 할 때, 콜옵션과 풋옵션의 매입자의 만기(\(T\)시점에서의) 페이오프는 각각$$C_{T}=\max(S_{T}-K,\,0),\,P_{T}=\max(K-S_{T},\,0)$$이다. 

옵션은 의무가 아닌 권리이기 때문에 옵션을 구매하려면 판매자에게 비용을 지불해야 하는데 이 비용을 옵션 프리미엄이라고 한다.

예를 들어 어떤 기초자산의 가격이 \(100$\)이고 6개월 후에 같은 확률로 가격이 \(150$\)로 오르거나 \(90$\)로 내린다. 이 기초자산을 6개월 후에 \(120$\)에 구입할 수 있는 유러피언 콜옵션의 가격(옵션 프리미엄)이 \(C$\)라고 하자(이자는 없다고 한다).

옵션구매자의 입장:

(i) 기초자산의 가격이 \(150$\)로 오르면 옵션을 행사해 \(120$\)에 구입하고, 즉시 팔아 \(30-C$\)의 차익을 얻는다.

(ii) 기초자산의 가격이 \(90$\)로 내리면 옵션을 행사하지 않고 \(C$\)의 손해를 본다.

옵션판매자의 입장:

(i) 기초자산의 가격이 \(120$\)보다 낮으면 옵션을 행사하지 않고 \(C$\)의 이익을 얻는다.

(ii) 기초자산의 가격이 \(150$\)로 오르면 옵션을 행사하여 \(30-C$\)의 손해를 본다.

이렇게 옵션은 투자자로 하여금 위험을 헤지(Hedge, 위험자산의 가격변동을 제거)하는 목적으로 사용될 수 있는 파생상품이다.

다음은 \(C=20$\)일 때의 옵션구매자와 옵션판매자의 페이오프 그래프이다.

위의 그래프로부터 옵션구매자는 옵션의 가격이 높아질수록 많은 이익을 취하게 되고, 옵션판매자는 옵션의 가격이 낮아질수록 많은 이익을 취하게 됨을 알 수 있다.   

여기서 옵션 판매자와 구매자 모두가 동의할 수 있는 옵션에 대한 가격(공정한 가격)이 결정되어야 한다. 그렇지 않으면 한 쪽은 이득을 보고, 다른 한 쪽은 손해를 보게 되어 불공정한 가격이 된다.

이 경우 기댓값이 \(15$\)이므로 옵션가격이 \(15$\)가 되는 것이 공정하다고 할 수 있다.

3. 포트폴리오, 차익거래, 복제 포트폴리오, 델타헷징법

-포트폴리오

포트폴리오는 몇개의 주식, 채권, 통화 등의 자산 \(W_{1},\,W_{2},\,\cdots,\,W_{p}\)를 조합하는 것이다.

시점 \(t\)에서 자산의 가격, 보유하는 자산의 단위수, 자산의 수익률이 다음과 같을 때

주가	\(W_{1}(t)\)	\(W_{2}(t)\)	\(\cdots\)	\(W_{p}(t)\)
단위 수	\(n_{1}(t)\)	\(n_{2}(t)\)	\(\cdots\)	\(n_{p}(t)\)
수익률	\(R_{1}(t)\)	\(R_{2}(t)\)	\(\cdots\)	\(R_{p}(t)\)

포트폴리오의 가치는$$W(t)=W_{1}(t)n_{1}(t)+\cdots+W_{p}(t)n_{p}(t)$$이고 수익률은$$R(t)=\sum_{i=1}^{p}{\frac{W_{i}(t)n_{i}(t)}{W(t)}R_{i}(t)}=\frac{W_{1}(t)n_{1}(t)}{W(t)}R_{1}(t)+\cdots+\frac{W_{p}(t)n_{p}(t)}{W(t)}R_{p}(t)$$이다.

-차익거래

차익거래(arbitrage trading)는 위험(자산가격의 하락) 없이 이익을 수반하는 거래이다. 경제학에서의 가격이론의 기본원리에 따르면 차익거래가 가능한 가격은 적정가격이 될 수 없다.

차익거래가 존재하지 않는 상황에서 두 개의 포트폴리오 \(\Pi_{1}(t)\), \(\Pi_{2}(t)\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\frac{\Pi_{1}(0)}{\Pi_{2}(0)}=\frac{\Pi_{1}(T)}{\Pi_{2}(T)}$$위의 예에서 옵션을 보유한 사람이 이 옵션을 \(15$\)에 팔고, 별도로 \(20$\)를 은행에서 대출받아서 이들을 합친 \(35$\)로 기초자산 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)단위를 구입하는 경우, 기초자산의 가격을 \(S\), 옵션의 가치를 \(C\), 이 사람의 포트폴리오의 가치를 \(\Pi\)라 하면$$\Pi=\frac{1}{2}-C-20$$이다.

6개월 후 기초자산이 \(150$\)로 오르면, 이 사람이 가진 기초자산의 가치는 \(75$\)가 되고, 이를 팔아서 대출받은 \(20$\)를 갚으면 \(55$\)가 남게 된다. 여기서 팔린 옵션의 가치는 \(150-120=30$\)이므로 이 사람이 얻게 되는 이익은 \(55-30=25$\)이다.

반대로 기초자산이 \(90$\)로 내리면, 옵션을 팔지 않으므로 대출받은 \(20$\)만 갚으면 되는데 주식의 가격이 \(45$\)가 되므로 이 사람이 얻는 이익은 \(45-20=25$\)이다. 이를 종합하면 다음과 같다.$$\Pi=\frac{1}{2}S-C-20=\begin{cases}75-30-20=25,&\,S=150\\45-0-20=25,&\,S=90\end{cases}$$

-복제 포트폴리오

주식(기초자산)과 현금으로 구성된 포트폴리오로 옵션만으로 구성된 포트폴리오를 복제하는 방법이다.

위의 예에서 포트폴리오를 현금 \(x$\)와 기초자산 \(y\)단위로 구성하고, 이 포트폴리오의 6개월 후의 가치가 위에서의 옵션의 가치와 같게 하는 \(x\)와 \(y\)의 값을 정하자. 

기초자산의 가격을 \(S\), 옵션의 가치를 \(c\), 내 포트폴리오의 가치를 \(\Pi\)라 하면$$\Pi=x+Sy$$이고 6개월 후 기초자산의 가격이 \(150$\)(상승)인 경우는 \(x+150y\)이고 이 때의 옵션가격은 \(30$\), \(90$\)(하락)인 경우는 \(x+90y\)이고 이 때의 옵션가격은 \(0$\)(매각하지 않음)이다. 이 두 상황을 종합하면 다음의 연립방정식을 얻게 되고$$\begin{align*}x+150y&=30\\x+90y&=0\end{align*}$$이 연립방정식을 풀면 \(\displaystyle y=\frac{1}{2},\,x=-45\)를 얻는다.

이는 기초자산의 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)단위와 대출금 \(45$\)로 이루어진 포트폴리오의 6개월 후의 가치가 옵션 1단위의 가치와 동일함을 뜻한다. 따라서 차익거래를 불가능하게 하려면 이 포트폴리오의 현재 가치와 옵션의 현재가치가 같아야 한다. 그렇지 않으면 둘 중 가격이 낮은 것을 사들이고 높게 책정된 것을 공매도 하여 6개월 후에 차익거래를 실현시킬 수 있기 때문이다.

*주의사항: 개인은 공매도를 할 수 없다!

현재 기초자산의 가격이 \(100$\)이므로 기초자산 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)단위와 대출금 \(45$\)로 이루어진 포트폴리오의 가치는 \(\displaystyle\Pi=\frac{1}{2}\times100-45=50-45=5$\)이고 이는 옵션의 현재가치가 \(5$\)라는 것을 뜻한다. 

 

-델타헷징

주가를 \(S\), 옵션의 가치를 \(C\)라고 하자. 1단위의 옵션계약을 판매하고 주식을 \(\Delta\)단위만큼 매입하는 포트폴리오를 구성하면 그 포트폴리오의 가치는$$\Pi=\Delta S-C$$이다.

앞의 옵션의 예에서 옵션구매자의 입장에서 기초자산의 가격이 \(150$\)로 올랐을 때의 포트폴리오는 옵션 1단위를 구입하고 기초자산 \(\Delta\)단위를 판매하므로 \(\Pi=150\Delta-30\)이고, 기초자산의 가격이 \(90$\)로 내렸을 때의 포트폴리오는 \(\Pi=90\Delta\)이다. 이 두 경우의 \(\Pi\)의 값이 같아지게 하는 \(\Delta\)를 구하면$$150\Delta-30=90\Delta$$이므로 \(\displaystyle\Delta=\frac{1}{2}\)이고, 이때 6개월 후의 포트폴리오의 가치는 \(45$\)이다. 이자를 고려하지 않았으므로 포트폴리오의 가치는 그대로 \(45$\)이다. 그러면 \(S=100$\)이고$$\frac{1}{2}S-C=50-C=45$$이므로 \(C=5$\)를 얻고 이것은 복제 포트폴리오 방법으로 얻은 결과와 같다.

4. 풋-콜 패리티

이자가 \(r\)인 은행예금 \(S_{0}\)에 대해 일반적으로 1년에 \(n\)번 복리계산을 하면, 복리계산 기간(이자를 계산하여 원금에 재투자하는 기간)은 \(\displaystyle\frac{1}{n}\)년이 되고, 따라서 \(t\)년 후의 미래가치는$$S(t)=S_{0}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$이고 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때, 무리수 \(e\)의 정의\(\displaystyle\left(e=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\right)\)로부터$$S(t)=S_{0}e^{rt}$$가 된다. \(S(t)\)는 다음의 미분방정식을 만족한다.$$\frac{dS}{dt}=rS\,(dS=rSdt)$$

위 사실로부터 은행예금 \(S_{0}\)의 현재가치는 \(\displaystyle\frac{S(t)}{e^{rt}}=e^{-rt}S(t)\)가 됨을 알 수 있다.

어떤 무위험 금융자산의 가치 \(S_{t}\)의 무위험이자율이 \(r\)일 때, 미분방정식 \(dS_{t}=rS_{t}dt\)를 만족한다. 

\(T\)를 옵션계약의 만기, \(K\)를 옵션의 행사가격, \(S_{0}\)를 기초자산의 현재가격, \(r\)을 무위험이자율(위험없는 순수한 투자의 수익률)이라 하자.

유러피언 콜옵션 1단위를 팔고, 유러피언 풋옵션 1단위와 기초자산 1단위를 구입해서 구성한 포트폴리오의 현재가치는$$\Pi_{0}=P_{0}+S_{0}-C_{0}$$이고 만기시점에서의 풋옵션과 콜옵션의 페이오프가$$P_{T}=\max(K-S_{T},\,0),\,C_{T}=\max(S_{T}-K,\,0)$$이므로 만기시점에서의 포트폴리오의 가치는$$\begin{align*}\Pi_{T}&=P_{T}+S_{T}-C_{T}\\&=\max(K-S_{T},\,0)+S_{T}-\max(S_{T}-K,\,0)\\&=\begin{cases}(K-S_{T})+S_{T}-0=K,&\,S_{T}\geq K\\0+S_{T}-(S_{T}-K)=K,&\,(S_{T}\geq K)\end{cases}\end{align*}$$이고 항상 \(\Pi_{T}=K\)이다. 그러면 이 포트폴리오의 현재가치는 \(Ke^{-rT}\)이므로$$Ke^{rT}=P_{0}+S_{0}-C_{0}$$이고 식$$C_{0}+Ke^{-rT}=P_{0}+S_{0}$$이 성립한다. 이 식을 일반적인 \(t(>0)\)시점에 대해 표현하면$$C_{t}+Ke^{-r(T-t)}=P_{t}+S_{t}$$이고, 이 식을 풋-콜 패리티(put-call parity)라고 한다.

*아메리칸옵션의 경우 풋-콜 패리티 식을 적용할 수 없다.

 

참고자료:

금융수학의 방법론, 최건호, 경문사

금융수학, 이재성, 서강대학교 출판부

금융 증권을 위한 블랙 숄즈의 편미분방정식, 石村貞夫, 石村園子 저, 김완세 역, 경문사

금융공학, 전인태, 북스힐

금융수학, 김정훈, 교우사

https://news.naver.com/main/read.nhn?mode=LSD&mid=sec&sid1=102&oid=011&aid=0002040218

http://news.mk.co.kr/v2/economy/view.php?year=2009&no=286813

https://infonet.gist.ac.kr/wp-content/uploads/members/Derivation_of_Black_Scholes_equation.pdf 

https://slideplayer.com/slide/3961880/