복소 원시함수와 코시-구르사 정리

복소 원시함수와 코시-구르사 정리

 

 

복소함수 \(f(z)\)의 도함수는 실수함수처럼 다음과 같이 정의된다.$$f'(z)=\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}$$복소함수는 실제로 다음과 같이 실수부와 허수부에 대한 이변수함수이므로$$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y)\,(z=x+iy)$$미분가능하기 위해서는 다음의 코시-리만 방정식을 만족해야 한다.$$u_{x}=v_{y},\,u_{y}=-v_{x}$$미분가능한 두 복소함수 \(f(z),\,g(z)\)에 대하여 다음의 연쇄법칙이 성립한다.$$\frac{d}{dz}g(f(z))=g'(f(z))f'(z)$$복소함수 \(f(z)\)의 곡선 \(C:z=z(t)\,(a\leq t\leq b)\)위로의 선적분은 다음과 같이 정의되고$$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$임의의 \(z\in C\)에 대해 \(|f(z)|\leq M\), \(C\)의 길이가 \(L\)이면 다음의 부등식이 성립한다.$$\left|\int_{C}{f(z)dz}\right|\leq ML$$위의 부등식을 ML-부등식이라고 한다.

두 곡선 \(C_{1},\,C_{2}\)에 대해 \(C=C_{1}\cup C_{2}\)라 하면 다음이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{C_{1}}{f(z)dz}+\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$복소 선적분 \(\displaystyle\int_{C}{f(z)dz}\)가 경로에 독립이라는 것은 \(C\)의 양 끝점을 잇는 임의의 두 경로 \(C_{1},\,C_{2}\)에 대해 다음의 등식이 성립하는 것이다.$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$이때 두 양 끝점이 각각 \(z_{1}\), \(z_{2}\)이면, 복소 선적분을 실수함수처럼 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}$$복소함수 \(f(z),\,F(z)\)에 대하여 \(F'(z)=f(z)\)이면, \(F(z)\)를 \(f(z)\)의 원시함수(또는 역도함수, 부정적분)라고 한다. 

 

\(f(z)\)가 영역 \(D\)에서 연속이라고 하자. 다음의 명제 중 하나가 참이면 나머지 명제도 참이다. 

(i) \(D\)에서 \(f(z)\)의 원시함수 \(F(z)\)가 존재한다.

(ii) \(D\) 내부의 점 \(z_{1},\,z_{2}\)를 잇고, \(D\) 내부에 포함되는 임의의 경로에서 \(f(z)\)의 적분값은 항상 같다.

(iii) \(D\)에 완전히 포함되는 임의의 닫힌 경로에서 \(f(z)\)의 적분값은 \(0\)이다. 

증명: 

(i)\(\Rightarrow\)(ii)((i)가 참이라고 가정) 영역 \(D\)에서 \(f(z)\)의 원시함수 \(F(z)\)가 존재한다고 가정하고 곡선 \(C\)가 영역 \(D\)내부에 있다고 하고 다음과 같이 정의하자.$$C:z=z(t)\,(a\leq t\leq b),\,z(a)=z_{1},\,z(b)=z_{2}$$그러면$$\frac{d}{dt}F(z(t))=F'(z(t))z'(t)=f(z(t))z'(t)$$이고 미적분학의 기본정리에 의해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C}{f(z)dz}&=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}=\left[F(z(t))\right]_{a}^{b}=F(z(b))-F(z(a))\\&=F(z_{2})-F(z_{1})\end{align*}$$위의 적분값은 \(z_{1},\,z_{2}\)를 연결하고 \(D\)에 포함되는 경로 \(C\)와 독립적이므로$$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}$$이고 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)dz}=F(z_{2})-F(z_{1})$$\(C\)가 매끄럽지 않은 임의의 경로, 즉 \(C\)가 유한개의 매끄러운 호 \(C_{k}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)\)로 이루어지고 각 \(C_{k}\)가 점 \(z_{k}\)부터 \(z_{k+1}\)까지 연결한다고 하면$$\begin{align*}\int_{C}{f(z)dz}&=\sum_{k=1}^{n}{\int_{C_{k}}{f(z)dz}}=\sum_{k=1}^{n}{\int_{z_{k}}^{z_{k+1}}{f(z)dz}}=\sum_{k=1}^{n}{\{F(z_{k+1})-F(z_{k})\}}\\&=F(z_{n+1})-F(z_{1})\end{align*}$$이므로 다음이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=F(z_{n+1})-F(z_{1})$$이렇게 해서 (ii)가 성립함을 보였다.

 

(ii)\(\Rightarrow\)(iii)((ii)가 참이라고 가정) \(z_{1},\,z_{2}\)가 \(D\)에 포함되는 임의의 닫힌 경로 \(C\) 위의 두 점, \(C_{1},\,C_{2}\)를 시점이 \(z_{1}\), 종점이 \(z_{2}\)인 경로, \(C=C_{1}-C_{2}\)라 하자.

 적분이 \(D\)에 포함된 경로와 독립적이라고 가정하자. 그러면$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$이므로$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}+\int_{-C_{2}}{f(z)dz}=\int_{C}{f(z)dz}=0$$이고 따라서 \(C=C_{1}-C_{2}\)에서 \(f(z)\)의 적분값은 \(0\)이다. 

 

(iii)\(\Rightarrow\)(i) ((iii)가 참이라고 가정) \(C_{1},\,C_{2}\)를 다음과 같이 \(D\) 위의 점 \(z_{1},\,z_{2}\)를 잇는 임의의 두 경로라고 하자.

$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}+\int_{-C_{2}}{f(z)dz}=0$$이므로$$\int_{C_{1}}{f(z)dz}=\int_{C_{2}}{f(z)dz}$$이고 따라서 적분은 \(D\)에 포함되는 경로와 독립적이다.$$F(z)=\int_{z_{0}}^{z}{f(s)ds}\,(z_{0}\in D)$$라 하자. 그러면$$F(z+\Delta z)-F(z)=\int_{z_{0}}^{z+\Delta z}{f(s)ds}-\int_{z_{0}}^{z}{f(s)ds}=\int_{z}^{z+\Delta z}{f(s)ds}$$이고 다음과 같이 \(z\)에서 \(z+\Delta z\)까지의 적분경로를 선분으로 선택할 수 있다.

 이때$$\int_{z}^{z+\Delta z}{ds}=\Delta z$$이므로$$f(z)=\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z}{f(z)ds}$$이고 다음이 성립하는데$$\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}-f(z)=\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z}{\{f(s)-f(z)\}ds}$$\(f\)는 \(z\)에서 연속이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\delta>0\)가 존재해서 \(|s-z|<\delta\)일 때 \(|f(s)-f(z)|<\epsilon\)이다. 따라서 \(z+\Delta z\)와 \(z\)가 충분히 가까워서 \(|\Delta z|<\delta\)이면 ML-부등식에 의해$$\left|\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}\right|=\left|\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z}{\{f(s)-f(z)\}ds}\right|<\frac{1}{|\Delta z|}\epsilon|\Delta z|=\epsilon$$이므로 따라서$$\lim_{\Delta z\,\rightarrow\,0}{\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}}=f(z)$$또는 \(F'(z)=f(z)\)이다. 

 

원 \(C_{1}\)과 \(C_{2}\)가 각각 다음과 같이 반원을 나타낸다고 하자.$$C_{1}:z=2e^{i\theta}\,\left(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right),\,C_{2}:z=2e^{i\theta}\,\left(\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{3}{2}\pi\right)$$\(C_{1}\)에서 로그함수의 주 분지$$\text{Log}z=\ln r+i\Theta\,(r>0,\,-\pi<\Theta<\pi)$$에 대해$$\frac{d}{dz}\text{Log}z=\frac{1}{z}$$이므로$$\begin{align*}\int_{C_{1}}{\frac{1}{z}dz}&=\int_{-2i}^{2i}{\frac{1}{z}dz}=[\text{Log}z]_{-2i}^{2i}=\text{Log}(2i)-\text{Log}(-2i)\\&=\left(\ln2+i\frac{\pi}{2}\right)-\left(\ln2-i\frac{\pi}{2}\right)\\&=\pi i\end{align*}$$\(C_{2}\)에서 다음과 같은 로그함수의 분지$$\log z=\ln r+i\theta\,(r>0,\,0<\theta<2\pi)$$에 대해$$\frac{d}{dz}\log z=\frac{1}{z}$$이므로$$\begin{align*}\int_{C_{2}}{\frac{1}{z}dz}&=\int_{2i}^{-2i}{\frac{1}{z}dz}=[\log z]_{2i}^{-2i}=\log(-2i)-\log(2i)\\&=\left(\ln2+i\frac{3}{2}\pi\right)-\left(\ln2+i\frac{\pi}{2}\right)\\&=\pi i\end{align*}$$\(C=C_{1}+C_{2}\)는 원이고, 여기서의 적분은 다음과 같다.$$\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=\int_{C_{1}}{\frac{1}{z}dz}+\int_{C}{\frac{1}{z}dz}=\pi i+\pi i+2\pi i$$다음의 복소적분에서$$\int_{-1}^{1}{z^{i}dz}\,\left(z^{i}=e^{i\log z},\,|z|>0,\,-\frac{\pi}{2}<\text{arg}z<\frac{3}{2}\pi\right)$$다음이 성립하므로.$$\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1+i}z^{1+i}\right)=z^{i}$$적분을 다음과 같이 구할 수 있다.$$\begin{align*}\int_{-1}^{1}{z^{i}dz}&=\left[\frac{1}{1+i}z^{1+i}\right]_{-1}^{1}=\left[\frac{1}{1+i}\right]_{e}^{(1+i)\log z}\\&=\frac{e^{(1+i)\log1}-e^{(1+i)\log(-1)}}{1+i}=\frac{1-e^{\pi i-\pi}}{1+i}\\&=\frac{1+e^{-\pi}}{2}(1-i)\,(\log(-1)=\pi i)\end{align*}$$코시는 다음과 같이 복소함수가 단순닫힌경로와 그 내부에서 해석적이고 \(f'\)이 연속이면, 그 경로 위에서 선적분의 값이 0이 됨을 증명했다.

 

\(f\)가 단순닫힌경로 \(C\)와 그 내부에서 해석적이고 \(f'\)이 연속이면 다음이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$증명: \(C:z=z(t)\,(a\leq t\leq b)\)라 하고 \(f\)는 \(C\)와 그 내부에서 해석적이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=\int_{a}^{b}{f(z(t))z'(t)dt}$$\(f(z)\)와 \(z(t)\)를 다음과 같다고 하자.$$f(z)=u(x,\,y)+iv(x,\,y),\,z(t)=x(t)+iy(t)\,(a\leq t\leq b)$$그러면$$f(z)=u(x(t),\,y(t))+iv(x(t),\,y(t)),\,z'(t)=x'(t)+iy'(t)$$이므로 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C}{f(z)dz}&=\int_{a}^{b}{\{u(x(t),\,y(t))x'(t)-v(x(t),\,y(t))y'(t)\}dt}+i\int_{a}^{b}{\{v(x(t),\,y(t))x'(t)+u(x(t),\,y(t))y'(t)\}dt}\\&=\int_{C}{udx-vdy}+i\int{C}{vdx+udy}\,(dz=dx+idy)\end{align*}$$위 식은 \(C\)가 단순닫힌경로가 아닌 임의의 경로이고 \(f(z(t))\)가 그 위에서 구분적으로 연속이어도 성립한다.

\(R\)을 \(C\)의 내부라 하자. 그러면 그린정리에 의해$$\int_{C}{udx-vdy}=\iint_{R}{(-v_{x}-u_{y})dA},\,\int_{C}{vdx+udy}=\iint_{R}{(u_{x}-v_{y})dA}$$코시-리만 방정식$$u_{x}=v_{y},\,u_{y}=-v_{x}$$로부터$$\iint_{R}{(-v_{x}-u_{y})dA}=0,\,\iint_{R}{(u_{x}-v_{y})dA}=0$$이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$구르사는 코시의 정리에서 \(f'\)이 연속일 조건이 없어도 됨을 증명했고, 이것을 코시-구르사 정리라고 한다.

 

코시-구르사 정리

 

함수 \(f\)가 단순닫힌경로 \(C\)와 그 내부에서 해석적이면, 다음이 성립한다.$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$코시-구르사 정리를 증명하기에 앞서 다음의 보조정리가 필요하다. 

 

보조정리

 

함수 \(f\)가 단순닫힌경로 \(C\)와 그 내부 \(R\)에서 해석적이고, \(R\)은 닫힌집합이라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 영역 \(R\)을 유한개의 정사각형과 부분정사각형으로 덮을 수 있다. 즉, 각 정사각형 또는 부분 정사각형 \(R_{j}\,(j=1,\,2,\,...,\,n)\)에는 고정된 점 \(z_{j}\)가 존재해서 \(R_{j}\)의 다른 모든 점 \(z\)에 대하여 다음의 부등식이 성립한다.$$\left|\frac{f(z)-f(z_{j})}{z-z_{j}}-f'(z_{j})\right|<\epsilon\,(1)$$증명: \(C\) 내부의 영역 \(R\)의 부분집합을 형성하기 위해 실수축과 허수축에 평행하고 간격이 일정한 직선을 그린다.

그러면 정사각형 모양의 유한개의 닫힌 부분 영역을 형성하고, 여기서 \(R\)의 각 점은 그런 부분영역 중 적어도 하나에 속하고 각 부분영역은 \(R\)의 점들을 포함한다. 이러한 정사각형 모양의 영역을 정사각형이라고 한다. 따라서 정사각형은 경계와 그 내부의 점들(내부영역)을 합친 것이다.

\(R\)위에 있지 않은 점이 특정한 정사각형에 포함되면, 그런 점을 제거하고 나머지 부분을 부분 정사각형이라고 한다. 그러므로 영역 \(R\)을 유한개의 정사각형과 부분정사각형으로 덮을 수 있다. 

 

앞에서 구성한 덮개(정사각형)에 어떤 정사각형 또는 부분정사각형이 있어 부등식 (1)이 여기에 속하는 다른 모든 점 \(z\)에 대해 성립하게 하는 점 \(z_{j}\)가 존재하지 않을 수 있다고 하자. 이러한 부분영역이 정사각형이면, 대변의 중점끼리 연결한 선분을 그려서 네 개의 작은 정사각형을 구성하자. 그런 부분 영역이 부분 정사각형이면, 전체 정사각형을 같은 방식으로 처리하고 \(R\)의 바깥에 놓인 부분은 버린다.

이렇게 더 작은 부분구역 중에서 부등식 (1)이 성립하게 하는 여기에 속한 다른 모든 점 \(z_{j}\)가 존재하지 않는다면 그보다 더 작은 정사각형 또는 부분 정사각형을 구성하자.

이와 같은 작업을 계속한다. 이런 구성을 요구하는 원래의 부분 구역 각각에 대해 이 작업을 끝마치면, 유한번의 단계 안에 보조정리가 참이 되도록 영역 \(R\)을 유한개의 정사각형과 부분 정사각형으로 덮을 수 있다.

 

이것을 보이기 위해 원래의 부분영역 중 하나를 유한번 나누어도 원하는 점 \(z_{j}\)가 존재하지 않는다고 하자. 그것(부분영역 중 하나)이 정사각형인 부분구역이면 \(\sigma_{0}\)으로, 부분 정사각형이면 전체 정사각형을 \(\sigma_{0}\)으로 나타내자.

  \(\sigma_{0}\)를 나눈 네 개의 작은 정사각형 중 적어도 하나는 \(R\)의 점을 포함하지만 적절한 점 \(z_{j}\)를 포함하지 않는 것을 \(\sigma_{1}\)이라 하자. \(\sigma_{1}\)을 또 다시 나누고 이와 같은 방식으로 계속한다.

\(\sigma_{k-1}\,(k=1,\,2,\,...)\)이 나누어진 후, 이것들로 구성된 네 개의 작은 정사각형 중 두 개 이상을 선택할 수 있다. 

명확함을 위해 가장 아래쪽에서 가장 왼쪽에 있는 것을 \(\sigma_{k}\)라 한다.

이렇게 구성하면 다음의 축소 정사각형들의 열을 얻는다.$$\sigma_{0},\,\sigma_{1},\,\cdots,\,\sigma_{k-1},\,\sigma_{k},\,\cdots\,(\sigma_{0}\supset\sigma_{1}\supset\sigma_{2}\supset\cdots\supset\sigma_{k}\supset\cdots)$$그러면 \(\displaystyle z_{0}\in\bigcap_{k=0}^{\infty}{\sigma_{k}}\)가 존재하고, 또 각 정사각형에는 \(z_{0}\)가 아닌 \(R\)의 점이 포함된다.

이 열에서 정사각형의 크기가 작아지고 \(z_{0}\)의 임의의 근방 \(|z-z_{0}|<\delta\)는 대각선의 길이가 \(\delta\)보다 작은 정사각형들을 포함하고 따라서 각 근방 \(|z-z_{0}|<\delta\)는 \(z_{0}\)가 아닌 \(R\)의 임의의 점을 포함한다. 이것은 \(z_{0}\)가 \(R\)의 집적점임을 뜻하고 \(R\)은 닫힌집합이므로 \(z_{0}\in R\)이다.

\(f\)는 \(R\) 전체에서 해석적이고 \(z_{0}\in R\)이므로 \(f'(z_{0})\)가 존재한다. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 근방 \(|z-z_{0}|<\delta\)가 존재해서 이 근방의 모든 \(z(\neq z_{0})\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$\left|\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}-f'(z_{0})\right|<\epsilon$$그런데 근방 \(|z-z_{0}|<\delta\)는 자연수 \(K\)가 충분히 커서 대각선의 길이가 \(\delta\)보다 작은 정사각형 \(\sigma_{K}\)를 포함한다.

따라서 점 \(z_{0}\)를 정사각형 \(\sigma_{K}\) 또는 \(\sigma_{K}\)의 부분으로 이루어진 부분 구역에 대해 부등식 (1)에서 점 \(z_{j}\)로 사용할 수 있고, 정사각형들의 열 \(\{\sigma_{k}\}\)를 구성하는 방법에 어긋나게 \(\sigma_{K}\)를 부분으로 나눌 필요가 없다. 이것은 모순이고 증명을 완료했다. 

 

코시-구르사 정리의 증명

 

임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 보조정리에서의 \(R\)의 덮개를 고려하고, \(j\)번째 정사각형 또는 부분 정사각형에서 \(\delta_{j}\)를 다음과 같이 정의하자.$$\delta_{j}(z)=\begin{cases}\displaystyle\frac{f(z)-f(z_{j})}{z-z_{j}}-f'(z_{j})\,&(z\neq z_{j})\\0\,&(z=z_{j})\end{cases}$$여기서 \(z_{j}\)는 그 부분영역의 점으로 부등식 (1)이 성립하게 하는 점이다. 부등식 (1)에 의해 \(\delta_{j}(z)\)가 정의된 부분 영역에 속한 모든 \(z\)에 대해 \(|\delta_{j}(z)|<\epsilon\)이고 \(f(z)\)는 이 부분영역에서 연속이고$$\lim_{z\,\rightarrow\,z_{j}}{\delta_{j}(z)}=f'(z_{j})-f'(z_{j})=0$$이므로 \(\delta_{j}(z)\)는 이 부분영역에서 연속이다. 

\(C_{j}(j=1,\,2,\,...,\,n)\)를 \(R\)을 덮는 정사각형 또는 부분 정사각형의 양의 방향의 경계를 나타낸다고 하자. \(\delta_{j}(z)\)의 정의에 의해 특정한 \(C_{j}\)상의 점 \(z\)에서 \(f\)의 값을$$f(z)=f(z_{j})-z_{j}f'(z_{j})+f'(z_{j})z+(z-z_{j})\delta_{j}(z)$$로 나타낼 수 있고$$\int_{C_{j}}{f(z)dz}=\{f(z_{j})-z_{j}f'(z_{j})\}\int_{C_{j}}{dz}+f'(z_{j})\int_{C_{j}}{zdz}+\int_{C_{j}}{(z-z_{j})\delta_{j}(z)dz}$$이다. 이때$$\int_{C_{j}}{dz}=0,\,\int_{C_{j}}{zdz}=0$$이므로$$\int_{C_{j}}{f(z)dz}=\int_{C_{j}}{(z-z_{j})\delta_{j}(z)dz}\,(j=1,\,2,\,...,\,n)\,(2)$$이고 다음이 성립한다$$\sum_{j=1}^{n}{\int_{C_{j}}{f(z)dz}}=\int_{C}{f(z)dz}$$이 식이 성립하는 이유는 이웃한 부분 영역의 겹치는 경계에서 두 적분값이 서로 상쇄되기 때문이다. 여기서 적분은 한 부분영역의 선분에서 한 방향을 따르고 다른 부분 영역의 선분에서는 반대방향으로 따른다.

\(C\)의 부분인 호 위에서의 적분만이 남고 식 (2)에 의해$$\int_{C}{f(z)dz}=\sum_{j=1}^{n}{\int_{C_{j}}{(z-z_{j})\delta_{j}(z)dz}}$$이고 다음이 성립한다.$$\left|\int_{C}{f(z)dz}\right|\leq\sum_{j=1}^{n}{\left|\int_{C_{j}}{(z-z_{j})\delta_{j}(z)dz}\right|}$$각 \(C_{j}\)는 한 정사각형의 경계와 완전히 또는 부분적으로 일치하고, 어느 경우든지 그 정사각형의 한 변의 길이를 \(s_{j}\)로 나타내자. \(j\)번째 적분에서 변수 \(z\)와 점 \(z_{j}\)는 그 정사각형에 포함되므로$$|z-z_{j}|\leq\sqrt{2}s_{j}$$그러면 \(|\delta_{j}(z)|<\epsilon\)이므로$$|(z-z_{j})\delta_{j}(z)|=|z-z_{j}||\delta_{j}(z)|<\sqrt{2}s_{j}\epsilon$$이고, \(C_{j}\)가 정사각형의 경계이면 \(C_{j}\)의 길이는 \(4s_{j}\)이다. 이때 이 정사각형의 넓이를 \(A_{j}\)로 나타내면 다음의 부등식이 성립한다.$$\left|\int_{C_{j}}{(z-z_{j})\delta_{j}(z)dz}\right|<\sqrt{2}s_{j}\epsilon4s_{j}=4\sqrt{2}A_{j}\epsilon$$\(C\)가 부분 정사각형의 경계이면, \(C\)의 일부인 \(C_{j}\)의 길이를 \(L_{j}\)라 할 때 \(C_{j}\)의 길이는 \(4s_{j}+L_{j}\)보다 작다. 

\(A_{j}\)가 완전한 정사각형의 넓이를 나타낸다고 하면 다음의 부등식을 얻는다.$$\left|\int_{C_{j}}{(z-z_{j})\delta_{j}(z)dz}\right|<\sqrt{2}s_{j}\epsilon(4s_{j}+L_{j})<4\sqrt{2}A_{j}\epsilon+\sqrt{2}SL_{j}\epsilon$$여기서 \(S\)는 전체경로 \(C\)를 둘러싸는 정사각형의 한 변의 길이이다.

모든 \(A_{j}\)의 합은 \(S^{2}\)보다 작고 \(L\)이 \(C\)의 길이이면 다음의 부등식이 성립한다.$$\left|\int_{C}{f(z)dz}\right|<(4\sqrt{2}S^{2}+\sqrt{2}SL)\epsilon$$\(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\int_{C}{f(z)dz}=0$$