블랙-숄즈 방정식(2: 필요한 수학 정리들)

블랙-숄즈 방정식(2: 필요한 수학 정리들)

델타헷징법과 이토의 보조정리로부터 블랙-숄즈 방정식을 유도하고, 연쇄법칙과 열방정식의 해를 이용하여 블랙-숄즈 방정식의 해를 구한다. 여기서는 블랙-숄즈 방정식을 유도하고 해를 구하는데 필요한 수학 이론들을 정리했다.

1. 2변수 함수의 전미분과 연쇄법칙

-전미분

미분가능한 일변수 함수 \(y=f(x)\)의 미분은 \(dy=f'(x)dx\)로 정의된다.(아래그림 참고)

이변수함수 \(z=f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 미분가능하다는 것은 \(\Delta z=f(a+\Delta x,\,y+\Delta y)-f(a,\,b)\)일 때$$\Delta z=\frac{\partial f}{\partial x}(a,\,b)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(a,\,b)\Delta y+\epsilon_{1}\Delta x+\epsilon_{2}\Delta y$$이고 \((\Delta x,\,\Delta y)\,\rightarrow\,0\)일 때 \(\epsilon_{1},\,\epsilon_{2}\,\rightarrow\,0\)이 성립하는 것이다.

미분가능한 이변수함수 \(z=f(x,\,y)\)의 전미분은 \(\displaystyle dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\)로 정의된다.(아래그림 참고)

-이변수 함수의 연쇄법칙

이변수함수 \(z=f(x,\,y)\)가 \(x,\,y\)에 대한 미분가능한 함수이고, \(x=f(t)\), \(y=g(t)\)가 모두 \(t\)에 대한 미분가능한 함수이면, \(z\)는 \(t\)에 대한 미분가능한 함수이고$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$이다.

이변수함수 \(z=f(x,\,y)\)가 \(x,\,y\)에 대한 미분가능한 함수이고, \(x=g(s,\,t)\), \(y=h(x,\,y)\)가 모두 \(s,\,t\)에 대한 미분가능한 함수이면$$\frac{\partial f}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},\,\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$이다.  

 

2. 테일러급수

점 \((a,\,f(a))\)에서 무한번 미분가능한 일변수함수 \(y=f(x)\)의 \((a,\,f(a))\)에서의 테일러 급수는$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f'(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots$$이고 점 \((a,\,b)\)에서 무한번 미분가능하고 연속인 편도함수를 갖는 이변수함수 \(z=f(x,\,y)\)의 테일러 급수는$$f(x,\,y)=f(a,\,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-b)+\frac{1}{2!}\left\{\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x-a)^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x-a)(y-b)+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(y-b)^{2}\right\}+\cdots$$이다.

3. 열방정식

무한 막대에서의 열방정식은 다음과 같은 편미분방정식이고$$\begin{cases}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}=c\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}&\\u(x,\,0)=f(x)\end{cases}$$여기서 \(c\)는 열전도계수이고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\pm\infty}{u(x,\,t)}=0,\,\lim_{x\,\rightarrow\,\pm\infty}{\frac{\partial u}{\partial x}(x,\,t)}=0\)이다.

이 열방정식의 해는 \(\displaystyle u(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi ct}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4ct}}f(\xi)d\xi}\)이고 다음은 열방정식(편미분방정식)의 풀이과정이다. 

 

이 열방정식을 푸리에 변환으로 풀자. 적분가능한(\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{|f(t)|dx}<\infty\)) 함수 \(f(t)\)의 푸리에 변환은$$\hat{f}(\omega)=\mathcal{F}(f(t))(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i\omega t}dt}\,(i=\sqrt{-1})$$이고, 역변환은$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega}$$이다.

\(u(x,\,t)\)의 푸리에 변환을 \(\displaystyle\hat{u}(\omega,\,t)\,\left(\hat{u}(\omega,\,t)=\int_{-\infty}^{\infty}{u(x,\,t)e^{-i\omega x}dx}\right)\)라 하고, 열방정식의 양변을 각각 \(x\)에 대해 푸리에 변환을 하면$$\begin{align*}\mathcal{F}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)(\omega,\,t)&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\partial u}{\partial t}(\xi,\,t)e^{-i\omega\xi}d\xi}=\frac{\partial u}{\partial t}\int_{-\infty}^{\infty}{u(\xi,\,t)e^{-i\omega\xi}d\xi}=\frac{\partial\hat{u}}{\partial t}(\omega,\,t)\\ \mathcal{F}\left(c\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right)(\omega,\,t)&=-c\omega^{2}\hat{u}(\omega,\,t)\end{align*}$$이므로$$\frac{\partial\hat{u}}{\partial t}=-c\omega^{2}\hat{u}$$이고 \(t\)에 대한 상미분방정식이므로, 초기조건 \(u(x,\,0)=f(x)\)의 푸리에변환을 \(\hat{f}(\omega)\)라 하면, 일반해는 \(\hat{u}(\omega,\,t)=\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}ct}\)이다. 이 식을 푸리에 역변환 하면$$u(x,\,t)=\mathcal{F}^{-1}\left(\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}ct}\right)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}ct}e^{i\omega x}dx}$$이고 \(\displaystyle\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega\xi}d\xi}\)이므로$$\begin{align*}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(\omega)e^{-\omega^{2}ct}e^{i\omega x}d\omega}&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega\xi}d\xi}\right)e^{i\omega x}e^{-\omega^{2}ct}d\omega}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)e^{-i\omega(\xi-x)}e^{-\omega^{2}ct}d\xi}d\omega}\end{align*}$$  

이고 위 식의 실수부가 \(u(x,\,t)\)이다. 즉$$u(x,\,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(\xi)\cos(\omega(\xi-x))e^{-\omega^{2}ct}d\xi}d\omega}$$이고 아래의 적분공식을 이용하여 단일적분으로 나타낼 수 있다.$$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-s^{2}}\cos bsds}=\sqrt{\pi}e^{-\frac{b^{2}}{4}}$$\(\displaystyle\xi=\omega\sqrt{ct},\,b=\frac{x-\xi}{\sqrt{ct}}\)라 하면 \(\displaystyle b\xi=\omega(x-\xi)\)이므로$$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\xi^{2}}\cos b\xi d\xi}=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\omega^{2}ct}\cos(\omega(x-\xi))\sqrt{ct}d\omega}=\sqrt{\pi}e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4ct}}$$이고 따라서$$\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\omega^{2}ct}\cos(\omega(x-\xi))d\omega}=\sqrt{\frac{\pi}{ct}}e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4ct}}$$이고 이 결과를 열방정식의 해에 대입하면$$u(x,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi ct}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4ct}}f(\xi)d\xi}$$이다.

열방정식은 블랙-숄즈 방정식을 풀기 위한 열쇠이다. 

4. 확률과정, 브라운운동과 기하 브라운운동

1827년에 식물학자 로버트 브라운은 물 위의 꽃가루 입자들이 불규칙한(지그재그 형태) 운동을 하는 것을 관찰했다. 이러한 입자의 운동은 이를 발견한 식물학자 브라운의 이름을 따서 '브라운 운동'이라고 불리게 되었고, 1905년에 아인슈타인은 브라운 운동이 꽃가루 입자와 물 분자의 충돌이며, 이 꽃가루 입자들이 움직이는 평균거리는 시간의 제곱근에 정비례한다는 공식을 만들었다. 1930년에 노버트 위너(Nobert Wiener)는 브라운 운동을 완전한 수학적인 확률과정으로 만들었고, 브라운 운동이 정규분포를 따르고, 연속이지만 모든 점에서 미분불가능하다는 것을 발견했다.

-확률과정

확률변수들의 집합 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\)을 확률과정(stochastic process)이라고 한다. 확률변수 \(X=X(\omega)\)는 표본 \(\omega\)를 실수로 대응시킨 함수이고, 확률과정 \(X_{t}(\omega)\)는 표본 \(\omega\)와 시간 \(t\)를 실수로 대응시킨 함수이다.

-브라운 운동과 기하 브라운운동

다음 조건을 만족하는 확률과정 \(B_{t}\,(t\geq0)\)를 브라운운동(Brownian motion) 또는 위너과정(Wiener process)이라고 한다.

(1) \(B_{0}\)은 상수(일반적으로 \(0\)으로 정의됨)이고, 각 표본경로 \(B_{t}(\omega)\)는 \(t\)에 대한 연속함수이나 미분가능하지 않다.

(2) 임의의 \(s,\,t\geq0\)에 대하여 \(B_{s+t}-B_{s}\)는 평균이 \(0\)이고, 분산이 \(t\)인 정규분포를 따른다. 즉,$$B_{s+t}-B_{s}\,\sim\,N(0,\,t)$$이고 특히$$B_{t}\,\sim\,N(0,\,t)$$이다. 이것은 \(B_{s+t}-B_{s}\)와 \(B_{t}\)가 동일한 확률분포를 따름을 뜻한다.

(3) 임의의 \(t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)에 대하여$$B_{t_{1}},\,B_{t_{2}}-B_{t_{1}},\,\cdots,\,B_{t_{n}}-B_{t_{n-1}}$$은 서로 독립이다.

(4) \((dB_{t})^{2}=dt\)이고, \(s>2\)일 때 \((dB_{t})^{s}=0\)이다.

실수 \(\mu\), \(\sigma>0\)(\(\mu\)는 기댓값, \(\sigma\)는 변동성을 의미한다)에 대하여 확률과정 \(X_{t}=\mu t+\sigma B_{t}\)는 평균이 \(\mu t\), 분산이 \(\sigma^{2}t\)인 정규분포를 따른다. 즉 \(X_{t}\,\sim\,N(\mu t,\,\sigma^{2}t)\)이다. 또한 \(\text{Cov}(X_{s},\,X_{t})=\sigma^{2}\min(s,\,t)\)이다.

이 확률과정에 대하여 \(X_{t}=\log S_{t}\,(S_{t}=e^{X_{t}})\)로 정의되는 확률과정 \(S_{t}\)를 기하 브라운운동(geometric Brownian motion)이라고 한다. 이때 \(\log S_{t}\,\sim\,N(\mu t,\,\sigma^{2}t)\)이다.

5. 이토의 보조정리

확률미분방정식 \(dX_{t}=a(X_{t},\,t)dt+b(X_{t},\,t)dB_{t}\)형태로 나타낼 수 있는 확률과정 \(X_{t}=a(X_{t},\,t)t+b(X_{t},\,t)B_{t}\)를 이토과정(Ito process)이라고 한다. 예를들어 주식의 주가를 \(S_{t}\), 기댓값을 \(\mu\), 변동성을 \(\sigma(>0)\)이라고 하면 주가 \(S_{t}\)는 \(dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dB_{t}\)로 나타낼 수 있고 따라서 이토과정이다.

확률미분방정식 \(dX_{t}=a(X_{t},\,t)dt+b(X_{t},\,t)dB_{t}\)를 만족하는 이토과정 \(X=X_{t}\)에 대하여 \(f(X,\,t)\)는 다음 식을 만족한다.$$df=\left(\frac{\partial f}{\partial X}a(X,\,t)+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial X^{2}}\{b(X,\,t)\}^{2}\right)dt+\frac{\partial f}{\partial X}b(X,\,t)dB_{t}$$이 공식을 이토의 보조정리(Ito's lemma)라고 한다.

\(df\)를 이변수 테일러 전개하면$$df=\frac{\partial f}{\partial X}dX+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial X^{2}}(dX)^{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial X\partial t}dXdt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}(dt)^{2}+\cdots$$이고$$\begin{align*}(dB_{t})^{2}=dt,\,dB_{t}dt=dtdB_{t}=0,\,(dt)^{2}=0\\dX=a(X,\,t)dt+b(X,\,t)dB_{t},\,(dX)^{2}=\{b(X,\,t)\}^{2}dt,\,dXdt=0\end{align*}$$이므로$$df=\frac{\partial f}{\partial X}a(X,\,t)dt+\frac{\partial f}{\partial X}b(X,\,t)dB_{t}+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial X^{2}}\{b(X,\,t)\}^{2}dt$$이고 따라서 이토 보조정리의 증명을 마쳤다.

앞에서도 언급했지만 델타헷징법과 이토의 보조정리를 이용하여 블랙-숄즈 방정식을 유도한다.

 

참고자료:

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

BOAS 수리물리학, Boas저, 최준곤 옮김, 범한서적

금융 증권을 위한 블랙 숄즈의 편미분방정식, 石村貞夫, 石村園子 저, 김완세 역, 경문사

Advanced Engineering Mathematics 10th edition, Kreyszig, Wiley

Advanced Engineering Mathematics 5th edition, Peter V O'neil, Thomson 

금융수학, 이재성, 서강대학교 출판부

금융공학, 전인태, 북스힐