곡선의 길이

곡선의 길이

점 \((a,\,f(a))\)에서 점 \((b,\,f(b))\)까지 미분가능한 함수 \(y=f(x)\)의 곡선의 길이를 구하기 위해 우선 구간 \([a,\,b]\)를 다음과 같이 \(n\)등분 하고$$a=x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{n-1},\,x_{n}=b$$등분점을 \(x\)좌표로 갖는 점을 \(P_{n}\)이라 하자. 그러면 곡선의 길이는 대략$$\sum_{k=1}^{n}{\overline{P_{k-1}P_{k}}}$$로 나타낼 수 있다. 이때 \(P_{k-1}(x_{k-1},\,f(x_{k-1})),\,P_{k}(x_{k},\,f(x_{k}))\)이므로$$\overline{P_{k-1}P_{k}}=\sqrt{(x_{k}-x_{k-1})^{2}+\{f(x_{k})-f(x_{k-1})\}^{2}}$$이고 이때 미분의 평균값 정리에 의해 \(c_{k}\)가 \(x_{k-1}\)과 \(x_{k}\)사이에 존재하여$$f'(c_{k})=\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}$$이다. 이를 이용하면$$\sum_{k=1}^{n}{\overline{P_{k-1}P_{k}}}=\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{1+\left\lbrace\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}\right\rbrace^{2}}(x_{k}-x_{k-1})}=\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{1+\{f'(c_{k})\}^{2}}(x_{k}-x_{k-1})}$$로 나타낼 수 있다.

\(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때, 앞에서 구한 대략적인 곡선의 길이는 실제 곡선의 길이가 된다. 정적분의 정의로부터$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{1+\left\lbrace f'(c_{k})\right\rbrace^{2}}(x_{k}-x_{k-1})}}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$이다.

매개변수함수 \(x=x(t),\,y=y(t),\,\alpha\leq t\leq\beta,\,x(\alpha)=a,\,x(\beta)=b\)로 표현되는 함수의 \(t=\alpha\)에서 \(t=\beta\)까지의 길이를 구하려면 어떻게 해야 할까? \(x\)에 대한 함수 \(y=f(x)\)의 도함수는$$y'=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$로 나타내어진다. 매개변수함수에 대해서도 비슷하게 적용할 수 있다. 즉,$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$$로 나타낼 수 있다. 또한 \(dx=x'(t)dt\)이므로$$\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{1+\left\lbrace\frac{y'(t)}{x'(t)}\right\rbrace^{2}}x'(t)dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}dt}\\=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}$$이다.

위의 과정은 \(x\)에 대한 함수 \(y=f(x)\)의 곡선의 길이에서 매개변수함수 \(x=x(t),\,y=y(t)\)의 곡선의 길이 공식을 유도한 것이다.

반대로 평면 위의 어떤 점 \(P\)에 대한 위치벡터가 \(\vec{p}=(x(t),\,y(t)),\,x(\alpha)=a,\,x(\beta)=b\)일 때, 이 점의 속도는 \(\vec{v}=\frac{d\vec{p}}{dt}=(x'(t),\,y'(t))\)이므로 속력은$$|\vec{v}|=\sqrt{\{x(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}$$이고 따라서 \(t=\alpha\)에서 \(t=\beta\)까지 이동한 거리는$$\int_{\alpha}^{\beta}{|\vec{v}|dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}$$이다. \(x=x(t)=t\)이면 \(x=t\)이므로 \(y(t)=y(x)\)가 되고 \(y=f(x)\)의 형태가 된다. \(y(x)=f(x)\)라 하면$$\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)}dx}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$이다.

참고자료: Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning