곡선의 길이

곡선의 길이

점 $(a,\,f(a))$에서 점 $(b,\,f(b))$까지 미분가능한 함수 $y=f(x)$의 곡선의 길이를 구하기 위해 우선 구간 $[a,\,b]$를 다음과 같이 $n$등분 하고 $$a=x_{0},\,x_{1},\,...,\,x_{n-1},\,x_{n}=b$$ 등분점을 $x$좌표로 갖는 점을 $P_{n}$이라 하자. 그러면 곡선의 길이는 대략 $$\sum_{k=1}^{n}{\overline{P_{k-1}P_{k}}}$$ 로 나타낼 수 있다. 이때 $P_{k-1}(x_{k-1},\,f(x_{k-1})),\,P_{k}(x_{k},\,f(x_{k}))$이므로 $$\overline{P_{k-1}P_{k}}=\sqrt{(x_{k}-x_{k-1})^{2}+\{f(x_{k})-f(x_{k-1})\}^{2}}$$ 이고 이때 미분의 평균값 정리에 의해 $c_{k}$가 $x_{k-1}$과 $x_{k}$사이에 존재하여 $$f'(c_{k})=\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}$$ 이다. 이를 이용하면 $$\sum_{k=1}^{n}{\overline{P_{k-1}P_{k}}}=\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{1+\left\lbrace\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}\right\rbrace^{2}}(x_{k}-x_{k-1})}=\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{1+\{f'(c_{k})\}^{2}}(x_{k}-x_{k-1})}$$ 로 나타낼 수 있다.

$n\,\rightarrow\,\infty$일 때, 앞에서 구한 대략적인 곡선의 길이는 실제 곡선의 길이가 된다. 정적분의 정의로부터 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{1+\left\lbrace f'(c_{k})\right\rbrace^{2}}(x_{k}-x_{k-1})}}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$ 이다.

매개변수함수 $x=x(t),\,y=y(t),\,\alpha\leq t\leq\beta,\,x(\alpha)=a,\,x(\beta)=b$로 표현되는 함수의 $t=\alpha$에서 $t=\beta$까지의 길이를 구하려면 어떻게 해야 할까? $x$에 대한 함수 $y=f(x)$의 도함수는 $$y'=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$ 로 나타내어진다. 매개변수함수에 대해서도 비슷하게 적용할 수 있다. 즉, $$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$$ 로 나타낼 수 있다. 또한 $dx=x'(t)dt$이므로 $$\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{1+\left\lbrace\frac{y'(t)}{x'(t)}\right\rbrace^{2}}x'(t)dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}dt}\\=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}$$ 이다.

위의 과정은 $x$에 대한 함수 $y=f(x)$의 곡선의 길이에서 매개변수함수 $x=x(t),\,y=y(t)$의 곡선의 길이 공식을 유도한 것이다.

반대로 평면 위의 어떤 점 $P$에 대한 위치벡터가 $\vec{p}=(x(t),\,y(t)),\,x(\alpha)=a,\,x(\beta)=b$일 때, 이 점의 속도는 $\vec{v}=\frac{d\vec{p}}{dt}=(x'(t),\,y'(t))$이므로 속력은 $$|\vec{v}|=\sqrt{\{x(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}$$ 이고 따라서 $t=\alpha$에서 $t=\beta$까지 이동한 거리는 $$\int_{\alpha}^{\beta}{|\vec{v}|dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}}dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}$$ 이다. $x=x(t)=t$이면 $x=t$이므로 $y(t)=y(x)$가 되고 $y=f(x)$의 형태가 된다. $y(x)=f(x)$라 하면 $$\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)}dx}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$ 이다.

참고자료: Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning