[다변수 미적분학] 12. 발산정리와 스토크스 정리

[다변수 미적분학] 12. 발산정리와 스토크스 정리

미분가능한 벡터장 \(\mathbf{F}=(P,\,Q,\,R)\)에 대하여 다음과 같이 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 발산(divergence)을 정의한다.$$\text{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$벡터 미분연산자 \(\nabla\)는 다음과 같이 정의된다.$$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}$$예를들어 \(\nabla f\)는 다음과 같다.$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$이것을 이용하여 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 발산이 다음과 같이 \(\nabla\)와 \(\mathbf{F}\)의 내적 형태가 됨을 알 수 있다.$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\text{div}\mathbf{F}$$발산정리는 3차원 공간에서 입체에 대한 3중적분을 입체의 겉면에 대한 면적분으로 나타내는 정리이다. 부피가 유한인 3차원 공간의 입체 \(B\subset\mathbb{R}^{3}\)의 겉면 \(\partial B\)가 구면 등과 같이 단순연결된(simply connected) 닫힌(closed)곡면일 때, \(B\)를 단순 연결 유계입체라고 한다. 이때 겉면 \(\partial B\)에서 \(B\)의 바깥쪽 방향을 양의 방향으로 한다. 

발산정리(Divergence Theorem) 

\(B\subset\mathbb{R}^{3}\)가 3차원 공간의 단순연결유계입체이고, 구분적으로 매끄러운 겉면 \(\partial B\)를 가진다고 하자. 벡터장 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)가 \(B\)를 포함하는 열린영역에서 미분가능하면 다음의 등식이 성립한다.$$\iint_{\partial B}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}=\iint_{\partial B}{\mathbf{F}\cdot\vec{n}dS}=\iiint_{B}{\text{div}\mathbf{F}dxdydz}=\iiint_{B}{\nabla\cdot\mathbf{F}dV}$$\(\mathbf{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}\)라고 하면$$\text{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$이고 따라서 다음이 성립한다.$$\iiint_{B}{\text{div}\mathbf{F}dV}=\iiint_{B}{\frac{\partial P}{\partial x}dV}+\iiint_{B}{\frac{\partial Q}{\partial y}dV}+\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}$$\(\vec{n}\)이 \(B\)의 바깥방향 단위법선벡터이면, 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\iint_{\partial B}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}&=\iint_{\partial B}{\mathbf{F}\cdot\vec{n}dS}\\&=\iint_{\partial B}{(P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k})\cdot\vec{n}dS}\\&=\iint_{\partial B}{P\vec{i}\cdot\vec{n}dS}+\iint_{\partial B}{Q\vec{j}\cdot\vec{n}dS}+\iint_{\partial B}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}\end{align*}$$그러므로 발산정리를 증명하기 위해서는 다음의 등식들이 성립함을 보이면 된다.$$\begin{align*}\iint_{\partial B}{P\vec{i}\cdot\vec{n}dS}&=\iiint_{B}{\frac{\partial P}{\partial x}dV}\\ \iint_{\partial B}{Q\vec{j}\cdot\vec{n}dS}&=\iiint_{B}{\frac{\partial Q}{\partial y}dV}\\ \iint_{\partial B}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}&=\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}\end{align*}$$이 중에서 맨 아래의 식이 성립함을 보이겠다. 이때 \(B\)는 다음과 같다.$$B=\{(x,\,y,\,z)\,|\,(x,\,y)\in D,\,u_{1}(x,\,y)\leq z\leq u_{2}(x,\,y)\}$$여기서 \(D\)는 \(B\)의 \(xy\)평면으로의 정사영이다.$$\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}=\iint_{D}{\left\{\int_{u_{1}(x,\,y)}^{u_{2}(x,\,y)}{\frac{\partial R}{\partial z}(x,\,y,\,z)dz}\right\}dA}$$이고 미적분학의 기본정리에 의해  다음이 성립한다.$$\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}=\iint_{D}{\{R(x,\,y,\,u_{2}(x,\,y))-R(x,\,y,\,u_{1}(x,\,y))\}dA}$$경계면 \(\partial B\)는 밑면 \(\partial B_{1}: z=u_{1}(x,\,y)\), 윗면 \(\partial B_{2}: z=u_{2}(x,\,y)\), 옆면(구면의 경우에는 없을 수 있음)으로 구성되는데 옆면의 경우 \(\vec{k}\)와 \(\vec{n}\)이 서로 수직이므로 \(\vec{k}\cdot\vec{n}=0\)이다. 따라서 다음과 같이 윗면과 아랫면만을 고려하면 된다.$$\iint_{\partial B}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}=\iint_{\partial B_{1}}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}+\iint_{\partial B_{2}}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}$$윗면의 경우, \(\vec{k}\)와 \(\vec{n}\)은 같은 방향이므로$$\iint_{\partial B_{2}}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}=\iint_{D}{R(x,\,y,\,u_{2}(x,\,y))dA}$$이고 아랫면의 경우, \(\vec{k}\)와 \(\vec{n}\)은 서로 반대방향이므로$$\iint_{\partial B_{1}}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}=-\iint_{D}{R(x,\,y,\,u_{1}(x,\,y))dA}$$이다. 그러므로$$\begin{align*}\iint_{\partial B}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}&=\iint_{D}{\{R(x,\,y,\,u_{2}(x,\,y))-R(x,\,y,\,u_{1}(x,\,y))\}dA}\\&=\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}\end{align*}$$이다.(나머지는 독자들의 몫)

미분가능한 벡터장 \(\mathbf{F}=(P,\,Q,\,R)\)에 대하여 다음과 같이 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 회전(curl)을 정의한다.$$\text{curl}\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}$$벡터장 \(\mathbf{F}\)의 회전은 \(\nabla\)와 \(\mathbf{F}\)의 외적형태이다. 즉 다음이 성립한다.$$\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R\end{matrix}\right|=\text{curl}\mathbf{F}$$곡면 \(S\)를 넓이가 유한인 매끄러운 유향곡면이라 하고 경계선 \(\partial S\)가 존재한다고 하자. 곡면 \(S\)의 양의 방향에 있는 사람이 경계선 \(\partial S\)를 따라서 걸어갈 때, 곡면 \(S\)가 왼쪽에 있도록 걸어가는 방향을 양의 방향으로 정한다(반시계방향이 양의 방향)(아래 그림 참고)

다음의 스토크스 정리는 유향곡면에서의 면적분을 곡면의 경계선을 따라가는 선적분으로 나타내는 정리이다. 

스토크스 정리(Stokes Theorem)

\(S\)가 단위법선벡터 \(\vec{n}\)을 갖는 매끄러운 유향곡면이고, 구분적으로 매끄러운 단순폐곡선인 경계선 \(\partial S\)를 가진다고 하자. 벡터장 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)가 \(S\)를 포함하는 열린영역에서 미분가능하면 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{\partial S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\iint_{S}{(\text{curl}\mathbf{F})\cdot\vec{n}dS}=\iint_{S}{(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\vec{n}dS}$$

스토크스 정리의 증명은 미적분학 수준으로 어렵기 때문에 생략하겠다. 

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning