[다변수 미적분학] 12. 발산정리와 스토크스 정리

[다변수 미적분학] 12. 발산정리와 스토크스 정리

미분가능한 벡터장 $\mathbf{F}=(P,\,Q,\,R)$에 대하여 다음과 같이 벡터장 $\mathbf{F}$의 발산(divergence)을 정의한다. $$\text{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$ 벡터 미분연산자 $\nabla$는 다음과 같이 정의된다. $$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}$$ 예를들어 $\nabla f$는 다음과 같다. $$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$ 이것을 이용하여 벡터장 $\mathbf{F}$의 발산이 다음과 같이 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 내적 형태가 됨을 알 수 있다. $$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\text{div}\mathbf{F}$$ 발산정리는 3차원 공간에서 입체에 대한 3중적분을 입체의 겉면에 대한 면적분으로 나타내는 정리이다. 부피가 유한인 3차원 공간의 입체 $B\subset\mathbb{R}^{3}$의 겉면 $\partial B$가 구면 등과 같이 단순연결된(simply connected) 닫힌(closed)곡면일 때, $B$를 단순 연결 유계입체라고 한다. 이때 겉면 $\partial B$에서 $B$의 바깥쪽 방향을 양의 방향으로 한다. 

발산정리(Divergence Theorem) 

$B\subset\mathbb{R}^{3}$가 3차원 공간의 단순연결유계입체이고, 구분적으로 매끄러운 겉면 $\partial B$를 가진다고 하자. 벡터장 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$가 $B$를 포함하는 열린영역에서 미분가능하면 다음의 등식이 성립한다. $$\iint_{\partial B}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}=\iint_{\partial B}{\mathbf{F}\cdot\vec{n}dS}=\iiint_{B}{\text{div}\mathbf{F}dxdydz}=\iiint_{B}{\nabla\cdot\mathbf{F}dV}$$ $\mathbf{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$라고 하면 $$\text{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$ 이고 따라서 다음이 성립한다. $$\iiint_{B}{\text{div}\mathbf{F}dV}=\iiint_{B}{\frac{\partial P}{\partial x}dV}+\iiint_{B}{\frac{\partial Q}{\partial y}dV}+\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}$$ $\vec{n}$이 $B$의 바깥방향 단위법선벡터이면, 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\iint_{\partial B}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}&=\iint_{\partial B}{\mathbf{F}\cdot\vec{n}dS}\\&=\iint_{\partial B}{(P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k})\cdot\vec{n}dS}\\&=\iint_{\partial B}{P\vec{i}\cdot\vec{n}dS}+\iint_{\partial B}{Q\vec{j}\cdot\vec{n}dS}+\iint_{\partial B}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}\end{align*}$$ 그러므로 발산정리를 증명하기 위해서는 다음의 등식들이 성립함을 보이면 된다. $$\begin{align*}\iint_{\partial B}{P\vec{i}\cdot\vec{n}dS}&=\iiint_{B}{\frac{\partial P}{\partial x}dV}\\ \iint_{\partial B}{Q\vec{j}\cdot\vec{n}dS}&=\iiint_{B}{\frac{\partial Q}{\partial y}dV}\\ \iint_{\partial B}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}&=\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}\end{align*}$$ 이 중에서 맨 아래의 식이 성립함을 보이겠다. 이때 $B$는 다음과 같다. $$B=\{(x,\,y,\,z)\,|\,(x,\,y)\in D,\,u_{1}(x,\,y)\leq z\leq u_{2}(x,\,y)\}$$ 여기서 $D$는 $B$의 $xy$평면으로의 정사영이다. $$\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}=\iint_{D}{\left\{\int_{u_{1}(x,\,y)}^{u_{2}(x,\,y)}{\frac{\partial R}{\partial z}(x,\,y,\,z)dz}\right\}dA}$$ 이고 미적분학의 기본정리에 의해  다음이 성립한다. $$\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}=\iint_{D}{\{R(x,\,y,\,u_{2}(x,\,y))-R(x,\,y,\,u_{1}(x,\,y))\}dA}$$ 경계면 $\partial B$는 밑면 $\partial B_{1}: z=u_{1}(x,\,y)$, 윗면 $\partial B_{2}: z=u_{2}(x,\,y)$, 옆면(구면의 경우에는 없을 수 있음)으로 구성되는데 옆면의 경우 $\vec{k}$와 $\vec{n}$이 서로 수직이므로 $\vec{k}\cdot\vec{n}=0$이다. 따라서 다음과 같이 윗면과 아랫면만을 고려하면 된다. $$\iint_{\partial B}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}=\iint_{\partial B_{1}}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}+\iint_{\partial B_{2}}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}$$ 윗면의 경우, $\vec{k}$와 $\vec{n}$은 같은 방향이므로 $$\iint_{\partial B_{2}}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}=\iint_{D}{R(x,\,y,\,u_{2}(x,\,y))dA}$$ 이고 아랫면의 경우, $\vec{k}$와 $\vec{n}$은 서로 반대방향이므로 $$\iint_{\partial B_{1}}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}=-\iint_{D}{R(x,\,y,\,u_{1}(x,\,y))dA}$$ 이다. 그러므로 $$\begin{align*}\iint_{\partial B}{R\vec{k}\cdot\vec{n}dS}&=\iint_{D}{\{R(x,\,y,\,u_{2}(x,\,y))-R(x,\,y,\,u_{1}(x,\,y))\}dA}\\&=\iiint_{B}{\frac{\partial R}{\partial z}dV}\end{align*}$$ 이다.(나머지는 독자들의 몫)

미분가능한 벡터장 $\mathbf{F}=(P,\,Q,\,R)$에 대하여 다음과 같이 벡터장 $\mathbf{F}$의 회전(curl)을 정의한다. $$\text{curl}\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}$$ 벡터장 $\mathbf{F}$의 회전은 $\nabla$와 $\mathbf{F}$의 외적형태이다. 즉 다음이 성립한다. $$\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R\end{matrix}\right|=\text{curl}\mathbf{F}$$ 곡면 $S$를 넓이가 유한인 매끄러운 유향곡면이라 하고 경계선 $\partial S$가 존재한다고 하자. 곡면 $S$의 양의 방향에 있는 사람이 경계선 $\partial S$를 따라서 걸어갈 때, 곡면 $S$가 왼쪽에 있도록 걸어가는 방향을 양의 방향으로 정한다(반시계방향이 양의 방향)(아래 그림 참고)

다음의 스토크스 정리는 유향곡면에서의 면적분을 곡면의 경계선을 따라가는 선적분으로 나타내는 정리이다. 

스토크스 정리(Stokes Theorem)

$S$가 단위법선벡터 $\vec{n}$을 갖는 매끄러운 유향곡면이고, 구분적으로 매끄러운 단순폐곡선인 경계선 $\partial S$를 가진다고 하자. 벡터장 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$가 $S$를 포함하는 열린영역에서 미분가능하면 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{\partial S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\iint_{S}{(\text{curl}\mathbf{F})\cdot\vec{n}dS}=\iint_{S}{(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\vec{n}dS}$$

스토크스 정리의 증명은 미적분학 수준으로 어렵기 때문에 생략하겠다. 

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning