[다변수 미적분학] 9. 그린 정리

[다변수 미적분학] 9. 그린 정리

닫힌곡선(closed curve)은 시점과 종점이 동일한 곡선이다.

\(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)가 영역 \(D\)에서 연속인 보존장이면, \(D\)내부의 임의의 구분적으로 매끄러운 닫힌곡선 \(C\)에 대하여$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=0$$이다.

다음 그림의 곡선에서

서로 교차하는 점이 없는 연속 곡선을 단순곡선(simple curve), 시점과 종점이 동일한 연속 곡선을 닫힌곡선(closed curve)이라고 한다.

\(D\subset\mathbb{R}^{2}\)를 평면 상의 유계영역이라 하고, \(D\)의 경계선을 \(\partial D\)라 하자. 경계선 \(\partial D\)가 단순 닫힌곡선(simply closed curve)이면, \(D\)를 단순 연결영역(simple connected region)이라고 한다. 즉 영역의 내부에 빈 부분(구멍 등)이 없이 꽉 차 있는 것을 단순 연결영역이라고 한다.

\(\mathbf{F}=P(x,\,y,\,z)\vec{i}+Q(x,\,y,\,z)\vec{j}+R(x,\,y,\,z)\vec{k}\)에 대하여 \(P,\,Q,\,R\)이 단순 연결영역 \(D\)상에서 연속인 1계 편도함수를 갖는 벡터장이라 하자. 그러면 \(D\)에서 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)가 보존장이 될 필요충분조건은 다음의 등식이 \(D\)에서 성립하는 것이다.$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\,\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\,\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$$

필요조건의 증명: \(D\)에서 \(\mathbf{F}\)가 보존장이라 가정가호, \(f(x,\,y,\,z)\)가 그 퍼텐셜 함수, 즉 \(\mathbf{F}=\nabla f\)라고 하자. 그러면$$\mathbf{F}=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$이고, \(P,\,Q,\,R\)의 편도함수가 연속이므로 클레로의 정리로부터 다음 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\frac{\partial P}{\partial y}&=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}\\ \frac{\partial Q}{\partial z}&=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial y}=\frac{\partial R}{\partial y}\\ \frac{\partial R}{\partial x}&=\frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}=\frac{\partial P}{\partial z}\end{align*}$$2차원 벡터장은 영역 \(D\)가 \(xy\)평면 상의 영역이고, \(z\)성분이 \(0\)인 벡터장으로 간주하여 다음을 얻는다:

\(\mathbf{F}(x,\,y)=P(x,\,y)\vec{i}+Q(x,\,y)\vec{j}\)에 대하여 \(P,\,Q\)가 단순 연결 열린영역 \(D\) 상에서 연속인 편도함수를 갖는다고 하자. 그러면 \(D\)에서 \(\mathbf{F}(x,\,y)\)가 보존장이 될 필요충분조건은 다음의 등식이 \(D\)에서 성립하는 것이다.$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

\(D\subset\mathbb{R}^{3}\)를 평면 상의 유계영역이라 하고, \(D\)의 경계선인 \(\partial D\)가 단 하나의 닫힌곡선(simply closed curve)일 때, \(D\)를 단순 연결영역(simply connected region)이라고 한다.

반시계 방향을 \(\partial D\)의 양의 방향으로 정한다.(별도의 언급이 없으면 \(\partial D\)는 양의 방향을 가진 단순 닫힌곡선으로 가정한다)

그린정리

\(D\subset\mathbb{R}^{2}\)를 평면 상의 단순 연결영역이라 하고, 그 경계선인 \(\partial D\)는 구분적으로 매끄러운 단순 닫힌곡선이라고 하자. \(P(x,\,y)\)와 \(Q(x,\,y)\)가 \(D\)를 포함하는 적당한 열린영역에서 연속인 1계 편도함수를 가지면, 다음 등식이 성립한다.$$\int_{\partial D}{Pdx+Qdy}=\iint_{D}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}$$이 정리의 증명은 \(D\)가 동시에 수직과 수평으로 단순한 영역인 경우에 대해서만 성립함을 보일 것이다.(일반적인 경우는 미적분학 수준으로 증명할 수 없다)

\(D=\{(x,\,y)\,|\,a\leq x\leq b,\,f(x)\leq y\leq g(x)\}\)라 하고$$\begin{align*}\vec{r}_{1}(x)&=(x,\,f(x)),\,\vec{r}_{3}(x)=(x,\,g(x)),\,x\in[a,\,b]\\ \vec{r}_{2}(t)&=(b,\,t),\,t\in[f(b),\,g(b)]\\ \vec{r}_{4}(t)&=(a,\,t),\,t\in[f(a),\,g(a)]\end{align*}$$라 하자. \(\partial D=C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}\cup C_{4}\)이므로$$\int_{\partial D}{Pdx}=\int_{C_{1}}{Pdx}+\int_{C_{2}}{Pdx}+\int_{C_{3}}{Pdx}+\int_{C_{4}}{Pdx}$$이고$$\begin{align*}\int_{C_{1}}{Pdx}&=\int_{a}^{b}{P(x,\,f(x))dx}\\ \int_{C_{2}}{Pdx}&=\int_{f(b)}^{g(b)}{P(b,\,t)0dt}=0\\ \int_{C_{3}}{Pdx}&=-\int_{a}^{b}{P(x,\,g(x))dx}\\ \int_{C_{4}}{Pdx}&=\int_{f(a)}^{g(a)}{P(a,\,t)0dt}=0\end{align*}$$이므로 따라서$$\begin{align*}\int_{\partial D}{Pdx}&=\int_{a}^{b}{P(x,\,f(x))dx}-\int_{a}^{b}{P(x,\,g(x))dx}=-\int_{a}^{b}{\{P(x,\,g(x))-P(x,\,f(x))\}dx}\\&=-\int_{a}^{b}{\int_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial P}{\partial y}dy}dx}=-\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\end{align*}$$이다.

\(D=\{(x,\,y)\,|\,\alpha\leq y\leq\beta,\,\varphi(y)\leq x\leq\psi(y)\}\)라 하고,$$\begin{align*}\vec{r}_{1}(y)&=(\varphi(y),\,y),\,\vec{r}_{3}(y)=(\psi(y),\,y),\,y\in[\alpha,\,\beta]\\ \vec{r}_{2}(t)&=(t,\,\alpha),\,t\in[\varphi(\alpha),\,\psi(\alpha)]\\ \vec{r}_{4}(t)&=(t,\,\beta),\,t\in[\varphi(\beta),\,\psi(\beta)]\end{align*}$$라 하자. \(\partial D=\Gamma_{1}\cup\Gamma_{2}\cup\Gamma_{3}\cup\Gamma_{4}\)이므로$$\int_{\partial D}{Qdy}=\int_{\Gamma_{1}}{Qdy}+\int_{\Gamma_{2}}{Qdy}+\int_{\Gamma_{3}}{Qdy}+\int_{\Gamma_{4}}{Qdy}$$이고$$\begin{align*}\int_{\Gamma_{1}}{Qdy}&=-\int_{\alpha}^{\beta}{Q(\varphi(y),\,y)dy}\\ \int_{\Gamma_{2}}{Qdy}&=\int_{\alpha}^{\beta}{Q(t,\,\alpha)0dy}=0\\ \int_{\Gamma_{3}}{Qdy}&=\int_{\alpha}^{\beta}{Q(\psi(y),\,y)dy}\\ \int_{\Gamma_{4}}{Qdy}&=\int_{\varphi(\beta)}^{\psi(\beta)}{Q(t,\,\beta)0dt}=0\end{align*}$$이므로 따라서$$\begin{align*}\int_{\partial D}{Qdy}&=\int_{\alpha}^{\beta}{Q(\psi(y),\,y)dy}-\int_{\alpha}^{\beta}{Q(\varphi(y),\,y)dy}=\int_{\alpha}^{\beta}{\{Q(\psi(y),\,y)-Q(\varphi(y),\,y)\}dy}\\&=\int_{\alpha}^{\beta}{\int_{\varphi(y)}^{\psi(y)}{\frac{\partial Q}{\partial y}dx}dy}=\iint_{D}{\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy}\end{align*}$$이다.

그러므로 다음 등식이 성립한다.$$\int_{\partial D}{Pdx+Qdy}=\iint_{D}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}$$

\(\displaystyle\iint_{D}{dxdy}\)는 영역 \(D\)의 넓이이므로 \(D\)에서$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$$이 되도록 \(P\)와 \(Q\)를 적당히 선택하면, 영역 \(D\)의 넓이가 \(A\)일 때, 다음 등식이 성립한다.$$A=\int_{\partial D}{xdy}=-\int_{\partial D}{ydx}=\frac{1}{2}\int_{\partial D}{xdy-ydx}$$

벡터장 \(\displaystyle\mathbf{F}(x,\,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\vec{j}\)일 때, 원점을 둘러싸는 임의의 단순 닫힌경로 \(C\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=2\pi\)이다. 그 이유는

$$\begin{align*}\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}-\int_{C'}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}&=\iint_{D}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}\\&=\iint_{D}{\left\{\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right\}dxdy}\\&=0\end{align*}$$이므로$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{C'}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}$$이고,$$\begin{align*}\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}&=\int_{C'}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{0}^{2\pi}{\mathbf{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\frac{(-a\sin t)(-a\sin t)+(a\cos t)(a\cos t)}{a^{2}\cos^{2}t+a^{2}\sin^{2}t}dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{dt}\\&=2\pi\end{align*}$$이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning