[다변수 미적분학] 9. 그린 정리

[다변수 미적분학] 9. 그린 정리

닫힌곡선(closed curve)은 시점과 종점이 동일한 곡선이다.

$\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$가 영역 $D$에서 연속인 보존장이면, $D$내부의 임의의 구분적으로 매끄러운 닫힌곡선 $C$에 대하여 $$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=0$$ 이다.

다음 그림의 곡선에서

서로 교차하는 점이 없는 연속 곡선을 단순곡선(simple curve), 시점과 종점이 동일한 연속 곡선을 닫힌곡선(closed curve)이라고 한다.

$D\subset\mathbb{R}^{2}$를 평면 상의 유계영역이라 하고, $D$의 경계선을 $\partial D$라 하자. 경계선 $\partial D$가 단순 닫힌곡선(simply closed curve)이면, $D$를 단순 연결영역(simple connected region)이라고 한다. 즉 영역의 내부에 빈 부분(구멍 등)이 없이 꽉 차 있는 것을 단순 연결영역이라고 한다.

$\mathbf{F}=P(x,\,y,\,z)\vec{i}+Q(x,\,y,\,z)\vec{j}+R(x,\,y,\,z)\vec{k}$에 대하여 $P,\,Q,\,R$이 단순 연결영역 $D$상에서 연속인 1계 편도함수를 갖는 벡터장이라 하자. 그러면 $D$에서 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$가 보존장이 될 필요충분조건은 다음의 등식이 $D$에서 성립하는 것이다. $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\,\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\,\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}$$

필요조건의 증명: $D$에서 $\mathbf{F}$가 보존장이라 가정가호, $f(x,\,y,\,z)$가 그 퍼텐셜 함수, 즉 $\mathbf{F}=\nabla f$라고 하자. 그러면 $$\mathbf{F}=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$ 이고, $P,\,Q,\,R$의 편도함수가 연속이므로 클레로의 정리로부터 다음 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\frac{\partial P}{\partial y}&=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}\\ \frac{\partial Q}{\partial z}&=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial y}=\frac{\partial R}{\partial y}\\ \frac{\partial R}{\partial x}&=\frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}=\frac{\partial P}{\partial z}\end{align*}$$ 2차원 벡터장은 영역 $D$가 $xy$평면 상의 영역이고, $z$성분이 $0$인 벡터장으로 간주하여 다음을 얻는다:

$\mathbf{F}(x,\,y)=P(x,\,y)\vec{i}+Q(x,\,y)\vec{j}$에 대하여 $P,\,Q$가 단순 연결 열린영역 $D$ 상에서 연속인 편도함수를 갖는다고 하자. 그러면 $D$에서 $\mathbf{F}(x,\,y)$가 보존장이 될 필요충분조건은 다음의 등식이 $D$에서 성립하는 것이다. $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

$D\subset\mathbb{R}^{3}$를 평면 상의 유계영역이라 하고, $D$의 경계선인 $\partial D$가 단 하나의 닫힌곡선(simply closed curve)일 때, $D$를 단순 연결영역(simply connected region)이라고 한다.

반시계 방향을 $\partial D$의 양의 방향으로 정한다.(별도의 언급이 없으면 $\partial D$는 양의 방향을 가진 단순 닫힌곡선으로 가정한다)

그린정리

$D\subset\mathbb{R}^{2}$를 평면 상의 단순 연결영역이라 하고, 그 경계선인 $\partial D$는 구분적으로 매끄러운 단순 닫힌곡선이라고 하자. $P(x,\,y)$와 $Q(x,\,y)$가 $D$를 포함하는 적당한 열린영역에서 연속인 1계 편도함수를 가지면, 다음 등식이 성립한다. $$\int_{\partial D}{Pdx+Qdy}=\iint_{D}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}$$ 이 정리의 증명은 $D$가 동시에 수직과 수평으로 단순한 영역인 경우에 대해서만 성립함을 보일 것이다.(일반적인 경우는 미적분학 수준으로 증명할 수 없다)

$D=\{(x,\,y)\,|\,a\leq x\leq b,\,f(x)\leq y\leq g(x)\}$라 하고 $$\begin{align*}\vec{r}_{1}(x)&=(x,\,f(x)),\,\vec{r}_{3}(x)=(x,\,g(x)),\,x\in[a,\,b]\\ \vec{r}_{2}(t)&=(b,\,t),\,t\in[f(b),\,g(b)]\\ \vec{r}_{4}(t)&=(a,\,t),\,t\in[f(a),\,g(a)]\end{align*}$$ 라 하자. $\partial D=C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}\cup C_{4}$이므로 $$\int_{\partial D}{Pdx}=\int_{C_{1}}{Pdx}+\int_{C_{2}}{Pdx}+\int_{C_{3}}{Pdx}+\int_{C_{4}}{Pdx}$$ 이고 $$\begin{align*}\int_{C_{1}}{Pdx}&=\int_{a}^{b}{P(x,\,f(x))dx}\\ \int_{C_{2}}{Pdx}&=\int_{f(b)}^{g(b)}{P(b,\,t)0dt}=0\\ \int_{C_{3}}{Pdx}&=-\int_{a}^{b}{P(x,\,g(x))dx}\\ \int_{C_{4}}{Pdx}&=\int_{f(a)}^{g(a)}{P(a,\,t)0dt}=0\end{align*}$$ 이므로 따라서 $$\begin{align*}\int_{\partial D}{Pdx}&=\int_{a}^{b}{P(x,\,f(x))dx}-\int_{a}^{b}{P(x,\,g(x))dx}=-\int_{a}^{b}{\{P(x,\,g(x))-P(x,\,f(x))\}dx}\\&=-\int_{a}^{b}{\int_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial P}{\partial y}dy}dx}=-\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\end{align*}$$ 이다.

$D=\{(x,\,y)\,|\,\alpha\leq y\leq\beta,\,\varphi(y)\leq x\leq\psi(y)\}$라 하고, $$\begin{align*}\vec{r}_{1}(y)&=(\varphi(y),\,y),\,\vec{r}_{3}(y)=(\psi(y),\,y),\,y\in[\alpha,\,\beta]\\ \vec{r}_{2}(t)&=(t,\,\alpha),\,t\in[\varphi(\alpha),\,\psi(\alpha)]\\ \vec{r}_{4}(t)&=(t,\,\beta),\,t\in[\varphi(\beta),\,\psi(\beta)]\end{align*}$$ 라 하자. $\partial D=\Gamma_{1}\cup\Gamma_{2}\cup\Gamma_{3}\cup\Gamma_{4}$이므로 $$\int_{\partial D}{Qdy}=\int_{\Gamma_{1}}{Qdy}+\int_{\Gamma_{2}}{Qdy}+\int_{\Gamma_{3}}{Qdy}+\int_{\Gamma_{4}}{Qdy}$$ 이고 $$\begin{align*}\int_{\Gamma_{1}}{Qdy}&=-\int_{\alpha}^{\beta}{Q(\varphi(y),\,y)dy}\\ \int_{\Gamma_{2}}{Qdy}&=\int_{\alpha}^{\beta}{Q(t,\,\alpha)0dy}=0\\ \int_{\Gamma_{3}}{Qdy}&=\int_{\alpha}^{\beta}{Q(\psi(y),\,y)dy}\\ \int_{\Gamma_{4}}{Qdy}&=\int_{\varphi(\beta)}^{\psi(\beta)}{Q(t,\,\beta)0dt}=0\end{align*}$$ 이므로 따라서 $$\begin{align*}\int_{\partial D}{Qdy}&=\int_{\alpha}^{\beta}{Q(\psi(y),\,y)dy}-\int_{\alpha}^{\beta}{Q(\varphi(y),\,y)dy}=\int_{\alpha}^{\beta}{\{Q(\psi(y),\,y)-Q(\varphi(y),\,y)\}dy}\\&=\int_{\alpha}^{\beta}{\int_{\varphi(y)}^{\psi(y)}{\frac{\partial Q}{\partial y}dx}dy}=\iint_{D}{\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy}\end{align*}$$ 이다.

그러므로 다음 등식이 성립한다. $$\int_{\partial D}{Pdx+Qdy}=\iint_{D}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}$$

$\displaystyle\iint_{D}{dxdy}$는 영역 $D$의 넓이이므로 $D$에서 $$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$$ 이 되도록 $P$와 $Q$를 적당히 선택하면, 영역 $D$의 넓이가 $A$일 때, 다음 등식이 성립한다. $$A=\int_{\partial D}{xdy}=-\int_{\partial D}{ydx}=\frac{1}{2}\int_{\partial D}{xdy-ydx}$$

벡터장 $\displaystyle\mathbf{F}(x,\,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\vec{j}$일 때, 원점을 둘러싸는 임의의 단순 닫힌경로 $C$에 대하여 $\displaystyle\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=2\pi$이다. 그 이유는

$$\begin{align*}\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}-\int_{C'}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}&=\iint_{D}{\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}\\&=\iint_{D}{\left\{\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right\}dxdy}\\&=0\end{align*}$$ 이므로 $$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{C'}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}$$ 이고, $$\begin{align*}\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}&=\int_{C'}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{0}^{2\pi}{\mathbf{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\frac{(-a\sin t)(-a\sin t)+(a\cos t)(a\cos t)}{a^{2}\cos^{2}t+a^{2}\sin^{2}t}dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{dt}\\&=2\pi\end{align*}$$ 이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning