[다변수 미적분학] 6. 삼중적분

[다변수 미적분학] 6. 삼중적분

3차원 공간 $\mathbb{R}^{3}(=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R})$에서의 영역 $$B=\{(x,\,y,\,z)\,|\,a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d,\,r\leq z\leq s\}$$ 에서 정의된 함수 $f(x,\,y,\,z)$를 생각하자.

영역 $B$를 $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$인 $lmn$개의 부분영역 $$B_{ijk}=[x_{i-1},\,x_{i}]\times[y_{j-1},\,y_{j}]\times[z_{k-1},\,z_{k}]$$ 로 나누자.

이때 임의의 $(x_{ijk}^{*},\,y_{ijk}^{*},\,z_{ijk}^{*})\in B_{ijk}$에 대하여 $$\lim_{l,\,m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{l}{\sum_{j=1}^{m}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{ijk}^{*},\,y_{ijk}^{*},\,z_{ijk}^{*})\Delta V}}}}$$ 가 수렴하면, 이 극한값을 $$\iiint_{B}{f(x,\,y,\,z)dV}$$ 로 나타내고, 영역 $B$에서의 삼중적분(triple integral)이라고 한다. 이때 $$\iiint_{B}{f(x,\,y,\,z)dV}=\lim_{l,\,m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{l}{\sum_{j=1}^{m}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{ijk}^{*},\,y_{ijk}^{*},\,z_{ijk}^{*})\Delta V}}}}$$ 이고, $f$는 $B$에서 적분가능하다고 한다. $f$가 $B$에서 연속이면, 적분가능하다.

삼중적분에 대한 푸비니 정리:

$f$가 영역 $B=[a,\,b]\times[c,\,d]\times[r,\,s]$에서 연속이면 다음 등식이 성립한다. $$\iiint_{B}{f(x,\,y,\,\,z)dV}=\int_{r}^{s}{\int_{c}^{d}{\int_{a}^{b}{f(x,\,y,\,z)dxdydz}}}$$ 적분하는 순서를 바꾸어도 결과는 모두 같다.

직육면체 영역 $B=[a,\,b]\times[c,\,d]\times[r,\,s]$내부의 영역 $E$에 대하여 $$F(x,\,y,\,z)=\begin{cases}f(x,\,y,\,z),&\,((x,\,y,\,z)\in E)\\0,&\,((x,\,y,\,z)\notin E)\end{cases}$$ 라고 하자. 그러면 $$\iiint_{E}{f(x,\,y,\,z)dV}=\iiint_{B}{F(x,\,y,\,z)dV}$$ 이다.

(1)로 표시된 위의 왼쪽 그림의 영역에서의 삼중적분은 $$\iiint_{E}{f(x,\,y,\,z)dV}=\iint_{D}{\int_{u_{1}(x,\,y)}^{u_{2}(x,\,y)}{f(x,\,y,\,z)dz}dA}$$ 이고, 위 가운데 그림의 영역이면 $$\iiint_{E}{f(x,\,y,\,z)dV}=\int_{a}^{b}{\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\int_{u_{1}(x,\,y)}^{u_{2}(x,\,y)}{f(x,\,y,\,z)dz}dy}dx}$$ 위 오른쪽 그림의 영역이면 $$\iiint_{E}{f(x,\,y,\,z)dV}=\int_{c}^{d}{\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}{\int_{u_{1}(x,\,y)}^{u_{2}(x,\,y)}{f(x,\,y,\,z)dz}dx}dy}$$ 이다.

위와 같은 방법으로 (2)로 표시된 영역에서의 삼중적분을 $$\iiint_{E}{f(x,\,y,\,z)dV}=\iint_{D}{\int_{u_{1}(y,\,z)}^{u_{2}(y,\,z)}{f(x,\,y,\,z)dx}dA}$$ 로, (3)으로 표시된 영역에서의 삼중적분을 $$\iiint_{E}{f(x,\,y,\,z)dV}=\iint_{D}{\int_{u_{1}(x,\,z)}^{u_{2}(x,\,z)}{f(x,\,y,\,z)dy}dA}$$ 로 나타낼 수 있다.

원기둥(원주) 좌표계

원기둥(원주) 좌표계(cylindrical coordinate system)는 $xy$평면의 극좌표 $(r,\,\theta)$와 직교좌표 $z$로 구성된다. 이 경우에 한 점을 $P(r,\,\theta,\,z)$ 또는 $P(x,\,y,\,z)$로 나타내면 다음의 관계를 갖는다. $$x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta,\,z=z,\,r^{2}=x^{2}+y^{2},\,\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$$

영역 $E$가 $E=\{(x,\,y,\,z)\,|\,(x,\,y)\in D,\,u_{1}(x,\,y)\leq z\leq u_{2}(x,\,y)\}$이고, $E$의 $xy$평면으로의 정사영 $D$가 $$D=\{(r,\,\theta)\,|\,\alpha\leq\theta\leq\beta,\,h_{1}(\theta)\leq r\leq h_{2}(\theta)\}$$ 라고 하자. 그러면 $f$의 영역 $E$에서의 삼중적분은 다음과 같다. $$\iiint_{E}{f(x,\,y,\,z)dV}=\int_{\alpha}^{\beta}{\int_{h_{1}(\theta)}^{h_{2}(\theta)}{\int_{u_{1}(r\cos\theta,\,r\sin\theta)}^{u_{2}(r\cos\theta,\,r\sin\theta)}{f(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,z)rdz}dr}d\theta}$$

구면 좌표계

3차원 공간 상의 점 $P(x,\,y,\,z)$를 구면 좌표계(spherical coordinate system)의 점 $P(r,\,\theta,\,\phi)$로 대응시킬 수 있다.

이때 $r=\overline{OP}$, $\theta=\angle P'OX\,(0\leq\theta\leq2\pi)$, $\phi=\angle OPP'(0\leq\phi\leq\pi)$이고 구면좌표와 직각좌표 사이의 관계는 다음과 같다. $$\begin{cases}x=r\sin\phi\cos\theta\\y=r\cos\phi\sin\theta\\z=r\cos\phi\end{cases},\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$$

$d\rho,\,d\theta,\,d\phi$가 각각 $\rho,\,\theta,\,\phi$의 증분이면, 이 증분은 모서리의 길이가 각각 $dr,\,rd\theta,\,r\sin\theta d\phi$인 체적소를 결정한다.

증분이 충분히 작으면, 체적소 $dV$는 증분 $d\rho,\,\rho d\phi,\,r\sin\phi d\theta$가 모서리인 직육면체의 부피와 근사적으로 같게 되므로 구면좌표로 표현된 부피의 미분은 $dV=\rho^{2}\sin\phi d\rho d\theta d\phi$이다.

그러면 영역 $E=\{(\rho,\,\theta,\,\phi)\,|\,a\leq\rho\leq b,\,\alpha\leq\theta\leq\beta,\,c\leq\phi\leq d\}$에서의 함수 $f(x,\,y,\,z)$의 적분은 다음과 같다. $$\iiint_{E}{f(x,\,y,\,z)dV}=\int_{c}^{d}{\int_{\alpha}^{\beta}{\int_{a}^{b}{f(\rho\sin\phi\cos\theta,\,\rho\sin\phi\sin\theta,\,\rho\cos\phi)\rho^{2}\sin\phi d\rho}d\theta}d\phi}$$

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning