[다변수 미적분학] 8. 벡터장에서의 선적분

[다변수 미적분학] 8. 벡터장에서의 선적분

공간 상의 한 영역 \(D\subset\mathbb{R}^{3}\) 상의 각 점 \((x,\,y,\,z)\in D\)에 벡터 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^{3}\)를 대응시키는 함수 \(\mathbf{F}:\,D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 \(D\)상의 3차원 벡터장(vector field)이라고 한다.

일반적으로 평면 또는 공간에 있는 한 영역 위에서의 벡터장 \(\mathbf{F}\)는 영역의 각 점에 벡터를 대응시키는 함수로 3차원 벡터들로 이루어진 벡터장은 다음과 같이 나타낸다.$$\mathbf{F}(x,\,y,\,z)=P(x,\,y,\,z)\vec{i}+Q(x,\,y,\,z)\vec{j}+R(x,\,y,\,z)\vec{k}$$또한 2차원 벡터장은 영역 \(D\)가 \(xy\)평면 \(\mathbb{R}^{2}\) 상의 영역이고, \(z\)성분이 \(0\)인 벡터장으로 다음과 같이 나타낸다.$$\mathbf{F}(x,\,y)=P(x,\,y)\vec{i}+Q(x,\,y)\vec{j}$$

(왼쪽: \(\mathbf{F}(x,\,y)=-y\vec{i}+x\vec{j}\), 오른쪽: \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)=z\vec{k}\))

\(\mathbf{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}\)가 영역 \(D\)에서 연속인 벡터장이고, \(C:\,\vec{r}(t)\,(t\in I)\)를 \(D\)에 포함되는 매끄러운 곡선이라 하자. "\(C\)를 따라 \(\vec{F}\)의 (스칼라) 선적분"을 다음과 같이 정의한다.$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{C}{Pdx}+\int_{C}{Qdy}+\int_{C}{Rdz}$$이때 편의를 위해$$\int_{C}{Pdx}+\int_{C}{Qdy}+\int_{C}{Rdz}=\int_{C}{Pdx+Qdy+Rdz}$$로 나타낸다. 즉 \(\mathbf{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}\)일 때,$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{C}{Pdx+Qdy+Rdz}$$또한 \(C\)가 폐곡선일 때는$$\oint_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\oint_{C}{Pdx+Qdy+Rdz}$$로 나타낸다.

\(\mathbf{F},\,\mathbf{G}\)가 영역 \(D\) 상에서 연속인 벡터장이라 하고, \(C\)를 \(D\)에 포함되는 구분적으로 매끄러운 유향곡선이라 하자. 그러면 다음 성질들이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\int_{C}{(k\mathbf{F})\cdot d\vec{r}}=k\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}\) (\(k\)는 임의의 상수)

(2) \(\displaystyle\int_{C}{(\mathbf{F}+\mathbf{G})\cdot d\vec{r}}=\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}+\int_{C}{\mathbf{G}\cdot d\vec{r}}\)

\(\mathbf{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}\)를 연속인 벡터장이라 하고, \(C:\,\vec{r}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t))\,(t\in[a,\,b])\)가 매끄러운 곡선이라고 하자. 그러면 다음 등식이 성립하고$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{a}^{b}{\{P(\vec{r}(t))x'(t)+Q(\vec{r}(t))y'(t)+R(\vec{r}(t))z'(t)\}dt}=\int_{a}^{b}{\mathbf{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)dt}$$또한 다음 등식이 성립한다.$$\int_{-C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{-C}{Pdx}+\int_{-C}{Qdy}+\int_{-C}{Rdz}=-\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}$$

3변수 함수 \(f\)에 대한 기울기 벡터는$$\nabla f(x,\,y,\,z)=(f_{x}(x,\,y,\,z),\,f_{y}(x,\,y,\,z),\,f_{z}(x,\,y,\,z))$$이고, 다음과 같다.$$\nabla f=f_{x}\vec{i}+f_{y}\vec{j}+f_{z}\vec{k}$$

선적분의 기본정리

함수 \(f(x,\,y,\,z)\)가 두 점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}),\,(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})\)을 포함하는 열린영역 \(D\)에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다고 하자. 그러면 시점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)과 종점 \((x_{1},\,y_{1},\,z_{1})\)을 \(D\) 내부에서 연결하는 구분적으로 매끄러운 임의의 곡선 \(C\)에 대하여 다음 등식이 성립한다.$$\int_{C}{\nabla f\cdot d\vec{r}}=f(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})-f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$$증명: \(C:\,\vec{r}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t))\,(t\in[a,\,b])\), \(\vec{r}(a)=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}),\,\vec{r}(b)=(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})\)이라 하자. 그러면 다음에 의해 선적분의 기본정리가 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C}{\nabla\cdot f\cdot d\vec{r}}&=\int_{a}^{b}{\nabla f(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)dt}\\&=\int_{a}^{b}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}\right)dt}\\&=\int_{a}^{b}{\frac{d}{dt}f(\vec{r}(t))dt}\\&=f(\vec{r}(b))-f(\vec{r}(a))\\&=f(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})-f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\end{align*}$$

영역 \(D\) 상의 벡터장 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)에 대하여, 함수 \(f(x,\,y,\,z)\)가 존재하여 \(D\)상에서 \(\mathbf{F}=\nabla f\)이면, \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)를 \(D\) 상의 보존장(conservative field)이라 하고, \(f(x,\,y,\,z)\)를 \(D\)에서 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)의 퍼텐셜 함수(potential function)라고 한다.

선적분의 기본정리는 보존장 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)의 퍼텐셜 함수만 구하면, 쉽게 선적분을 구할 수 있음을 보여준다.

\(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)가 영역 \(D\)에서 연속인 보존장이면, \(D\) 내부에서 구분적으로 매끄러운 곡선을 따라 \(\mathbf{F}\)의 선적분 값은 곡선의 시점과 종점에만 관계가 있고, 두 점 사이의 경로에는 관계가 없다.

즉, 시점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)와 종점 \((x_{1},\,y_{1},\,z_{1})\)을 \(D\) 내부에서 연결하는 구분적으로 매끄러운 임의의 두 곡선 \(C_{1}\)과 \(C_{2}\)에 대하여 다음 등식이 성립한다.$$\int_{C_{1}}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}=\int_{C_{2}}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}$$이때 선적분 \(\displaystyle\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\vec{r}}\)을 경로에 독립(independence of path)이라고 한다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning