[다변수 미적분학] 5. 이중적분

[다변수 미적분학] 5. 이중적분

 

\(xy\)평면의 닫힌유계영역 \(R\)에서 정의된 연속함수 \(f(x,\,y)\)를 생각하자.

영역 \(R\)을 넓이가 각각 \(\Delta A=\Delta x\Delta y\)인 \(mn\)개의 부분영역$$R_{ij}=[x_{i-1},\,x_{i}]\times[y_{j-1},\,y_{j}]=\{(x,\,y)\,|\,x_{i-1}\leq x\leq x_{i},\,y_{j-1}\leq y\leq y_{j}\}$$로 나누자.

이때 임의의 \((x_{ij}^{*},\,y_{ij}^{*})\in R_{ij}\)에 대하여$$\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{n}{f(x_{ij}^{*},\,y_{ij}^{*})\Delta A}}}$$가 수렴하면

이 극한값을$$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}$$로 나타내고, 영역 \(R\)에서의 이중적분(double integral)이라고 한다. 이때$$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{n}{f(x_{ij}^{*},\,y_{ij}^{*})\Delta A}}}$$이고, \(f\)는 \(R\)에서 적분가능(integrable)하다고 한다.

함수값이 양수인 2변수 함수의 이중적분은 입체의 부피를 나타내고, \(f(x,\,y)\)가 \(D\)의 한 점 \((x,\,y)\)에서의 밀도일 때, \(D\)의 질량은$$M=\iint_{D}{f(x,\,y)dA}$$이다. 특히 \(f(x,\,y)=1\)이면,$$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}$$는 영역 \(R\)의 넓이를 나타낸다. 즉, \(A\)를 \(R\)의 넓이라고 하면$$A=\iint_{R}{dA}$$이다.

위 그림의 영역 \(S=\{(x,\,y,\,z)\,|\,-1\leq x\leq 1,\,-2\leq y\leq 2,\,0\leq z\leq\sqrt{1-x^{2}}\}\)의 부피를 다음의 적분으로 나타낼 수 있다.$$\iint_{R}{\sqrt{1-x^{2}}dA}$$여기서 \(R=\{(x,\,y)\,|\,-1\leq x\leq1,\,-2\leq y\leq2\}\)이다. 이 적분을 당장 풀기에는 어려우나 둥근 단면이 반원이라는 점을 이용하면, 다음과 같이 간단히 구할 수 있다.$$\iint_{R}{\sqrt{1-x^{2}}dA}=\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot1^{2}\cdot4=2\pi$$

푸비니 정리(Fubini's theorem)

2변수 함수 \(f\)가 직사각형 \(R=\{(x,\,y)\,|\,a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d\}\)에서 연속이면, 다음의 등식이 성립한다.$$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\int_{a}^{b}{\int_{c}^{d}{f(x,\,y)dy}dx}=\int_{c}^{d}{\int_{a}^{b}{f(x,\,y)dx}dy}$$일반적으로 \(f\)가 \(R\)에서 유계이고, 매끄러운 곡선의 유한개의 점에서만 불연속이고 반복적분이 존재하면, 위 식이 성립한다.

 

(위 그림에서 \(\displaystyle A(x)=\int_{c}^{d}{f(x,\,y)dy}\)이다.)

함수 \(F\)를 다음과 같이 정의하자.$$F(x,\,y)=\begin{cases}f(x,\,y),&\,(x,\,y)\in D\\0,&\,(x,\,y)\notin D\end{cases}$$여기서 \(D\subset R\,(R=[a,\,b]\times[c,\,d])\)이다.(아래 그림 참고)

그러면 푸비니 정리에 의해$$\iint_{D}{f(x,\,y)dA}=\iint_{R}{F(x,\,y)dA}=\int_{a}^{b}{\int_{c}^{d}{F(x,\,y)dy}dx}=\int_{a}^{b}{\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{f(x,\,y)dy}dx}$$이다.

만약 영역 \(D\)가 다음과 같다면

앞에서의 방법을 이용하여 다음의 결과를 얻는다.$$\iint_{D}{f(x,\,y)dA}=\int_{c}^{d}{\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}{f(x,\,y)dx}dy}$$

영역 \(D\)에 대하여 \(D=D_{1}\cup D_{2}\,(D_{1}\cap D_{2}=\emptyset)\)이면, 다음 등식이 성립한다.$$\iint_{D}{f(x,\,y)dA}=\iint_{D_{1}}{f(x,\,y)dA}+\iint_{D_{2}}{f(x,\,y)dA}$$

극좌표에서의 이중적분

극좌표 \((r,\,\theta)\)와 직교좌표 \((x,\,y)\)사이의 관계:$$r^{2}=x^{2}+y^{2},\,x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta$$이므로$$f(x,\,y)=f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)=F(r,\,\theta)$$이고 \(R\)에서 \(f\)의 이중적분을$$\iint_{R}{F(r,\,\theta)dA}$$로 나타낸다.

위 그림의 영역 \(R=\{(r,\,\theta)\,|\,a\leq r\leq b,\,\alpha\leq\theta\leq\beta\}\)를 극장방형(polar rectangle)이라고 한다.

영역 \(R\)을 \(mn\)개의 작은 영역$$R_{ij}=\{(r,\,\theta)\,|\,r_{i-1}\leq r\leq r_{i},\,\theta_{j-1}\leq\theta\leq\theta_{j}\}$$로 나누고, 임의의 \((r_{i}^{*},\,\theta_{j}^{*})\in R_{ij}\)에 대해$$\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{F(r_{i}^{*},\,\theta_{j}^{*})\Delta A_{ij}}}}$$가 존재하면(\(\Delta A_{ij}\)는 \(R_{ij}\)의 넓이)$$\iint{D}{F(r,\,\theta)dA}=\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{F(r_{i}^{*},\,\theta_{j}^{*})\Delta A_{ij}}}}$$이다.

이때$$\Delta A_{ij}=\frac{1}{2}\{(r_{i}+\Delta r_{i})^{2}-r_{i}^{2}\}\Delta\theta_{j}=\left(r_{i}+\frac{1}{2}\Delta r_{i}\right)\Delta r_{i}\Delta\theta_{j}$$이므로 \(\displaystyle r_{i}^{*}=r_{i}+\frac{1}{2}\Delta r_{i}\)라 하면, \(\Delta A_{ij}=r_{i}^{*}\Delta r_{i}\Delta\theta_{j}\)이고$$\iint_{R}{F(r,\,\theta)dA}=\int_{a}^{b}{\int_{\theta_{1}(r)}^{\theta_{2}(r)}{F(r,\,\theta)rdr}d\theta }=\int_{\alpha}^{\beta}{\int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)}{F(r,\,\theta)rdr}d\theta}$$이다.

\(x=\phi(u,\,v),\,y=\eta(u,\,v)\)라고 했을 때, \(uv\)평면의 영역 \(S\)가 \(xy\)평면의 영역 \(R\)로 일대일로 대응된다고 하자.

만약 \(\phi(u,\,v)\)와 \(\eta(u,\,v)\)가 각각 \(S\)에서 연속인 편도함수를 가지면$$J=\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}=\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\ \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$$도 연속함수이고$$\iint_{R}{f(x,\,y)dxdy}=\iint_{S}{f(x(u,\,v),\,y(u,\,v))\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|dudv}$$가 성립하고, 이때의 \(J\)를 야코비안(Jacobian)이라고 한다. 

예를들어 \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\,(r\geq0,\,0\leq\theta\leq2\pi)\)이면,$$J=\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(r,\,\theta)}=\left|\begin{matrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{matrix}\right|=r\cos^{2}\theta+r\sin\theta=r$$이므로$$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\iint_{S}{f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|drd\theta}=\int_{\alpha}^{\beta}{\int_{a}^{b}{f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)rdr}d\theta}$$이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning