[다변수 미적분학] 5. 이중적분

[다변수 미적분학] 5. 이중적분

 

$xy$평면의 닫힌유계영역 $R$에서 정의된 연속함수 $f(x,\,y)$를 생각하자.

영역 $R$을 넓이가 각각 $\Delta A=\Delta x\Delta y$인 $mn$개의 부분영역 $$R_{ij}=[x_{i-1},\,x_{i}]\times[y_{j-1},\,y_{j}]=\{(x,\,y)\,|\,x_{i-1}\leq x\leq x_{i},\,y_{j-1}\leq y\leq y_{j}\}$$ 로 나누자.

이때 임의의 $(x_{ij}^{*},\,y_{ij}^{*})\in R_{ij}$에 대하여 $$\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{n}{f(x_{ij}^{*},\,y_{ij}^{*})\Delta A}}}$$ 가 수렴하면

이 극한값을 $$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}$$ 로 나타내고, 영역 $R$에서의 이중적분(double integral)이라고 한다. 이때 $$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{n}{f(x_{ij}^{*},\,y_{ij}^{*})\Delta A}}}$$ 이고, $f$는 $R$에서 적분가능(integrable)하다고 한다.

함수값이 양수인 2변수 함수의 이중적분은 입체의 부피를 나타내고, $f(x,\,y)$가 $D$의 한 점 $(x,\,y)$에서의 밀도일 때, $D$의 질량은 $$M=\iint_{D}{f(x,\,y)dA}$$ 이다. 특히 $f(x,\,y)=1$이면, $$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}$$ 는 영역 $R$의 넓이를 나타낸다. 즉, $A$를 $R$의 넓이라고 하면 $$A=\iint_{R}{dA}$$ 이다.

위 그림의 영역 $S=\{(x,\,y,\,z)\,|\,-1\leq x\leq 1,\,-2\leq y\leq 2,\,0\leq z\leq\sqrt{1-x^{2}}\}$의 부피를 다음의 적분으로 나타낼 수 있다. $$\iint_{R}{\sqrt{1-x^{2}}dA}$$ 여기서 $R=\{(x,\,y)\,|\,-1\leq x\leq1,\,-2\leq y\leq2\}$이다. 이 적분을 당장 풀기에는 어려우나 둥근 단면이 반원이라는 점을 이용하면, 다음과 같이 간단히 구할 수 있다. $$\iint_{R}{\sqrt{1-x^{2}}dA}=\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot1^{2}\cdot4=2\pi$$

푸비니 정리(Fubini's theorem)

2변수 함수 $f$가 직사각형 $R=\{(x,\,y)\,|\,a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d\}$에서 연속이면, 다음의 등식이 성립한다. $$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\int_{a}^{b}{\int_{c}^{d}{f(x,\,y)dy}dx}=\int_{c}^{d}{\int_{a}^{b}{f(x,\,y)dx}dy}$$ 일반적으로 $f$가 $R$에서 유계이고, 매끄러운 곡선의 유한개의 점에서만 불연속이고 반복적분이 존재하면, 위 식이 성립한다.

 

(위 그림에서 $\displaystyle A(x)=\int_{c}^{d}{f(x,\,y)dy}$이다.)

함수 $F$를 다음과 같이 정의하자. $$F(x,\,y)=\begin{cases}f(x,\,y),&\,(x,\,y)\in D\\0,&\,(x,\,y)\notin D\end{cases}$$ 여기서 $D\subset R\,(R=[a,\,b]\times[c,\,d])$이다.(아래 그림 참고)

그러면 푸비니 정리에 의해 $$\iint_{D}{f(x,\,y)dA}=\iint_{R}{F(x,\,y)dA}=\int_{a}^{b}{\int_{c}^{d}{F(x,\,y)dy}dx}=\int_{a}^{b}{\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{f(x,\,y)dy}dx}$$ 이다.

만약 영역 $D$가 다음과 같다면

앞에서의 방법을 이용하여 다음의 결과를 얻는다. $$\iint_{D}{f(x,\,y)dA}=\int_{c}^{d}{\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}{f(x,\,y)dx}dy}$$

영역 $D$에 대하여 $D=D_{1}\cup D_{2}\,(D_{1}\cap D_{2}=\emptyset)$이면, 다음 등식이 성립한다. $$\iint_{D}{f(x,\,y)dA}=\iint_{D_{1}}{f(x,\,y)dA}+\iint_{D_{2}}{f(x,\,y)dA}$$

극좌표에서의 이중적분

극좌표 $(r,\,\theta)$와 직교좌표 $(x,\,y)$사이의 관계: $$r^{2}=x^{2}+y^{2},\,x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta$$ 이므로 $$f(x,\,y)=f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)=F(r,\,\theta)$$ 이고 $R$에서 $f$의 이중적분을 $$\iint_{R}{F(r,\,\theta)dA}$$ 로 나타낸다.

위 그림의 영역 $R=\{(r,\,\theta)\,|\,a\leq r\leq b,\,\alpha\leq\theta\leq\beta\}$를 극장방형(polar rectangle)이라고 한다.

영역 $R$을 $mn$개의 작은 영역 $$R_{ij}=\{(r,\,\theta)\,|\,r_{i-1}\leq r\leq r_{i},\,\theta_{j-1}\leq\theta\leq\theta_{j}\}$$ 로 나누고, 임의의 $(r_{i}^{*},\,\theta_{j}^{*})\in R_{ij}$에 대해 $$\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{F(r_{i}^{*},\,\theta_{j}^{*})\Delta A_{ij}}}}$$ 가 존재하면($\Delta A_{ij}$는 $R_{ij}$의 넓이) $$\iint{D}{F(r,\,\theta)dA}=\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{F(r_{i}^{*},\,\theta_{j}^{*})\Delta A_{ij}}}}$$ 이다.

이때 $$\Delta A_{ij}=\frac{1}{2}\{(r_{i}+\Delta r_{i})^{2}-r_{i}^{2}\}\Delta\theta_{j}=\left(r_{i}+\frac{1}{2}\Delta r_{i}\right)\Delta r_{i}\Delta\theta_{j}$$ 이므로 $\displaystyle r_{i}^{*}=r_{i}+\frac{1}{2}\Delta r_{i}$라 하면, $\Delta A_{ij}=r_{i}^{*}\Delta r_{i}\Delta\theta_{j}$이고 $$\iint_{R}{F(r,\,\theta)dA}=\int_{a}^{b}{\int_{\theta_{1}(r)}^{\theta_{2}(r)}{F(r,\,\theta)rdr}d\theta }=\int_{\alpha}^{\beta}{\int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)}{F(r,\,\theta)rdr}d\theta}$$ 이다.

$x=\phi(u,\,v),\,y=\eta(u,\,v)$라고 했을 때, $uv$평면의 영역 $S$가 $xy$평면의 영역 $R$로 일대일로 대응된다고 하자.

만약 $\phi(u,\,v)$와 $\eta(u,\,v)$가 각각 $S$에서 연속인 편도함수를 가지면 $$J=\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}=\left|\begin{matrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\ \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$$ 도 연속함수이고 $$\iint_{R}{f(x,\,y)dxdy}=\iint_{S}{f(x(u,\,v),\,y(u,\,v))\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|dudv}$$ 가 성립하고, 이때의 $J$를 야코비안(Jacobian)이라고 한다. 

예를들어 $x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\,(r\geq0,\,0\leq\theta\leq2\pi)$이면, $$J=\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(r,\,\theta)}=\left|\begin{matrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{matrix}\right|=r\cos^{2}\theta+r\sin\theta=r$$ 이므로 $$\iint_{R}{f(x,\,y)dA}=\iint_{S}{f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\left|\frac{\partial(x,\,y)}{\partial(u,\,v)}\right|drd\theta}=\int_{\alpha}^{\beta}{\int_{a}^{b}{f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)rdr}d\theta}$$ 이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning