[다변수 미적분학] 2. 편도함수, 연쇄법칙

[다변수 미적분학] 2. 편도함수, 연쇄법칙

함수 $z=f(x,\,y)$에서 $y$를 상수로 고정해서 $x$만의 함수로 생각해 $x$로 미분하는 것을 $f(x,\,y)$를 $x$에 대해 편미분한다고 한다. 이렇게 하여 얻은 $$f_{x}(x,\,y)=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\Delta x,\,y)-f(x,\,y)}{\Delta x}}$$ 를 $f$의 $x$에 대한 편도함수(partial derivative)라고 하고, 일변수 함수에서처럼 $$f_{x}(a,\,b)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+h,\,b)-f(a,\,b)}{h}}$$ 를 $(a,\,b)$에서 $f$의 $x$에 대한 편미분계수(partial differential coefficient)라고 한다. 또한 $$f_{y}(x,\,y)=\lim_{\Delta y\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x,\,y+\Delta y)-f(x,\,y)}{\Delta y}}$$ 를 $f$의 $y$에 대한 편도함수라고 한다.

편도함수를 다음과 같이 나타낸다. $$\begin{align*}z_{x}&,\,\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial x}f(x,\,y),\,f_{x}\\z_{y}&,\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial}{\partial y}f(x,\,y),\,f_{y}\end{align*}$$

편도함수의 기하학적 해석:

$f_{x}(a,\,b)$는 점 $P(a,\,b,\,c)\,(c=f(a,\,b))$를 지나고 $xz$평면과 평행인 평면(y=b)으로 곡면 $z=f(x,\,y)$의 그래프를 잘라서 생기는 곡선의 점 $P$에서의 접선의 기울기이다. 마찬가지로 $f_{y}(a,\,b)$는 점 $P$를 지나고 $yz$평면과 평행인 평면으로 곡면 $z=f(x,\,y)$의 그래프를 잘라서 생기는 곡선의 점 $P$에서의 접선의 기울기이다.

이변수함수 $z=f(x,\,y)$의 편도함수 $f_{x},\,f_{y}$를 $x$ 또는 $y$에 대해 한번 더 편미분하여 얻어진 함수를 $z=f(x,\,y)$의 2계 편도함수라고 하고 다음과 같이 나타낸다. $$f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\,f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\,f_{yx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

$3,\,4,\,\cdots,\,n$계 편도함수도 같은 방법으로 정의한다.

2계 편도함수 $f_{xy}$는 $f$를 $x$에 대해 편미분한 다음, $y$에 대해 편미분을 해서 얻고, $f_{yx}$는 $f$를 $y$에 대하여 편미분한 다음, $x$에 대해 편미분하여 얻는다.

점 $(a,\,b)$의 근방에서 $f_{x},\,f_{y},\,f_{xy},\,f_{yx}$가 존재하고 모두 $(a,\,b)$에서 연속이면, $$f_{xy}(a,\,b)=f_{yx}(a,\,b)$$ 이다(클레로 정리, Clairaut Theorem).

$f$의 3계 편도함수들이 $(a,\,b)$의 근방에서 존재하고 연속이면 $$f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx},\,f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}$$ 이다. 이러한 개념은 $n$계 편도함수에 대해서도 성립한다.

2변수 함수 $z=f(x,\,y)$에 대하여 $f_{x}$와 $f_{y}$가 존재해서 $\Delta z$를 $$\begin{align*}\Delta z&=f_{x}(a,\,b)\Delta x+f_{y}(a,\,b)\Delta y+\epsilon_{1}\Delta x+\epsilon_{2}\Delta y\\&\left(\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\epsilon_{1}(x,\,y)}=0,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\epsilon_{2}(x,\,y)}=0\right)\end{align*}$$ 로 나타낼 수 있으면, $f$는 $(a,\,b)$에서 미분가능하다고 한다. 

2변수 함수 $f$가 점 $(a,\,b)$의 근방에서 편도함수 $f_{x},\,f_{y}$를 갖고, 그 편도함수가 $(a,\,b)$에서 연속이면, $f$는 $(a,\,b)$에서 미분가능하다.

증명: 점 $(a,\,b)$의 근방에 속하는 임의의 점 $(x,\,y)$에서 $$f(x,\,y)-f(a,\,b)=\{f(x,\,y)-f(a,\,y)\}+\{f(a,\,y)-f(a,\,b)\}$$ 이고 $g(t)=f(t,\,y),\,G(t)=f(a,\,t)$라고 하자. $f_{x},\,f_{y}$가 존재하므로 $u(x)$와 $v(y)$가 각각 $x$와 $a$ 사이, $y$와 $b$ 사이에 존재해서 $$\begin{align*}f(x,\,y)-f(a,\,b)&=g(x)-g(a)=g'(u(x))(x-a)=f_{x}(u(x),\,y)(x-a)\\f(a,\,y)-f(a,\,b)&=G(y)-G(b)=G'(v(y))(y-b)=f_{y}(a,\,v(y))(y-b)\end{align*}$$ 이다. 그러면 $$\begin{align*}f(x,\,y)-f(a,\,b)&=f_{x}(u(x),\,y)(x-a)+f_{y}(a,\,v(y))(y-b)\\&=f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)+\{f_{x}(u(x),\,y)-f_{y}(a,\,b)\}(x-a)+\{f_{y}(a,\,v(y))-f_{y}(a,\,b)\}(y-b)\end{align*}$$ 이고 $$\epsilon_{1}(x,\,y)=f_{x}(u(x),\,y)-f_{x}(a,\,b),\,\epsilon_{2}(x,\,y)=f_{y}(a,\,v(y))-f_{y}(a,\,b)$$ 라고 하면 $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{u(x)}=a,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{v(y)}=b$$ 이므로 $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\epsilon_{1}(x,\,y)}=0,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\epsilon_{2}(a,\,b)}{\epsilon_{2}(x,\,y)}=0$$ 이고 따라서 $$f(x,\,y)-f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)+\epsilon_{1}(x\,y)(x-a)+\epsilon_{2}(x,\,y)(y-b)$$ 로 나타낼 수 있으므로 $f$는 $(a,\,b)$에서 미분가능하다.

연쇄법칙

$x=\phi(t),\,y=\psi(t),\,z=f(x,\,y)$가 각각 미분가능하면, $z$는 $t$에 대해 미분가능하고 $$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$ 이다.

증명: $f$가 미분가능하므로 $F(t)=f(x(t),\,y(t))$라 하면 $$\begin{align*}F(t+\Delta t)-F(t)&=f(x(t+\Delta t),\,y(t+\Delta t))-f(x(t),\,y(t))\\&=f_{x}(x(t),\,y(t))(x(t+\Delta t)-x(t))-f_{y}(x(t),\,y(t))(y(t+\Delta t)-y(t))\\&\,+\epsilon_{1}(x(t+\Delta t),\,y(t+\Delta t))(x(t+\Delta t)-x(t))+\epsilon_{2}(x(t+\Delta t),\,y(t+\Delta t))(y(t+\Delta t)-y(t))\end{align*}$$ 이고, $\Delta t\,\rightarrow\,0$이면, $(x(t+\Delta t),\,y(t+\Delta t))\,\rightarrow\,(x(t),\,y(t))$이므로 $$\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\epsilon_{1}(x(t+\Delta t),\,y(t+\Delta t))}=0,\,\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\epsilon_{2}(x(t+\Delta t),\,y(t+\Delta t))}=0$$ 이고 따라서 $$\begin{align*}\frac{dz}{dt}&=F'(t)=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{\Delta t}}\\&=f_{x}(x(t),\,y(t))\frac{dx}{dt}+f_{y}(x(t),\,y(t))\frac{dy}{dt}+0\cdot\frac{dx}{dt}+0\cdot\frac{dy}{dt}\\&=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\end{align*}$$ 이다.

위 결과로부터 다음의 결과를 얻는다:

$x=\phi(u,\,v),\,y=\psi(u,\,v)$가 각각 편미분 가능하고, $z=f(x,\,y)$가 미분가능하면, $z$는 $u,\,v$에 대해 편미분 가능하고 $$\begin{align*}\frac{\partial z}{\partial u}&=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial z}{\partial v}&=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\end{align*}$$

$f(x,\,y)=0$형태의 함수를 음함수라고 했었다. 위 연쇄법칙을 이 음함수에 적용하면 $$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}$$ 이고, $\displaystyle\frac{dx}{dx}=1$이므로 $f_{y}\neq0$일 때, $$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_{x}}{f_{y}}$$ 이다.

2변수 함수에 대한 평균값 정리

2변수 함수 $f(x,\,y)$가 영역 $D$에서 미분가능하고, 두 점 $P(x_{1},\,y_{1}),\,Q(x_{2},\,y_{2})\in D$을 잇는 선분의 모든 점들이 $D$에 있다고 하자. 그러면 선분 $PQ$위의 적당한 점 $R(c_{1},\,c_{2})$이 존재해서 $$f(x_{2},\,y_{2})-f(x_{1},\,y_{1})=f_{x}(c_{1},\,c_{2})(x_{2}-x_{1})+f_{y}(c_{1},\,c_{2})(y_{2}-y_{1})$$ 이다.

증명: $$g(t)=f(x_{1}+t(x_{2}-x_{1}),\,y_{1}+t(y_{2}-y_{1}))\,(0\leq t\leq1)$$ 라 하자. $g(t)$는 $t$에 대해 미분가능하므로 일변수 함수의 평균값 정리에 의해 적당한 $t_{1}\in(0,\,1)$이 존재해서 $$\begin{align*}f(x_{2},\,y_{2})-f(x_{1},\,y_{1})&=g(1)-g(0)=g'(t_{1})(1-0)\\&=f_{x}(x_{1}+t(x_{2}-x_{1}),\,y_{1}+t(x_{2}-x_{1}))+f_{y}(x_{1}+t_{1}(x_{2}-x_{1}),\,y_{1}+t_{1}(y_{2}-y_{1}))\end{align*}$$ 이다. 여기서 $c_{1}=x_{1}+t_{1}(x_{2}-x_{1}),\,c_{2}=y_{1}+t_{1}(x_{2}-x_{1})$라 하면, $$f(x_{2},\,y_{2})-f(x_{1},\,y_{1})=f_{x}(c_{1},\,c_{2})(x_{2}-x_{1})+f_{y}(c_{1},\,c_{2})(y_{2}-y_{1})$$ 이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning