[다변수 미적분학] 4. 편도함수의 응용(2: 극값, 라그랑주 승수)

[다변수 미적분학] 4. 편도함수의 응용(2: 극값, 라그랑주 승수)

극값

2변수 함수 \(z=f(x,\,y)\)에 대하여 점 \((x_{0},\,y_{0})\)의 한 근방 \(R\)이 존재해서 \(f(x_{0},\,y_{0})\geq f(x,\,y),\,(x,\,y)\in R\)이면, \(f\)는 점 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 극댓값을 갖는다고 한다.

마찬가지로 점 \((x_{0},\,y_{0})\)의 한 근방 \(R\)이 존재하여 \(f(x_{0},\,y_{0})\leq f(x,\,y),\,(x,\,y)\in R\)이면, \(f\)는 점 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 극솟값을 갖는다고 한다.

\(R\)이 \(f\)의 정의역이면, 극댓값 또는 극솟값을 \(f\)의 최댓값 또는 최솟값이라 한다.

함수 \(f\)가 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 극값을 갖는다고 하자. 만약 \(f\)가 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 편미분 가능하면 \(f_{x}(x_{0},\,y_{0})=f_{y}(x_{0},\,y_{0})=0\)이다.

참고: 함수 \(f\)가 편미분 가능하며 그 편미분 계수가 \(0\)이 되는 점 또는 \(f_{x}\) 또는 \(f_{y}\)가 존재하지 않는 점을 \(f\)의 임계점(critical point)이라고 한다.

\(f_{x}(x_{0},\,y_{0})=f_{y}(x_{0},\,y_{0})=0\)을 만족하는 함수 \(f\)에 대하여, \(xy\)평면에 \((x_{0},\,y_{0})\)를 지나는 두 직선이 존재해서 한 직선을 따라서 \(f\)가 점 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 극댓값, 다른 직선을 따라서 점 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 극솟값을 가지면, \((x_{0},\,y_{0})\)을 \(f\)의 안장점(saddle point)이라고 한다.

   

점 \((x_{0},\,y_{0})\)이 함수 \(f\)의 임계점이고, \((x_{0},\,y_{0})\)을 중심으로 하는 적당한 열린원판(\((x_{0},\,y_{0})\)의 한 근방)에서 \(f\)가 연속인 2계 편도함수를 갖는다고 하고$$D(x_{0},\,y_{0})=f_{xx}(x_{0},\,y_{0})f_{yy}(x_{0},\,y_{0})-\{f_{xy}(x_{0},\,y_{0})\}^{2}$$라 하자.

(1) \(D(x_{0},\,y_{0})>0\)이고 \(f_{xx}(x_{0},\,y_{0})<0\)이면, \(f\)는 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 극댓값을 갖는다.

(2) \(D(x_{0},\,y_{0})>0\)이고 \(f_{xx}(x_{0},\,y_{0})>0\)이면, \(f\)는 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 극솟값을 갖는다.

(3) \(D(x_{0},\,y_{0})<0\)이면, \(f\)는 \((x_{0},\,y_{0})\)에서 안장점을 갖는다.

(4) \(D(x_{0},\,y_{0})=0\)이면, \(f\)는 판정할 수 없다.(극댓값, 극솟값이거나 안장점일 수 있다.)

다음 그림의 뚜껑이 없는 직육면체 상자를 겉넓이가 \(12\text{m}^{2}\)가 되게끔 판지로 만들려고 한다.

길이, 폭, 넓이를 \(x,\,y,\,z\)라 하자. 그러면 이 상자의 부피는$$V=xyz$$이고, 겉넓이는$$2xz+2yz+xy=12$$이다. 겉넓이 식에서 \(\displaystyle z=\frac{12-xy}{2(x+y)}\)이므로$$V=xyz=\frac{12xy-x^{2}y^{2}}{2(x+y)}$$이다.$$V_{x}=\frac{y^{2}(12-2xy-x^{2})}{2(x+y)^{2}},\,V_{y}=\frac{x^{2}(12-2xy-y^{2})}{2(x+y)^{2}}$$이다. \(V\)가 최대이려면 \(V_{x}=0,\,V_{y}=0\)이어야 하나 \(V=xyz\)이므로 \(x\neq0,\,y\neq0\)이어야 한다. 따라서 다음의 방정식의 공통근을 구해야 한다.$$12-2xy-x^{2}=0,\,12-2xy-y^{2}=0$$이 방정식으로부터 \(x^{2}=y^{2}\)를 얻고, \(x>0,\,y>0\)이므로 \(x=y\)이다. 그러면 방정식 \(12-3x^{2}=0\)을 얻고, 이 식으로부터 \(\displaystyle x=2,\,y=2,\,z=\frac{12-2\cdot2}{2(2+2)}=1\)이다. 그러므로 부피의 최댓값은 \(V=4\text{m}^{3}\)이다.

라그랑주 승수

함수 \(f(x,\,y,\,z)\)가 준위곡면 \(g(x,\,y,\,z)=k\)상의 점 \(P(a,\,b,\,c)\)에서 극값을 갖는다고 하고, 준위곡면 상에 있고, 점 \(P\)를 통과하는 곡선 \(C:\,\vec{r}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t))\)에 대하여, \(\vec{r}(t_{0})=(a,\,b,\,c)\)라 하자.

함수 \(h(t)=f(x(t),\,y(t),\,z(t))\)는 \(f\)가 곡선 \(C\)에서 갖는 값을 나타내고 \(f\)는 점 \(P\)에서 극값을 가지므로 \(h(t)\)는 \(t=t_{0}\)에서 극값을 갖고 따라서 연쇄법칙에 의해$$\begin{align*}0&=h'(t_{0})\\&=f_{x}(a,\,b,\,c)x'(t_{0})+f_{y}(a,\,b,\,c)y'(t_{0})+f_{z}(a,\,b,\,c)z'(t_{0})\\&=\nabla f(a,\,b,\,c)\cdot\vec{r}'(t_{0})\end{align*}$$이다. 이때 \(\nabla g(a,\,b,\,c)\)는 \(\vec{r}'(t_{0})\)와 수직이므로 \(\nabla g(a,\,b,\,c)=0\)이고 이것은 \(\nabla f(a,\,b,\,c)\)와 \(\nabla g(a,\,b,\,c)\)가 서로 평행함을 뜻한다. 따라서 \(\nabla g(a,\,b,\,c)\neq\vec{0}\)이면, \(\lambda\in\mathbb{R}\)가 존재해서$$\nabla f(a,\,b,\,c)=\lambda\nabla g(a,\,b,\,c)$$이다. 여기서의 \(\lambda\)를 라그랑주 승수(Lagrange multiplier)라고 한다.

라그랑주 승수법(Lagrange multiplier method) 

제약조건 \(g(x,\,y,\,z)=k\)를 만족하는 \(f(x,\,y,\,z)\)의 최댓값과 최솟값을 구하기 위해$$\nabla f(x,\,y,\,z)=\lambda\nabla g(x,\,y,\,z),\,g(x,\,y,\,z)=k$$를 만족하는 모든 \(x,\,y,\,z\)와 \(\lambda\)의 값을 구하고, 이 값들을 이용해 점 \((x,\,y,\,z)\)에서 \(f\)의 값을 구한다. 구한 값 중에서 가장 큰 값이 \(f\)의 최댓값이고, 가장 작은 값이 \(f\)의 최솟값이다.

2변수함수의 경우는 다음과 같다.$$\nabla f(x,\,y)=\lambda\nabla g(x,\,y),\,g(x,\,y)=k$$

라그랑주 승수법을 이용하여 앞에서 다룬 문제를 해결하자.

이 직육면체의 부피 \(V\)와 겉넓이는 다음과 같다.$$V=xyz,\,2xz+2yz+xy=12$$이 문제에서 제약조건은 \(g(x,\,y,\,z)=2xz+2yz+xy=12\)이고, 이 제약조건 하에서 \(V=xyz\)의 최댓값을 구하려고 한다.$$\nabla V=(yz,\,xz,\,xy),\,\nabla g(x,\,y,\,z)=(2z+y,\,2z+x,\,2x+2y)$$이므로$$\begin{align*}&yz=\lambda(2z+y)\\&xz=\lambda(2z+x)\\&xy=\lambda(2x+2y)\\&2xz+2yz+xy=12\end{align*}$$이고$$\begin{align*}&xyz=\lambda(2xz+xy)\\&xyz=\lambda(2yz+xy)\\&xyz=\lambda(2xz+2yz)\,(\lambda\neq0)\end{align*}$$이다. 그러면$$2xz+xy=2yz+xy$$이고 \(xz=yz\)이므로 \(x=y\)이고,$$2yz+xy=2xz+2yz$$이므로 \(y=2z\)이고 따라서 \(x=y=2z\)이다. 이 식을 제약조건에 대입하면$$4z^{2}+4z^{2}+4z^{2}=12$$이고 \(x,\,y,\,z>0\)이므로 \(z=1,\,x=2,\,y=2\)를 얻는다. 이때의 부피는 \(V=4\text{m}^{3}\)이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning