[다변수 미적분학] 1. 2변수 함수의 정의와 극한 및 연속

[다변수 미적분학] 1. 2변수 함수의 정의와 극한 및 연속

함수 \(f:\,D\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,(D\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R})\)를 정의역이 \(D\)인 2변수 함수(Function of two variables)라고 한다. 이변수함수를 \(z=f(x,\,y)\)로 나타내고, 여기서의 변수 \(x,\,y\)는 독립변수, \(z\)는 종속변수이다.

예를 들어 원기둥의 부피는 반지름 \(r\)과 높이 \(h\)에 의해 결정되므로 이변수함수 \(V(r,\,h)=\pi r^{2}h\)로 나타낼 수 있다. 

점 \((x,\,y)\in D\)에서 \(f\)의 함숫값이 \(f(x,\,y)\)일 때, \(z=f(x,\,y)\)의 그래프 또는 \(f\)의 그래프 \(G(f)\)를$$G(f)=\{(x,\,y,\,z)\,|\,(x,\,y)\in D,\,z=f(x,\,y)\}$$로 정의한다. 2변수 함수의 그래프는 3차원 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^{3}\)에서의 곡면을 나타낸다.

2변수 함수 \(f\)의 준위곡선(level curve)은 방정식 \(f(x,\,y)=c\)(\(c\)는 \(f\)의 치역의 원소)를 만족하는 모든 점 \((x,\,y)\)들의 집합이다.

3변수 함수 \(f:\,D\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,(D\subset\mathbb{R}^{3})\)은 \((x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^{3}\)에 대해 \(f(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}\)로 대응시킨다. 일반적인 3변수 함수의 그래프는 4차원 공간에 있기 때문에 시각화 하기가 어려우나 준위곡선을 조사해서 그 형태를 대략적으로 알 수 있다.

예를 들어 3변수 함수 \(f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\)에 대해 준위곡선 \(\{(x,\,y,\,z)\,|\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=k,\,k\geq0\}\)를 조사해보면 반지름이 \(\sqrt{k}\)인 구의 형태를 나타냄을 알 수 있다.

일변수 함수의 극한 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=c\)에서 \(x\)가 \(a\)로 접근하는 경로는 \(x\,\rightarrow\,a+\), \(x\,\rightarrow\,a-\)의 두 가지 뿐이나, 2변수 함수의 극한 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)}=c\)에서 \((x,\,y)\)가 \((a,\,b)\)로 접근하는 경로는 무수히 많다. 따라서 \(f(x,\,y)\)가 \((a,\,b)\)에서 \(c\)로 수렴하려면, \((x,\,y)\)가 경로에 관계없이 \((a,\,b)\)로 접근함에 따라 \(f(x,\,y)\)가 \(c\)로 접근해야 한다.

극한 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\)는 존재하지 않는다. 그 이유는

\(x=0\)일 때, \(\displaystyle\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1\)이므로 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=-1\)이고,

\(y=0\)일 때, \(\displaystyle\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1\)이므로 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=1\)이기 때문이다.

\(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0\)이다. 그 이유는$$0\leq\frac{3x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}\leq|y|$$이고,$$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{0}=0,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{|y|}=0$$이므로 조임정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0\)이기 때문이다. 

 

2변수 함수 \(f(x,\,y),\,g(x,\,y)\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)}=c,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{g(x,\,y)}=d\)라 하면 다음 성질들이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\{f(x,\,y)+g(x,\,y)\}}=c+d\)

(2) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{kf(x,\,y)}=kc\) (\(k\)는 상수)

(3) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)g(x,\,y)}=cd\)

(4) \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\frac{f(x,\,y)}{g(x,\,y)}}=\frac{c}{d}\,(d\neq0)\)

이 성질들은 3변수 함수에 대해서도 성립한다.

2변수 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)의 근방에서 정의되고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x,\,y)}=g(y)\), \(\displaystyle\lim_{y\,\rightarrow\,b}{f(x,\,y)}=h(x)\)일 때, \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)}=c\)이면,$$\lim_{y\,\rightarrow\,b}{\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x,\,y)}}=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\lim_{y\,\rightarrow\,b}{f(x,\,y)}}$$이다(역은 성립하지 않는다).

2변수 함수 \(f(x,\,y)\)에 대하여$$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)}=f(a,\,b)$$이면, 함수 \(f(x,\,y)\)는 \((a,\,b)\)에서 연속이라고 한다. 이 성질은 3변수 함수에 대해서도 성립한다.

다음의 함수 \(f(x,\,y)\)는 연속인 반면, \(g(x,\,y)\)는 불연속이다.$$f(x,\,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&\,((x,\,y)\neq(0,\,0))\\0,&\,((x,\,y)=(0,\,0))\end{cases},\,g(x,\,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&\,((x,\,y)\neq(0,\,0))\\0,&\,((x,\,y)=(0,\,0))\end{cases}$$그 이유는 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{f(x,\,y)}=0=f(0,\,0)\)이지만 \(\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{g(x,\,y)}\)의 값이 존재하지 않기 때문이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning