[다변수 미적분학] 1. 2변수 함수의 정의와 극한 및 연속

[다변수 미적분학] 1. 2변수 함수의 정의와 극한 및 연속

함수 $f:\,D\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,(D\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R})$를 정의역이 $D$인 2변수 함수(Function of two variables)라고 한다. 이변수함수를 $z=f(x,\,y)$로 나타내고, 여기서의 변수 $x,\,y$는 독립변수, $z$는 종속변수이다.

예를 들어 원기둥의 부피는 반지름 $r$과 높이 $h$에 의해 결정되므로 이변수함수 $V(r,\,h)=\pi r^{2}h$로 나타낼 수 있다. 

점 $(x,\,y)\in D$에서 $f$의 함숫값이 $f(x,\,y)$일 때, $z=f(x,\,y)$의 그래프 또는 $f$의 그래프 $G(f)$를 $$G(f)=\{(x,\,y,\,z)\,|\,(x,\,y)\in D,\,z=f(x,\,y)\}$$ 로 정의한다. 2변수 함수의 그래프는 3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{3}$에서의 곡면을 나타낸다.

2변수 함수 $f$의 준위곡선(level curve)은 방정식 $f(x,\,y)=c$($c$는 $f$의 치역의 원소)를 만족하는 모든 점 $(x,\,y)$들의 집합이다.

3변수 함수 $f:\,D\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,(D\subset\mathbb{R}^{3})$은 $(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^{3}$에 대해 $f(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}$로 대응시킨다. 일반적인 3변수 함수의 그래프는 4차원 공간에 있기 때문에 시각화 하기가 어려우나 준위곡선을 조사해서 그 형태를 대략적으로 알 수 있다.

예를 들어 3변수 함수 $f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$에 대해 준위곡선 $\{(x,\,y,\,z)\,|\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=k,\,k\geq0\}$를 조사해보면 반지름이 $\sqrt{k}$인 구의 형태를 나타냄을 알 수 있다.

일변수 함수의 극한 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=c$에서 $x$가 $a$로 접근하는 경로는 $x\,\rightarrow\,a+$, $x\,\rightarrow\,a-$의 두 가지 뿐이나, 2변수 함수의 극한 $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)}=c$에서 $(x,\,y)$가 $(a,\,b)$로 접근하는 경로는 무수히 많다. 따라서 $f(x,\,y)$가 $(a,\,b)$에서 $c$로 수렴하려면, $(x,\,y)$가 경로에 관계없이 $(a,\,b)$로 접근함에 따라 $f(x,\,y)$가 $c$로 접근해야 한다.

극한 $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$는 존재하지 않는다. 그 이유는

$x=0$일 때, $\displaystyle\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1$이므로 $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=-1$이고,

$y=0$일 때, $\displaystyle\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1$이므로 $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=1$이기 때문이다.

$\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0$이다. 그 이유는 $$0\leq\frac{3x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}\leq|y|$$ 이고, $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{0}=0,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{|y|}=0$$ 이므로 조임정리에 의해 $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0$이기 때문이다. 

 

2변수 함수 $f(x,\,y),\,g(x,\,y)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)}=c,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{g(x,\,y)}=d$라 하면 다음 성질들이 성립한다.

(1) $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\{f(x,\,y)+g(x,\,y)\}}=c+d$

(2) $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{kf(x,\,y)}=kc$ ($k$는 상수)

(3) $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)g(x,\,y)}=cd$

(4) $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\frac{f(x,\,y)}{g(x,\,y)}}=\frac{c}{d}\,(d\neq0)$

이 성질들은 3변수 함수에 대해서도 성립한다.

2변수 함수 $f(x,\,y)$가 점 $(a,\,b)$의 근방에서 정의되고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x,\,y)}=g(y)$, $\displaystyle\lim_{y\,\rightarrow\,b}{f(x,\,y)}=h(x)$일 때, $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)}=c$이면, $$\lim_{y\,\rightarrow\,b}{\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x,\,y)}}=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\lim_{y\,\rightarrow\,b}{f(x,\,y)}}$$ 이다(역은 성립하지 않는다).

2변수 함수 $f(x,\,y)$에 대하여 $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{f(x,\,y)}=f(a,\,b)$$ 이면, 함수 $f(x,\,y)$는 $(a,\,b)$에서 연속이라고 한다. 이 성질은 3변수 함수에 대해서도 성립한다.

다음의 함수 $f(x,\,y)$는 연속인 반면, $g(x,\,y)$는 불연속이다. $$f(x,\,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&\,((x,\,y)\neq(0,\,0))\\0,&\,((x,\,y)=(0,\,0))\end{cases},\,g(x,\,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&\,((x,\,y)\neq(0,\,0))\\0,&\,((x,\,y)=(0,\,0))\end{cases}$$ 그 이유는 $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{f(x,\,y)}=0=f(0,\,0)$이지만 $\displaystyle\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(0,\,0)}{g(x,\,y)}$의 값이 존재하지 않기 때문이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning