[다변수 미적분학] 3. 편도함수의 응용(1: 방향 도함수, 기울기 벡터, 접평면과 일차 근삿값, 미분)

[다변수 미적분학] 3. 편도함수의 응용(1: 방향 도함수, 기울기 벡터, 접평면과 일차 근삿값, 미분)

방향도함수

$xy$평면 위에서 점 $P(a,\,b)$를 시점으로 하는 임의의 단위벡터 $\vec{e}=(e_{1},\,e_{2})$에 대해 점 $(x,\,y)$가 $P$를 지나고 기울기 벡터가 $\vec{e}$인 직선을 따라 움직이면, 점 $(x,\,y,\,f(x,\,y))$는 $f$의 그래프 위의 한 곡선의 자취를 따르게 된다.

이 곡선의 점 $P$에서의 순간변화율을 점 $P$에서 $f$의 $\vec{e}$방향으로의 방향도함수(directional derivative)라 하고, $D_{\vec{e}}f(a,\,b)$로 나타낸다.

점 $(a,\,b)$에서 단위벡터 $\vec{e}=(e_{1},\,e_{2})$의 방향으로의 $f(x,\,y)$의 방향도함수는 $$D_{\vec{e}}f(a,\,b)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+he_{1},\,b+he_{2})-f(a,\,b)}{h}}$$ 로 정의한다.

$\vec{e}=(1,\,0)$이면, $D_{\vec{e}}f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)$이고, $\vec{e}=(0,\,1)$이면, $D_{\vec{e}}f(a,\,b)=f_{y}(a,\,b)$이다.

$f$가 점 $(a,\,b)$에서 미분가능하고 $\vec{e}=(e_{1},\,e_{2})$가 단위벡터이면, $$D_{\vec{e}}f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)e_{1}+f_{y}(a,\,b)e_{2}$$ 이다.

증명: $g(h)=f(a+he_{1},\,b+he_{2})=f(x,\,y)\,(x=a+he_{1},\,y=b+he_{2})$라 하자. 그러면 $$\begin{align*}g'(h)&=\frac{dg}{dh}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dh}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dh}\\&=f_{x}(x,\,y)a+f_{y}(x,\,y)b\\&=f_{x}(a+he_{1},\,b+he_{2})a+f_{y}f(a+he_{1},\,b+he_{2})\end{align*}$$ 이고, $D_{\vec{e}}f(a,\,b)=g'(0)$이므로 따라서 $$D_{\vec{e}}f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)e_{1}+f_{y}(a,\,b)e_{2}$$ 이다.

기울기 벡터

함수 $f$의 1계 편도함수를 성분으로 갖는 벡터함수를 그 함수의 기울기 벡터(gradient)라 하고 $\text{grad}f$ 또는 $\nabla f$로 나타낸다. 

2변수 함수 $f$가 점 $(a,\,b)$에서 미분가능할 때, $$\nabla f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)\vec{i}+f_{y}(a,\,b)\vec{j}=(f_{x}(a,\,b),\,f_{y}(a,\,b))$$ 를 함수 $f$의 기울기 벡터로 정의한다. 여기서 $\vec{i}=(1,\,0),\,\vec{j}=(0,\,1)$이다.

2변수 함수 $f(x,\,y)$가 점 $(a,\,b)$에서 미분가능하고 $\vec{e}=(e_{1},\,e_{2})$를 단위벡터라 하면 $$\nabla f(a,\,b)\cdot\vec{e}=f_{x}(a,\,b)e_{1}+f_{y}(a,\,b)e_{2}=D_{\vec{e}}f(a,\,b)$$ 이다.

$\nabla\cdot f(a,\,b)=\vec{0}$이면, 모든 단위벡터 $\vec{e}$에 대하여 $D_{\vec{e}}f(a,\,b)=0$이고, $\nabla f(a,\,b)\neq\vec{0}$이면, $D_{e}f(a,\,b)$의 최대, 최소를 결정하는 단위벡터 $\vec{e}$를 구할 수 있다.

$\phi$를 $\nabla f(a,\,b)$와 $\vec{e}$의 사잇각이라 하면, $$D_{\vec{e}}f(a,\,b)=\nabla f(a,\,b)\cdot\vec{e}=|\nabla f(a,\,b)||\vec{e}|\cos\phi=|\nabla f(a,\,b)|\cos\phi$$ 이므로 

$\phi=0$일 때, $D_{\vec{e}}f(a,\,b)$의 최댓값은 $|\nabla f(a,\,b)|$이고, $\vec{e}$는 $\nabla f(a,\,b)$방향의 단위벡터, 즉 $\displaystyle\vec{e}=\frac{\nabla f(a,\,b)}{|\nabla f(a,\,b)|}$이다.

$\phi=\pi$일 때, $D_{\vec{e}}f(a,\,b)$의 최솟값은 $-|\nabla f(a,\,b)|$이고, $\vec{e}$는 $\nabla f(a,\,b)$와 반대 방향의 단위벡터, 즉 $\displaystyle\vec{e}=-\frac{\nabla f(a,\,b)}{|\nabla f(a,\,b)|}$이다.

함수 $f$가 점 $(a,\,b)$에서 미분가능하다고 하고 $f(x,\,y)=c$를 준위곡선이라 하자. $\nabla f(a,\,b)\neq\vec{0}$이면, $\nabla f(a,\,b)$는 준위곡선 $f(x,\,y)=c$에 직교한다. 

증명: $C:\,\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}$라 하자. $\vec{r}(t)$의 속도벡터 $$\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}$$ 는 $C$에 접하고, $f(x(t),\,y(t))=c$이므로, $$0=\frac{d}{dt}f(x(t),\,y(t))=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=\nabla f(a,\,b)\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}$$ 이므로 따라서 $\nabla f(a,\,b)$는 $f(x,\,y)=c$에 직교한다.

함수 $f(x,\,y,\,z)$가 점 $(a,\,b,\,c)$에서 연속이고, 1계 편도함수도 연속이라고 하자. 그러면 $\nabla f(a,\,b,\,c)$는 점 $(a,\,b,\,c)$를 지나는 준위곡면 $f(x,\,y,\,z)=c$의 점 $(a,\,b,\,c)$의 접평면에 직교하고, 이 때 접평면의 방정식은 $$0=f_{x}(a,\,b,\,c)(x-a)+f_{y}(a,\,b,\,c)(y-b)+f_{z}(a,\,b,\,c)(z-c)$$ 이다. 점 $(a,\,b,\,f(a,\,b))$에서의 $z=f(x,\,y)$의 접평면의 방정식은 $$z=f(a,\,b)+f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)$$ 이다.

접평면과 일차근삿값

2변수 함수 $f(x,\,y)$가 $(a,\,b)$에서 미분가능하면 $$f(x,\,y)-f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)+\epsilon_{1}(x,\,y)(x-a)+\epsilon_{2}(x,\,y)(y-b)$$ 이고 $$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\epsilon_{1}(x,\,y)}=0,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\epsilon_{2}(x,\,y)}=0$$ 이다.

여기서 $(x,\,y)$가 $(a,\,b)$에 가까우면, $$f(x,\,y)\approx f(a,\,b)+f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)$$ 이고, 근삿값 $$f(x,\,y)\approx f(a,\,b)+f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)$$ 을 접평면의 일차 근사식이라고 한다. 여기서 $h=x-a,\,k=y-b$라 하면 $$f(a+h,\,b+k)\approx f(a,\,b)+f_{x}(a,\,b)h+f_{y}(a,\,b)k$$ 이다.

미분

위의 일차근삿값을 $$f(x+h,\,y+h)-f(x,\,y)\approx f_{x}(x,\,y)h+f_{y}(x,\,y)k=\Delta f$$ 로 나타낼 수 있고, $$df=f_{x}(x,\,y)dx+f_{y}(x,\,y)dy$$ 로 나타낼 수 있으며, 이 식의 우변을 $f$의 미분(differential) 또는 전미분(total differential)이라고 한다. 즉 $$df=f_{x}(x,\,y)dx+f_{y}(x,\,y)dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$ 이다.

함수 $z=f(x,\,y)$에서 독립변수의 작은 변화인 $h,\,k$의 절댓값이 아주 작을 때, 전미분 $dz$는 증분 $$\Delta z=f(x+h,\,y+k)-f(x,\,y)$$ 의 근삿값이므로, $dz$를 $z$의 (근사)오차, $\displaystyle\frac{dz}{d}$를 $z$의 상대오차라고 한다. 또한 $\displaystyle\frac{dz}{d}\times100(\text{%})$를 백분율 오차라고 한다.  

 

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning