[다변수 미적분학] 3. 편도함수의 응용(1: 방향 도함수, 기울기 벡터, 접평면과 일차 근삿값, 미분)

[다변수 미적분학] 3. 편도함수의 응용(1: 방향 도함수, 기울기 벡터, 접평면과 일차 근삿값, 미분)

방향도함수

\(xy\)평면 위에서 점 \(P(a,\,b)\)를 시점으로 하는 임의의 단위벡터 \(\vec{e}=(e_{1},\,e_{2})\)에 대해 점 \((x,\,y)\)가 \(P\)를 지나고 기울기 벡터가 \(\vec{e}\)인 직선을 따라 움직이면, 점 \((x,\,y,\,f(x,\,y))\)는 \(f\)의 그래프 위의 한 곡선의 자취를 따르게 된다.

이 곡선의 점 \(P\)에서의 순간변화율을 점 \(P\)에서 \(f\)의 \(\vec{e}\)방향으로의 방향도함수(directional derivative)라 하고, \(D_{\vec{e}}f(a,\,b)\)로 나타낸다.

점 \((a,\,b)\)에서 단위벡터 \(\vec{e}=(e_{1},\,e_{2})\)의 방향으로의 \(f(x,\,y)\)의 방향도함수는$$D_{\vec{e}}f(a,\,b)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+he_{1},\,b+he_{2})-f(a,\,b)}{h}}$$로 정의한다.

\(\vec{e}=(1,\,0)\)이면, \(D_{\vec{e}}f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)\)이고, \(\vec{e}=(0,\,1)\)이면, \(D_{\vec{e}}f(a,\,b)=f_{y}(a,\,b)\)이다.

\(f\)가 점 \((a,\,b)\)에서 미분가능하고 \(\vec{e}=(e_{1},\,e_{2})\)가 단위벡터이면,$$D_{\vec{e}}f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)e_{1}+f_{y}(a,\,b)e_{2}$$이다.

증명: \(g(h)=f(a+he_{1},\,b+he_{2})=f(x,\,y)\,(x=a+he_{1},\,y=b+he_{2})\)라 하자. 그러면$$\begin{align*}g'(h)&=\frac{dg}{dh}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dh}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dh}\\&=f_{x}(x,\,y)a+f_{y}(x,\,y)b\\&=f_{x}(a+he_{1},\,b+he_{2})a+f_{y}f(a+he_{1},\,b+he_{2})\end{align*}$$이고, \(D_{\vec{e}}f(a,\,b)=g'(0)\)이므로 따라서$$D_{\vec{e}}f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)e_{1}+f_{y}(a,\,b)e_{2}$$이다.

기울기 벡터

함수 \(f\)의 1계 편도함수를 성분으로 갖는 벡터함수를 그 함수의 기울기 벡터(gradient)라 하고 \(\text{grad}f\) 또는 \(\nabla f\)로 나타낸다. 

2변수 함수 \(f\)가 점 \((a,\,b)\)에서 미분가능할 때,$$\nabla f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)\vec{i}+f_{y}(a,\,b)\vec{j}=(f_{x}(a,\,b),\,f_{y}(a,\,b))$$를 함수 \(f\)의 기울기 벡터로 정의한다. 여기서 \(\vec{i}=(1,\,0),\,\vec{j}=(0,\,1)\)이다.

2변수 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 미분가능하고 \(\vec{e}=(e_{1},\,e_{2})\)를 단위벡터라 하면$$\nabla f(a,\,b)\cdot\vec{e}=f_{x}(a,\,b)e_{1}+f_{y}(a,\,b)e_{2}=D_{\vec{e}}f(a,\,b)$$이다.

\(\nabla\cdot f(a,\,b)=\vec{0}\)이면, 모든 단위벡터 \(\vec{e}\)에 대하여 \(D_{\vec{e}}f(a,\,b)=0\)이고, \(\nabla f(a,\,b)\neq\vec{0}\)이면, \(D_{e}f(a,\,b)\)의 최대, 최소를 결정하는 단위벡터 \(\vec{e}\)를 구할 수 있다.

\(\phi\)를 \(\nabla f(a,\,b)\)와 \(\vec{e}\)의 사잇각이라 하면,$$D_{\vec{e}}f(a,\,b)=\nabla f(a,\,b)\cdot\vec{e}=|\nabla f(a,\,b)||\vec{e}|\cos\phi=|\nabla f(a,\,b)|\cos\phi$$이므로 

\(\phi=0\)일 때, \(D_{\vec{e}}f(a,\,b)\)의 최댓값은 \(|\nabla f(a,\,b)|\)이고, \(\vec{e}\)는 \(\nabla f(a,\,b)\)방향의 단위벡터, 즉 \(\displaystyle\vec{e}=\frac{\nabla f(a,\,b)}{|\nabla f(a,\,b)|}\)이다.

\(\phi=\pi\)일 때, \(D_{\vec{e}}f(a,\,b)\)의 최솟값은 \(-|\nabla f(a,\,b)|\)이고, \(\vec{e}\)는 \(\nabla f(a,\,b)\)와 반대 방향의 단위벡터, 즉 \(\displaystyle\vec{e}=-\frac{\nabla f(a,\,b)}{|\nabla f(a,\,b)|}\)이다.

함수 \(f\)가 점 \((a,\,b)\)에서 미분가능하다고 하고 \(f(x,\,y)=c\)를 준위곡선이라 하자. \(\nabla f(a,\,b)\neq\vec{0}\)이면, \(\nabla f(a,\,b)\)는 준위곡선 \(f(x,\,y)=c\)에 직교한다. 

증명: \(C:\,\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}\)라 하자. \(\vec{r}(t)\)의 속도벡터$$\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}$$는 \(C\)에 접하고, \(f(x(t),\,y(t))=c\)이므로,$$0=\frac{d}{dt}f(x(t),\,y(t))=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=\nabla f(a,\,b)\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}$$이므로 따라서 \(\nabla f(a,\,b)\)는 \(f(x,\,y)=c\)에 직교한다.

함수 \(f(x,\,y,\,z)\)가 점 \((a,\,b,\,c)\)에서 연속이고, 1계 편도함수도 연속이라고 하자. 그러면 \(\nabla f(a,\,b,\,c)\)는 점 \((a,\,b,\,c)\)를 지나는 준위곡면 \(f(x,\,y,\,z)=c\)의 점 \((a,\,b,\,c)\)의 접평면에 직교하고, 이 때 접평면의 방정식은$$0=f_{x}(a,\,b,\,c)(x-a)+f_{y}(a,\,b,\,c)(y-b)+f_{z}(a,\,b,\,c)(z-c)$$이다. 점 \((a,\,b,\,f(a,\,b))\)에서의 \(z=f(x,\,y)\)의 접평면의 방정식은$$z=f(a,\,b)+f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)$$이다.

접평면과 일차근삿값

2변수 함수 \(f(x,\,y)\)가 \((a,\,b)\)에서 미분가능하면$$f(x,\,y)-f(a,\,b)=f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)+\epsilon_{1}(x,\,y)(x-a)+\epsilon_{2}(x,\,y)(y-b)$$이고$$\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\epsilon_{1}(x,\,y)}=0,\,\lim_{(x,\,y)\,\rightarrow\,(a,\,b)}{\epsilon_{2}(x,\,y)}=0$$이다.

여기서 \((x,\,y)\)가 \((a,\,b)\)에 가까우면,$$f(x,\,y)\approx f(a,\,b)+f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)$$이고, 근삿값$$f(x,\,y)\approx f(a,\,b)+f_{x}(a,\,b)(x-a)+f_{y}(a,\,b)(y-b)$$을 접평면의 일차 근사식이라고 한다. 여기서 \(h=x-a,\,k=y-b\)라 하면$$f(a+h,\,b+k)\approx f(a,\,b)+f_{x}(a,\,b)h+f_{y}(a,\,b)k$$이다.

미분

위의 일차근삿값을$$f(x+h,\,y+h)-f(x,\,y)\approx f_{x}(x,\,y)h+f_{y}(x,\,y)k=\Delta f$$로 나타낼 수 있고,$$df=f_{x}(x,\,y)dx+f_{y}(x,\,y)dy$$로 나타낼 수 있으며, 이 식의 우변을 \(f\)의 미분(differential) 또는 전미분(total differential)이라고 한다. 즉$$df=f_{x}(x,\,y)dx+f_{y}(x,\,y)dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$이다.

함수 \(z=f(x,\,y)\)에서 독립변수의 작은 변화인 \(h,\,k\)의 절댓값이 아주 작을 때, 전미분 \(dz\)는 증분$$\Delta z=f(x+h,\,y+k)-f(x,\,y)$$의 근삿값이므로, \(dz\)를 \(z\)의 (근사)오차, \(\displaystyle\frac{dz}{d}\)를 \(z\)의 상대오차라고 한다. 또한 \(\displaystyle\frac{dz}{d}\times100(\text{%})\)를 백분율 오차라고 한다.  

 

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning