[다변수 미적분학] 7. 선적분

[다변수 미적분학] 7. 선적분

정적분을 이용하여 일정한 두께의 막대의 무게를 구할 수 있고, $x$축을 따라 움직이는 힘이 한 일도 계산할 수 있다. 이러한 계산은 곡선 상에서도 가능하고, 이 것을 선적분(line integral)이라고 정의한다.

여기에서 곡선은 평면 또는 공간 상의 점들의 집합으로 표현되지만, 하나의 점(point)이 움직여 그려나가는 궤적이라고도 할 수 있다.

이때 곡선을 그려 나가는 방향을 그 곡선의 방향(orientation)이라 하고, 방향을 함께 가지고 있는 곡선을 유향곡선(oriented curve)이라고 한다.

주어진 한 곡선에 대해 항상 주어진 방향과 그 반대방향을 각각 가진 두 개의 유향곡선을 생각할 수 있다. 이때 하나의 유향곡선을 $C$라고 하면, 집합으로써 동일하나 방향이 반대인 유향곡선을 $-C$로 나타낸다.

$C$를 유향곡선이라 하자. 구간 $I$상의 함수 $\vec{r}:\,I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$에 대해서 다음 조건이 성립하면, 함수 $\vec{r}(t)$을 곡선 $C$의 매개변수방정식 또는 함수라고 한다.

(i) 집합으로서 $C=\{\vec{r}(t)\,|\,t\in I\}$이다.

(ii) 매개변수 $t$가 증가할 때, 점 $\vec{r}(t)$가 움직이는 방향이 $C$의 방향과 같다.

여기서 구간 $I$가 닫힌구간 $I=[a,\,b]$일 때, 점 $\vec{r}(a)$를 $C$의 시점, 점 $\vec{r}(b)$를 $C$의 종점이라고 한다.

곡선은 매개변수방정식과 동일하므로 다음과 같이 표현할 수 있다:

매개변수방정식 $\vec{r}:\,I\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$의 $x$성분함수를 $x(t)$, $y$성분함수를 $y(t)$, $z$성분함수를 $z(t)$라 하면, 다음과 같다. $$\vec{r}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t))\,(t\in I)$$ 여기서 모든 성분 $x(t),\,y(t),\,z(t)$가 한 점 $t_{0}\in I$에서 미분가능하고, 그 도함수가 연속이고, $0$이 아닐 때, 즉 $\vec{r}'(t_{0})=(x'(t_{0}),\,y'(t_{0}),\,z'(t_{0}))\neq\vec{0}$이면, $\vec{r}(t)$는 $t_{0}\in I$에서 매끄러운(smooth) 곡선이라고 한다.

공간 상의 곡선 $C$는 유한하며, $f(x,\,y,\,z)$는 곡선 $C$ 상에서 정의되는 함수라 하자. 

곡선 $C$를 $n$개의 부분곡선들로 분할하고, 그 분할점들을 시점부터 종점까지 차례로 $P_{0},\,P_{1},\,\cdots,\,P_{n}\,(P_{i}(x_{i},\,y_{i},\,z_{i}))$라 하자.

임의의 $P_{i}^{*}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\,(t_{i}^{*}\in[t_{i-1},\,t_{i}])$에 대하여 다음의 합 $$\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta s_{i}},\,\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta x_{i}}$$ 의 극한이 존재하면, 함수 $f$는 곡선 $C$를 따라서 선적분 가능하다고 하고, 그 극한값을 "$C$를 따라서 $f$의 선적분(line integral along $C$)"이라 하며, $\displaystyle\int_{C}{f(x,\,y,\,z)ds}$ 또는 $\displaystyle\int_{C}{fds}$로 나타내고 $$\int_{C}{fds}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta s_{i}}}$$ 이다. 이때 다음 등식들이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{C}{fdx}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta x_{i}}}\\ \int_{C}{fdy}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta y_{i}}}\\ \int_{C}{fdz}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta z_{i}}}\end{align*}$$

매끄러운 곡선 $C$에 대하여 $f,\,g$가 $C$를 따라서 선적분 가능하다고 하자. 그러면 다음 성질들이 성립한다.

(1) $\displaystyle\int_{C}{kfds}=k\int_{C}{fds}$ ($k$는 임의의 상수)

(2) $\displaystyle\int_{C}{(f+g)ds}=\int_{C}{fds}+\int_{C}{gds}$

곡선 $C$가 매개변수방정식 $\vec{r}(t)=(x(t),\,y(t),\,z(t))\,(t\in[a,\,b])$로 나타날 경우, 선적분을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}\int_{C}{fds}&=\int_{a}^{b}{f(\vec{r}(t))|\vec{r}(t)|dt}=\int_{a}^{b}{f(x(t),\,y(t),\,z(t))\sqrt{\{x'(t)\}^{2}+\{y'(t)\}^{2}+\{z'(t)\}^{2}}dt}\\ \int_{C}{fdx}&=\int_{a}^{b}{f(\vec{r}(t))x'(t)dt}=\int_{a}^{b}{f(x(t),\,y(t),\,z(t))x'(t)dt}\\ \int_{C}{fdy}&=\int_{a}^{b}{f(\vec{r}(t))y'(t)dt}=\int_{a}^{b}{f(x(t),\,y(t),\,z(t))y'(t)dt}\\ \int_{C}{fdz}&=\int_{a}^{b}{f(\vec{r}(t))z'(t)dt}=\int_{a}^{b}{f(x(t),\,y(t),\,z(t))z'(t)dt}\end{align*}$$

매끄러운 곡선 $C$에 대하여 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{-C}{fds}&=-\int_{C}{fds}\\ \int_{-C}{fdx}&=-\int_{C}{fdx}\\ \int_{-C}{fdy}&=-\int_{C}{fdy}\\ \int_{-C}{fdz}&=-\int_{C}{fdz}\end{align*}$$

$C$가 매끄러운 곡선조각 $C_{1},\,\cdots,\,C_{n}$들로 구성되어 있을 때, $C$를 구분적으로 매끄러운 곡선(piecewise-smooth curve)이라 하고, $C$에서의 선적분을 다음과 같이 정의한다. $$\begin{align*}\int_{C}{fds}&=\int_{C_{1}}{fds}+\cdots+\int_{C_{n}}{fds}\\ \int_{C}{fdx}&=\int_{C_{1}}{fdx}+\cdots+\int_{C_{n}}{fdx}\\ \int_{C}{fdy}&=\int_{C_{1}}{fdy}+\cdots+\int_{C_{n}}{fdy}\\ \int_{C}{fdz}&=\int_{C_{1}}{fdz}+\cdots+\int_{C_{n}}{fdz}\end{align*}$$

* $f(x,\,y)\geq0$이면, $\displaystyle\int_{C}{f(x,\,y)ds}$는 밑이 곡선 $C$이고, 점 $(x,\,y)$에서의 높이가 $f(x,\,y)$인 울타리 또는 장막의 한 측면의 넓이이다.

  

*연속적인 곡선의 밀도함수가 $\delta(x,\,y,\,z)$(단위길이당 질량)이면, 질량은 $\displaystyle M=\int_{C}{\delta(x,\,y,\,z)ds}$이고, 좌표평면에 대한 1차 모멘트는 $$M_{yz}=\int_{C}{x\delta ds},\,M_{xz}=\int_{C}{y\delta ds},\,M_{xy}=\int_{C}{z\delta ds}$$ 이므로, 질량중심좌표는 $$\overline{x}=\frac{M_{yz}}{M},\,\overline{y}=\frac{M_{xz}}{M},\,\overline{z}=\frac{M_{xy}}{M}$$ 이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

https://math.libretexts.org/TextMaps/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/16%3A_Vector_Calculus/16.2%3A_Line_Integrals