[다변수 미적분학] 10. 면적분

[다변수 미적분학] 10. 면적분

3차원 공간에서의 두 벡터 \(\vec{A},\,\vec{B}\)의 외적(cross product) \(\vec{A}\times\vec{B}\)는 벡터 \(\vec{A}\), \(\vec{B}\)와 동시에 수직이고 크기가 \(|\vec{A}\times\vec{B}|=|\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta\)인 벡터이다.

\(\vec{A}=(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})\), \(\vec{B}=(b_{1},\,b_{2},\,b_{3})\)일 때 \(\vec{A}\times\vec{B}\)는 다음과 같다.$$\begin{align*}\vec{A}\times\vec{B}&=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a_{2}&a_{3}\\ b_{2}&b_{3}\end{matrix}\right|\vec{i}-\left|\begin{matrix}a_{1}&a_{3}\\ b_{2}&b_{3}\end{matrix}\right|\vec{j}+\left|\begin{matrix}a_{1}&a_{2} \\b_{1}&b_{2}\end{matrix}\right|\vec{k}\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\vec{i}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\vec{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\vec{k}\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\,-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\,a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\end{align*}$$\(D\subset\mathbb{R}^{2}\)를 2차원 평면의 영역이라 하고 \(S\subset\mathbb{R}^{3}\)를 3차원 공간의 곡면이라 할 때 매개변수방정식 \(\sigma:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\), \(\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v))\)에 대하여 \(S=\{\sigma(u,\,v)\,|\,(u,\,v)\in D\}\)일 때, \(\sigma:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}\)를 곡면 \(S\)의 매개변수방정식이라고 한다. 여기서 \(u,\,v\)를 매개변수, \(D\)를 매개변수의 영역, \(x(u,\,v)\), \(y(u,\,v)\), \(z(u,\,v)\)를 각각 \(\sigma\)함수의 \(x,\,y,\,z\)성분함수라고 하고 \(x,\,y,\,z\)가 미분가능할 때 \(S\)를 미분가능한 곡면이라고 한다.

\((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)가 \(S\) 내부의 한 점이라고 가정하자. 즉, \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\in S\)이고 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\notin \partial S\)(\(\partial S\)는 \(S\)의 경계)이다. \(\sigma(u,\,v)\)가 매개변수방정식이므로 \(D\)상의 한 점 \((u_{0},\,v_{0})\)가 존재해서 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=\sigma(u_{0},\,v_{0})\)이다. 점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)를 지나는 곡면 \(S\)위의 두 곡선 \(C_{u}\)와 \(C_{v}\)를 다음과 같이 정의하자.$$C_{v}=\{\sigma(u,\,v_{0})\,|\,(u,\,v_{0})\in D\},\,C_{v}=\{\sigma(u_{0},\,v)\,|\,(u_{0},\,v)\in D\}$$그러면 다음과 같이 정의되는 \(\phi(u)\)와 \(\psi(v)\)는 각각 매개변수 \(u\)와 \(v\)로 표현되는 3차원 공간의 곡선이다.

$$\begin{align*}\phi(u)&=\sigma(u,\,v_{0})=(x(u,\,v_{0}),\,y(u,\,v_{0}),\,z(u,\,v_{0}))\\ \psi(v)&=\sigma(u_{0},\,v)=(x(u_{0},\,v),\,y(u_{0},\,v),\,z(u_{0},\,v))\end{align*}$$따라서$$\begin{align*}\frac{d\phi}{du}(u_{0})&=\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})=(x_{u}(u_{0},\,v_{0}),\,y_{u}(u_{0},\,v_{0}),\,z_{u}(u_{0},\,v_{0}))\\ \frac{d\psi}{dv}(v_{0})&=\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})=(x_{v}(u_{0},\,v_{0}),\,y_{v}(u_{0},\,v_{0}),\,z_{v}(u_{0},\,v_{0}))\end{align*}$$는 각각 점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)에서 곡선의 속도를 나타내는 접선벡터이다. 곡선 \(C_{u}\)와 \(C_{v}\)가 모두 곡면 \(S\)에 포함되므로 \(\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\)와 \(\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})\)는 점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)에서 곡면 \(S\)에 접하는 접벡터이다. 두 접벡터 \(\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\)와 \(\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})\)가 평행이 아니라면 두 접벡터를 포함하는 곡면 \(S\)의 접평면이 하나 존재한다. \(\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\times\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})\)는 \(\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\)와 \(\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})\)는 \(\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\), \(\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})\)와 동시에 수직이므로 이 접평면의 점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)에서의 법선벡터가 되고 따라서 곡면 \(S\)의 점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)에서의 단위법선벡터는 다음과 같다.$$\vec{n}=\frac{\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\times\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})}{|\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\times\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})|}$$매개변수 영역 \(D\)의 모든 점 \((u,\,v)\)에서 \(\sigma_{u}(u,\,v)\)와 \(\sigma_{v}(u,\,v)\)가 평행이 아닐 때, \(\sigma(u,\,v)\)를 매끄러운 매개변수방정식이라고 하며, 곡면 \(S\)가 매끄러운 매개변수방정식으로 표현될 때 매끄러운 곡면이라고 한다. 

곡면 \(S\)가 넓이가 유한인 매끄러운 곡면이라 하고 \(f:S\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 \(S\)에서 정의된 연속함수라고 하자. 곡면 \(S\)를 \(n\)개의 부분곡면 \(S_{1},\,S_{2},\,...,\,S_{n}\)들로 분할해서 부분곡면 \(S_{i}\)의 넓이를 \(\Delta S_{i}\), \(\Delta S=\max\{\Delta S_{1},\,...,\,\Delta S_{n}\}\)이라 하자.

각 부분곡면 \(S_{i}\)에서 임의의 한 점 \(P_{i}^{*}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\)을 선택하고 정적분의 정의와 마찬가지로 다음과 같은 리만합을 생각하자.$$\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta S_{i}}$$곡면 \(S\)를 점점 더 작은 부분곡면들로 분할하여 \(\Delta S\,\rightarrow\,0\)이 될 때, 앞의 리만합이 하나의 값으로 수렴하면, 함수 \(f\)는 곡면 \(S\)에서 적분가능하다고 하고 이때 수렴하는 극한값을 \(S\)에서 \(f\)의 면적분이라 하며 다음과 같이 나타낸다.$$\iint_{S}{f(x,\,y,\,z)dS}=\lim_{\Delta S\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta S_{i}}}$$\(S\)의 매끄러운 매개변수방정식이 다음과 같다고 하자.$$\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)),\,(u,\,v)\in D$$편의상 \(D\)가 직사각형영역 \(D=[a,\,b]\times[c,\,d]\)라고 가정하고 \(D\)를 \(n\)개의 작은 직사각형 \(D_{i}=[u_{i},\,u_{i+1}]\times[v_{i},\,v_{i+1}]\)로 분할하자. \(\Delta u_{i}=u_{i+1}-u_{i}\), \(\Delta v_{i}=v_{i+1}-v_{i}\)라고 하면 \(D_{i}\)의 넓이 \(\Delta D_{i}\)는 \(\Delta D_{i}=\Delta u_{i}\Delta v_{i}\)이다. 한편 \(S_{i}=\{\sigma(u,\,v)\,|\,(u,\,v)\in D_{i}\}\)라고 하면, \(S_{1},\,S_{2},\,...,\,S_{n}\)들은 곡면 \(S\)의 분할이 된다. 부분영역 \(D_{i}\)가 매우 작다고 가정할 때(\(\Delta u_{i},\,\Delta v_{i}\,\rightarrow\,0\)),$$\Delta S_{i}\approx|\sigma_{u}(u_{i},\,v_{i})\times\sigma_{v}(u_{i},\,v_{i})|\Delta D_{i}$$이므로 따라서$$\begin{align*}\Delta u&=\max\{\Delta u_{1},\,...,\,\Delta u_{n}\}\\ \Delta v&=\max\{\Delta v_{1},\,...,\,\Delta v_{n}\}\end{align*}$$라고 하면 \(\sigma(u,\,v)\)가 연속이므로 다음이 성립한다.$$\lim_{\Delta u,\,\Delta v\,\rightarrow\,0}{(\Delta S_{i}-|\sigma_{u}(u_{i},\,v_{i})\times\sigma_{v}(u_{i},\,v_{i})|\Delta D_{i})}=0$$점 \((u_{i}^{*},\,v_{i}^{*})\in D\)를 점 \((x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\in S\)에 대하여 \((x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})=\sigma(u_{i}^{*},\,v_{i}^{*})\)인 점이라고 하자. 그러면 리만합을 다음과 같이 나타낼 수 있고$$\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta S_{i}}\approx\sum_{i=1}^{n}{f(\sigma(u_{i}^{*},\,v_{i}^{*}))|\sigma_{u}(u_{i},\,v_{i})\times\sigma_{v}(u_{i},\,v_{i})|\Delta D_{i}}$$\(f(\sigma(u,\,v))\)와 \(|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|\)가 각각 \(D\)에서 연속이므로 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\iint_{S}{f(x,\,y,\,z)dS}&=\lim_{\Delta S\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta S_{i}}}\\&=\lim_{\Delta u,\,\Delta v\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\sigma(u_{i}^{*},\,v_{i}^{*}))|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|\Delta D_{i}}}\\&=\iint_{D}{f(\sigma(u,\,v))|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|dudv}\end{align*}$$따라서 이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다.

곡면 \(S\)가 유한 넓이의 매끄러운 곡면이라 하고 \(f:S\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 \(S\)에서 정의된 연속함수라 하자.$$\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)),\,(u,\,v)\in D$$가 \(S\)의 매끄러운 방정식이라고 하면 곡면 \(S\)에서 함수 \(f\)의 면적분(surface integral)은 다음과 같다.$$\iint_{S}{f(x,\,y,\,z)dS}=\iint_{D}{f(\sigma(u,\,v))|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|dudv}$$곡면 \(S\)에서 \(f(x,\,y,\,z)=1\)이면, \(\displaystyle\iint_{S}{dS}\)는 \(S\)의 넓이이다. 

위의 결과로부터 다음의 결과를 얻는다. 

\(z=h(x,\,y)\)가 영역 \(D\subset\mathbb{R}^{2}\)에서 미분가능한 함수이고 그 그래프를 \(S=\{(x,\,y,\,h(x,\,y))\,|\,(x,\,y)\in D\}\)라고 하자. 그러면 연속함수 \(f:S\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\iint_{S}{f(x,\,y,\,z)dS}=\iint_{D}{f(x,\,y,\,h(x,\,y))\sqrt{h_{x}^{2}+h_{y}^{2}+1}dxdy}$$\(\sigma(x,\,y)=(x,\,y,\,h(x,\,y))\)가 \(S\)의 매끄러운 매개변수방정식이고$$\sigma_{x}=(1,\,0,\,h_{x}),\,\sigma_{y}=(0,\,1,\,h_{y})$$이므로$$\sigma_{x}(x,\,y)\times\sigma_{y}(x,\,y)=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&h_{x}\\0&1&h_{y}\end{matrix}\right|=(-h_{x},\,-h_{y},\,1)$$이고$$|\sigma_{x}(x,\,y)\times\sigma_{y}(x,\,y)|=\sqrt{h_{x}^{2}+h_{y}^{2}+1}$$이므로 이 결과가 성립한다.         

이 결과를 이용하여 곡선 \(y=f(x)\,(a\leq x\leq b)\)를 \(x\)축에 대해 회전시켜 얻은 곡면 \(S\)의 겉넓이를 구할 수 있다. 이때 \(f(x)\geq0\), \(f'\)은 연속이다. 이 곡면 \(S\)의 매개변수방정식 \(\sigma(x,\,\theta)\)는 다음과 같고$$x=x,\,y=f(x)\cos\theta,\,z=f(x)\sin\theta,\,a\leq x\leq b,\,0\leq\theta\leq2\pi$$이때$$\begin{align*}\sigma_{x}(x,\,\theta)&=\vec{i}+f'(x)\cos\theta\vec{j}+f'(x)\sin\theta\vec{k}\\ \sigma_{\theta}&=-f(x)\sin\theta\vec{j}+f(x)\cos\theta\vec{k}\end{align*}$$이며$$\sigma_{x}(x,\,\theta)\times\sigma_{\theta}(x,\,\theta)=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&f'(x)\cos\theta&f'(x)\sin\theta\\0&-f(x)\sin\theta&f(x)\cos\theta\end{matrix}\right|=(f(x)f'(x),\,-f(x)\cos\theta,\,-f(x)\sin\theta)$$이므로$$|\sigma_{x}(x,\,\theta)\times\sigma_{\theta}(x,\,\theta)|=f(x)\sqrt{1+\left\{f'(x)\right\}^{2}}\,(\because\,f(x)\geq0)$$이고 따라서 \(S\)의 넓이는 다음과 같고 이것은 정적분을 이용하여 구한 결과와 같은 것이다.$$\begin{align*}A&=\iint_{D}{|\sigma_{x}(x,\,\theta)\times\sigma_{\theta}(x,\,\theta)|dxd\theta}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\int_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}d\theta}\\&=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}\end{align*}$$

참고자료:

미적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning