[다변수 미적분학] 10. 면적분

[다변수 미적분학] 10. 면적분

3차원 공간에서의 두 벡터 $\vec{A},\,\vec{B}$의 외적(cross product) $\vec{A}\times\vec{B}$는 벡터 $\vec{A}$, $\vec{B}$와 동시에 수직이고 크기가 $|\vec{A}\times\vec{B}|=|\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta$인 벡터이다.

$\vec{A}=(a_{1},\,a_{2},\,a_{3})$, $\vec{B}=(b_{1},\,b_{2},\,b_{3})$일 때 $\vec{A}\times\vec{B}$는 다음과 같다. $$\begin{align*}\vec{A}\times\vec{B}&=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a_{2}&a_{3}\\ b_{2}&b_{3}\end{matrix}\right|\vec{i}-\left|\begin{matrix}a_{1}&a_{3}\\ b_{2}&b_{3}\end{matrix}\right|\vec{j}+\left|\begin{matrix}a_{1}&a_{2} \\b_{1}&b_{2}\end{matrix}\right|\vec{k}\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\vec{i}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\vec{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\vec{k}\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\,-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\,a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\end{align*}$$ $D\subset\mathbb{R}^{2}$를 2차원 평면의 영역이라 하고 $S\subset\mathbb{R}^{3}$를 3차원 공간의 곡면이라 할 때 매개변수방정식 $\sigma:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$, $\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v))$에 대하여 $S=\{\sigma(u,\,v)\,|\,(u,\,v)\in D\}$일 때, $\sigma:D\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{3}$를 곡면 $S$의 매개변수방정식이라고 한다. 여기서 $u,\,v$를 매개변수, $D$를 매개변수의 영역, $x(u,\,v)$, $y(u,\,v)$, $z(u,\,v)$를 각각 $\sigma$함수의 $x,\,y,\,z$성분함수라고 하고 $x,\,y,\,z$가 미분가능할 때 $S$를 미분가능한 곡면이라고 한다.

$(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$가 $S$ 내부의 한 점이라고 가정하자. 즉, $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\in S$이고 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\notin \partial S$($\partial S$는 $S$의 경계)이다. $\sigma(u,\,v)$가 매개변수방정식이므로 $D$상의 한 점 $(u_{0},\,v_{0})$가 존재해서 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=\sigma(u_{0},\,v_{0})$이다. 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$를 지나는 곡면 $S$위의 두 곡선 $C_{u}$와 $C_{v}$를 다음과 같이 정의하자. $$C_{v}=\{\sigma(u,\,v_{0})\,|\,(u,\,v_{0})\in D\},\,C_{v}=\{\sigma(u_{0},\,v)\,|\,(u_{0},\,v)\in D\}$$ 그러면 다음과 같이 정의되는 $\phi(u)$와 $\psi(v)$는 각각 매개변수 $u$와 $v$로 표현되는 3차원 공간의 곡선이다.

$$\begin{align*}\phi(u)&=\sigma(u,\,v_{0})=(x(u,\,v_{0}),\,y(u,\,v_{0}),\,z(u,\,v_{0}))\\ \psi(v)&=\sigma(u_{0},\,v)=(x(u_{0},\,v),\,y(u_{0},\,v),\,z(u_{0},\,v))\end{align*}$$ 따라서 $$\begin{align*}\frac{d\phi}{du}(u_{0})&=\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})=(x_{u}(u_{0},\,v_{0}),\,y_{u}(u_{0},\,v_{0}),\,z_{u}(u_{0},\,v_{0}))\\ \frac{d\psi}{dv}(v_{0})&=\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})=(x_{v}(u_{0},\,v_{0}),\,y_{v}(u_{0},\,v_{0}),\,z_{v}(u_{0},\,v_{0}))\end{align*}$$ 는 각각 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$에서 곡선의 속도를 나타내는 접선벡터이다. 곡선 $C_{u}$와 $C_{v}$가 모두 곡면 $S$에 포함되므로 $\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})$와 $\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})$는 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$에서 곡면 $S$에 접하는 접벡터이다. 두 접벡터 $\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})$와 $\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})$가 평행이 아니라면 두 접벡터를 포함하는 곡면 $S$의 접평면이 하나 존재한다. $\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\times\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})$는 $\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})$와 $\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})$는 $\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})$, $\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})$와 동시에 수직이므로 이 접평면의 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$에서의 법선벡터가 되고 따라서 곡면 $S$의 점 $(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$에서의 단위법선벡터는 다음과 같다. $$\vec{n}=\frac{\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\times\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})}{|\sigma_{u}(u_{0},\,v_{0})\times\sigma_{v}(u_{0},\,v_{0})|}$$ 매개변수 영역 $D$의 모든 점 $(u,\,v)$에서 $\sigma_{u}(u,\,v)$와 $\sigma_{v}(u,\,v)$가 평행이 아닐 때, $\sigma(u,\,v)$를 매끄러운 매개변수방정식이라고 하며, 곡면 $S$가 매끄러운 매개변수방정식으로 표현될 때 매끄러운 곡면이라고 한다. 

곡면 $S$가 넓이가 유한인 매끄러운 곡면이라 하고 $f:S\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $S$에서 정의된 연속함수라고 하자. 곡면 $S$를 $n$개의 부분곡면 $S_{1},\,S_{2},\,...,\,S_{n}$들로 분할해서 부분곡면 $S_{i}$의 넓이를 $\Delta S_{i}$, $\Delta S=\max\{\Delta S_{1},\,...,\,\Delta S_{n}\}$이라 하자.

각 부분곡면 $S_{i}$에서 임의의 한 점 $P_{i}^{*}(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})$을 선택하고 정적분의 정의와 마찬가지로 다음과 같은 리만합을 생각하자. $$\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta S_{i}}$$ 곡면 $S$를 점점 더 작은 부분곡면들로 분할하여 $\Delta S\,\rightarrow\,0$이 될 때, 앞의 리만합이 하나의 값으로 수렴하면, 함수 $f$는 곡면 $S$에서 적분가능하다고 하고 이때 수렴하는 극한값을 $S$에서 $f$의 면적분이라 하며 다음과 같이 나타낸다. $$\iint_{S}{f(x,\,y,\,z)dS}=\lim_{\Delta S\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta S_{i}}}$$ $S$의 매끄러운 매개변수방정식이 다음과 같다고 하자. $$\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)),\,(u,\,v)\in D$$ 편의상 $D$가 직사각형영역 $D=[a,\,b]\times[c,\,d]$라고 가정하고 $D$를 $n$개의 작은 직사각형 $D_{i}=[u_{i},\,u_{i+1}]\times[v_{i},\,v_{i+1}]$로 분할하자. $\Delta u_{i}=u_{i+1}-u_{i}$, $\Delta v_{i}=v_{i+1}-v_{i}$라고 하면 $D_{i}$의 넓이 $\Delta D_{i}$는 $\Delta D_{i}=\Delta u_{i}\Delta v_{i}$이다. 한편 $S_{i}=\{\sigma(u,\,v)\,|\,(u,\,v)\in D_{i}\}$라고 하면, $S_{1},\,S_{2},\,...,\,S_{n}$들은 곡면 $S$의 분할이 된다. 부분영역 $D_{i}$가 매우 작다고 가정할 때($\Delta u_{i},\,\Delta v_{i}\,\rightarrow\,0$), $$\Delta S_{i}\approx|\sigma_{u}(u_{i},\,v_{i})\times\sigma_{v}(u_{i},\,v_{i})|\Delta D_{i}$$ 이므로 따라서 $$\begin{align*}\Delta u&=\max\{\Delta u_{1},\,...,\,\Delta u_{n}\}\\ \Delta v&=\max\{\Delta v_{1},\,...,\,\Delta v_{n}\}\end{align*}$$ 라고 하면 $\sigma(u,\,v)$가 연속이므로 다음이 성립한다. $$\lim_{\Delta u,\,\Delta v\,\rightarrow\,0}{(\Delta S_{i}-|\sigma_{u}(u_{i},\,v_{i})\times\sigma_{v}(u_{i},\,v_{i})|\Delta D_{i})}=0$$ 점 $(u_{i}^{*},\,v_{i}^{*})\in D$를 점 $(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\in S$에 대하여 $(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})=\sigma(u_{i}^{*},\,v_{i}^{*})$인 점이라고 하자. 그러면 리만합을 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta S_{i}}\approx\sum_{i=1}^{n}{f(\sigma(u_{i}^{*},\,v_{i}^{*}))|\sigma_{u}(u_{i},\,v_{i})\times\sigma_{v}(u_{i},\,v_{i})|\Delta D_{i}}$$ $f(\sigma(u,\,v))$와 $|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|$가 각각 $D$에서 연속이므로 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\iint_{S}{f(x,\,y,\,z)dS}&=\lim_{\Delta S\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i}^{*},\,y_{i}^{*},\,z_{i}^{*})\Delta S_{i}}}\\&=\lim_{\Delta u,\,\Delta v\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\sigma(u_{i}^{*},\,v_{i}^{*}))|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|\Delta D_{i}}}\\&=\iint_{D}{f(\sigma(u,\,v))|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|dudv}\end{align*}$$ 따라서 이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다.

곡면 $S$가 유한 넓이의 매끄러운 곡면이라 하고 $f:S\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $S$에서 정의된 연속함수라 하자. $$\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)),\,(u,\,v)\in D$$ 가 $S$의 매끄러운 방정식이라고 하면 곡면 $S$에서 함수 $f$의 면적분(surface integral)은 다음과 같다. $$\iint_{S}{f(x,\,y,\,z)dS}=\iint_{D}{f(\sigma(u,\,v))|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|dudv}$$ 곡면 $S$에서 $f(x,\,y,\,z)=1$이면, $\displaystyle\iint_{S}{dS}$는 $S$의 넓이이다. 

위의 결과로부터 다음의 결과를 얻는다. 

$z=h(x,\,y)$가 영역 $D\subset\mathbb{R}^{2}$에서 미분가능한 함수이고 그 그래프를 $S=\{(x,\,y,\,h(x,\,y))\,|\,(x,\,y)\in D\}$라고 하자. 그러면 연속함수 $f:S\,\rightarrow\,\mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다. $$\iint_{S}{f(x,\,y,\,z)dS}=\iint_{D}{f(x,\,y,\,h(x,\,y))\sqrt{h_{x}^{2}+h_{y}^{2}+1}dxdy}$$ $\sigma(x,\,y)=(x,\,y,\,h(x,\,y))$가 $S$의 매끄러운 매개변수방정식이고 $$\sigma_{x}=(1,\,0,\,h_{x}),\,\sigma_{y}=(0,\,1,\,h_{y})$$ 이므로 $$\sigma_{x}(x,\,y)\times\sigma_{y}(x,\,y)=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&h_{x}\\0&1&h_{y}\end{matrix}\right|=(-h_{x},\,-h_{y},\,1)$$ 이고 $$|\sigma_{x}(x,\,y)\times\sigma_{y}(x,\,y)|=\sqrt{h_{x}^{2}+h_{y}^{2}+1}$$ 이므로 이 결과가 성립한다.         

이 결과를 이용하여 곡선 $y=f(x)\,(a\leq x\leq b)$를 $x$축에 대해 회전시켜 얻은 곡면 $S$의 겉넓이를 구할 수 있다. 이때 $f(x)\geq0$, $f'$은 연속이다. 이 곡면 $S$의 매개변수방정식 $\sigma(x,\,\theta)$는 다음과 같고 $$x=x,\,y=f(x)\cos\theta,\,z=f(x)\sin\theta,\,a\leq x\leq b,\,0\leq\theta\leq2\pi$$ 이때 $$\begin{align*}\sigma_{x}(x,\,\theta)&=\vec{i}+f'(x)\cos\theta\vec{j}+f'(x)\sin\theta\vec{k}\\ \sigma_{\theta}&=-f(x)\sin\theta\vec{j}+f(x)\cos\theta\vec{k}\end{align*}$$ 이며 $$\sigma_{x}(x,\,\theta)\times\sigma_{\theta}(x,\,\theta)=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&f'(x)\cos\theta&f'(x)\sin\theta\\0&-f(x)\sin\theta&f(x)\cos\theta\end{matrix}\right|=(f(x)f'(x),\,-f(x)\cos\theta,\,-f(x)\sin\theta)$$ 이므로 $$|\sigma_{x}(x,\,\theta)\times\sigma_{\theta}(x,\,\theta)|=f(x)\sqrt{1+\left\{f'(x)\right\}^{2}}\,(\because\,f(x)\geq0)$$ 이고 따라서 $S$의 넓이는 다음과 같고 이것은 정적분을 이용하여 구한 결과와 같은 것이다. $$\begin{align*}A&=\iint_{D}{|\sigma_{x}(x,\,\theta)\times\sigma_{\theta}(x,\,\theta)|dxd\theta}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\int_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}d\theta}\\&=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}\end{align*}$$

참고자료:

미적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning