[다변수 미적분학] 11. 벡터장의 유동

[다변수 미적분학] 11. 벡터장의 유동

매끄러운 곡면 $S$의 내부점 $(x,\,y,\,z)$에서 단위법선벡터는 곡면의 양쪽에 서로 반대방향으로 각각 1개씩 있다. 둘 중 한 쪽의 단위법선벡터를 $\vec{n}$이라고 하자. 곡면 $S$의 내부에서 점 $(x,\,y,\,z)$가 연속적으로 움직일 때 단위법선벡터 $\vec{n}$도 연속적으로 변하도록 모든 점 $(x,\,y,\,z)$에서 적절한 $\vec{n}$을 선택할 수 있으면 곡면 $S$를 가향곡면(orientable surface)이라고 한다. 가향곡면의 예로 평면, 구면, 원주면이 있다. 가향곡면이 아닌 곡면을 비가향곡면(non orientable surface)이라고 하고 대표적인 예로 뫼비우스의 띠가 있다. 

가향곡면 $S$에서 한쪽 방향의 단위법선벡터 $\vec{n}$을 선택하여 방향을 정한 곡면을 유향곡면(oriented surface)이라고 한다. $\vec{n}$의 방향을 $S$의 양의 방향이라 하고, 그 반대방향을 음의 방향이라고 한다.

$S$가 단위법선벡터 $\vec{n}$을 갖는 유향곡면이라 하자. 그리고 $\mathbf{F}$가 곡면 $S$를 포함하는 영역에서 정의된 연속인 벡터장이라고 하자. 그러면 곡면 $S$위의 한 점 $(x,\,y,\,z)$에 대해 정의된 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$와 $\vec{n}$은 점 $(x,\,y,\,z)$에서 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$의 $\vec{n}$방향 성분이라고 할 수 있다. $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\cdot\vec{n}$을 곡면 $S$에 대해 면적분한 값은 벡터장을 따라서 이동한 양 중에서 곡면에 수직방향으로 이동한 양을 합한것이다. 

예: 밀도가 $\rho(x,\,y,\,z)$인 유체가 속도 $\vec{v}$로 점 $(x,\,y,\,z)$를 통과하여 흐른다고 하자. 그러면 $$\mathbf{F}(x,\,y,\,z)=\rho(x,\,y,\,z)\cdot\vec{v}$$ 는 단위시간당 $(x,\,y,\,z)$를 지나는 유체의 질량이다.(아래그림 참고)

      

$S$위의 점 $(x,\,y,\,z)$에서 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\cdot\vec{n}$은 $\mathbf{F}$의 $\vec{n}$방향 성분이므로 단위시간당 $S$를 수직으로 지나는 유체의 질량이라고 할 수 있으며 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\cdot\vec{n}$을 곡면 $S$에 대해서 면적분한 값은 단위시간당 $S$를 수직으로 지난 유체의 총 질량이다.

   

$S$가 단위법선벡터 $\vec{n}$을 갖는 유향곡면이라고 하고, $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$가 $S$에서 연속인 벡터장이라고 하자. 이때 $S$에서의 면적분 $$\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}=\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot\vec{n}dS\cdot}$$ 를 $S$위에서 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$의 유동(flux)이라고 한다. 

곡면 $S$가 매끄러운 매개변수방정식 $$\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)),\,(u,\,v)\in D$$ 으로 표현될 때 단위법선벡터는 다음과 같다. $$\frac{\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)}{|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|}$$ $S$가 단위법선벡터 $\vec{n}$을 갖는 유향곡면이라 할 때 다음이 성립한다. $$\vec{n}(\sigma(u,\,v))=\pm\frac{\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)}{|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|}$$ $S$가 단위법선벡터 $\vec{n}$을 갖는 유향곡면이라고 하고, $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$가 $S$에서 연속인 벡터장이라고 하자. 이때 $$\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)),\,(u,\,v)\in D$$ 가 $S$의 매끄러운 매개변수방정식이라고 하자. $\displaystyle\vec{n}(\sigma(u,\,v))=\frac{\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)}{|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|}$일 때, 벡터장 $\mathbf{F}(x,\,y,\,z)$의 유동 $\displaystyle\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}$는 다음과 같다. $$\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}=\iint_{D}{F(\sigma(u,\,v))\cdot(\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v))dudv}$$ 이것은 다음에 의해 성립하기 때문이다. $$\begin{align*}\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}&=\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot\vec{n}dS}\\&=\iint_{D}{\mathbf{F}(\sigma(u,\,v))\cdot\vec{n}(\sigma(u,\,v))|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|dudv}\\&=\iint_{D}{\mathbf{F}(\sigma(u,\,v))(\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v))dudv}\end{align*}$$ 이 결과로부터 다음의 결과를 얻는다. 

영역 $D\subset\mathbb{R}^{2}$에서 미분가능한 함수 $z=h(x,\,y)$의 그래프를 $S$라고 하면 $S=\{(x,\,y,\,h(x,\,y))\,|\,(x,\,y)\in D\}$이고, $S$의 위쪽방향을 양의 방향이라고 할 때, $S$위의 벡터장 $\mathbf{F}=(P,\,Q,\,R)$에 대하여 다음이 성립한다. $$\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}=\iint_{D}{(-Ph_{x}-Qh_{y}+R)dxdy}$$ 그 이유는 $\sigma(x,\,y)=(x,\,y,\,h(x,\,y))$가 $S$의 매끄러운 매개변수방정식이므로 $$\sigma_{x}(x,\,y)=(1,\,0,\,h_{x}),\,\sigma_{y}(x,\,y)=(0,\,1,\,h_{y})$$ 이고 $$\sigma_{x}(x,\,y)\times\sigma_{y}(x,\,y)=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&h_{x}\\0&1&h_{y}\end{matrix}\right|=(-h_{x},\,-h_{y},\,1)$$ 이므로 위의 결과가 성립한다.

참고자료: 

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning