[다변수 미적분학] 11. 벡터장의 유동

[다변수 미적분학] 11. 벡터장의 유동

매끄러운 곡면 \(S\)의 내부점 \((x,\,y,\,z)\)에서 단위법선벡터는 곡면의 양쪽에 서로 반대방향으로 각각 1개씩 있다. 둘 중 한 쪽의 단위법선벡터를 \(\vec{n}\)이라고 하자. 곡면 \(S\)의 내부에서 점 \((x,\,y,\,z)\)가 연속적으로 움직일 때 단위법선벡터 \(\vec{n}\)도 연속적으로 변하도록 모든 점 \((x,\,y,\,z)\)에서 적절한 \(\vec{n}\)을 선택할 수 있으면 곡면 \(S\)를 가향곡면(orientable surface)이라고 한다. 가향곡면의 예로 평면, 구면, 원주면이 있다. 가향곡면이 아닌 곡면을 비가향곡면(non orientable surface)이라고 하고 대표적인 예로 뫼비우스의 띠가 있다. 

가향곡면 \(S\)에서 한쪽 방향의 단위법선벡터 \(\vec{n}\)을 선택하여 방향을 정한 곡면을 유향곡면(oriented surface)이라고 한다. \(\vec{n}\)의 방향을 \(S\)의 양의 방향이라 하고, 그 반대방향을 음의 방향이라고 한다.

\(S\)가 단위법선벡터 \(\vec{n}\)을 갖는 유향곡면이라 하자. 그리고 \(\mathbf{F}\)가 곡면 \(S\)를 포함하는 영역에서 정의된 연속인 벡터장이라고 하자. 그러면 곡면 \(S\)위의 한 점 \((x,\,y,\,z)\)에 대해 정의된 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)와 \(\vec{n}\)은 점 \((x,\,y,\,z)\)에서 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)의 \(\vec{n}\)방향 성분이라고 할 수 있다. \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\cdot\vec{n}\)을 곡면 \(S\)에 대해 면적분한 값은 벡터장을 따라서 이동한 양 중에서 곡면에 수직방향으로 이동한 양을 합한것이다. 

예: 밀도가 \(\rho(x,\,y,\,z)\)인 유체가 속도 \(\vec{v}\)로 점 \((x,\,y,\,z)\)를 통과하여 흐른다고 하자. 그러면$$\mathbf{F}(x,\,y,\,z)=\rho(x,\,y,\,z)\cdot\vec{v}$$는 단위시간당 \((x,\,y,\,z)\)를 지나는 유체의 질량이다.(아래그림 참고)

      

\(S\)위의 점 \((x,\,y,\,z)\)에서 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\cdot\vec{n}\)은 \(\mathbf{F}\)의 \(\vec{n}\)방향 성분이므로 단위시간당 \(S\)를 수직으로 지나는 유체의 질량이라고 할 수 있으며 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\cdot\vec{n}\)을 곡면 \(S\)에 대해서 면적분한 값은 단위시간당 \(S\)를 수직으로 지난 유체의 총 질량이다.

   

\(S\)가 단위법선벡터 \(\vec{n}\)을 갖는 유향곡면이라고 하고, \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)가 \(S\)에서 연속인 벡터장이라고 하자. 이때 \(S\)에서의 면적분$$\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}=\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot\vec{n}dS\cdot}$$를 \(S\)위에서 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)의 유동(flux)이라고 한다. 

곡면 \(S\)가 매끄러운 매개변수방정식$$\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)),\,(u,\,v)\in D$$으로 표현될 때 단위법선벡터는 다음과 같다.$$\frac{\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)}{|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|}$$\(S\)가 단위법선벡터 \(\vec{n}\)을 갖는 유향곡면이라 할 때 다음이 성립한다.$$\vec{n}(\sigma(u,\,v))=\pm\frac{\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)}{|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|}$$\(S\)가 단위법선벡터 \(\vec{n}\)을 갖는 유향곡면이라고 하고, \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)가 \(S\)에서 연속인 벡터장이라고 하자. 이때$$\sigma(u,\,v)=(x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v)),\,(u,\,v)\in D$$가 \(S\)의 매끄러운 매개변수방정식이라고 하자. \(\displaystyle\vec{n}(\sigma(u,\,v))=\frac{\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)}{|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|}\)일 때, 벡터장 \(\mathbf{F}(x,\,y,\,z)\)의 유동 \(\displaystyle\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}\)는 다음과 같다.$$\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}=\iint_{D}{F(\sigma(u,\,v))\cdot(\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v))dudv}$$이것은 다음에 의해 성립하기 때문이다.$$\begin{align*}\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}&=\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot\vec{n}dS}\\&=\iint_{D}{\mathbf{F}(\sigma(u,\,v))\cdot\vec{n}(\sigma(u,\,v))|\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v)|dudv}\\&=\iint_{D}{\mathbf{F}(\sigma(u,\,v))(\sigma_{u}(u,\,v)\times\sigma_{v}(u,\,v))dudv}\end{align*}$$이 결과로부터 다음의 결과를 얻는다. 

영역 \(D\subset\mathbb{R}^{2}\)에서 미분가능한 함수 \(z=h(x,\,y)\)의 그래프를 \(S\)라고 하면 \(S=\{(x,\,y,\,h(x,\,y))\,|\,(x,\,y)\in D\}\)이고, \(S\)의 위쪽방향을 양의 방향이라고 할 때, \(S\)위의 벡터장 \(\mathbf{F}=(P,\,Q,\,R)\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}}=\iint_{D}{(-Ph_{x}-Qh_{y}+R)dxdy}$$그 이유는 \(\sigma(x,\,y)=(x,\,y,\,h(x,\,y))\)가 \(S\)의 매끄러운 매개변수방정식이므로$$\sigma_{x}(x,\,y)=(1,\,0,\,h_{x}),\,\sigma_{y}(x,\,y)=(0,\,1,\,h_{y})$$이고$$\sigma_{x}(x,\,y)\times\sigma_{y}(x,\,y)=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&h_{x}\\0&1&h_{y}\end{matrix}\right|=(-h_{x},\,-h_{y},\,1)$$이므로 위의 결과가 성립한다.

참고자료: 

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning