[측도론] 8-2 합성곱

[측도론] 8-2 합성곱 

\(f,\,g\)를 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 가측함수라 하자. \(f\)와 \(g\)의 합성곱(convolution) \(f*g\)를 다음과 같이 정의한다.$$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)dy}$$여기서 \(x\)는 합성곱이 존재하게 하는 값이다.    

\(f\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 가측이면, \(K(x,\,y)=f(x-y)\)는 \(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)에서 가측이다. \(K=f\circ s\)이고 여기서 \(s(x,\,y)=x-y\)이며 \(s\)는 연속이므로 \(f\)가 보렐가측이면, \(K\)는 보렐가측이다.    

8.4 합성곱이 존재한다고 하자.  

a. \(f*g=g*f\) 

b. \((f*g)*h=f*(g*h)\)

c. \(z\in\mathbb{R}^{n}\)에 대하여 \(\tau_{z}(f*g)=(\tau_{z}f)*g=f*(\tau_{z}g)\)  

d. \(A=\overline{\{x+y\,|\,x\in\text{supp}(f),\,y\in\text{supp}(g)\}}\)이면, \(\text{supp}(f*g)\subset A\)이다.  

증명: 

a: \(z=x-y\)라고 하면 다음 식으로부터 성립한다.$$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)dy}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(z)g(x-z)dz}=(g*f)(x)$$  

b: a와 푸비니정리에 의해 다음의 식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}((f*g)*h)(x)&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(y)g(x-z-y)h(z)dydz}\\&=\iint_{\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}{f(y)g(x-y-z)h(z)dzdy}\\&=(f*(g*h))(x)\end{align*}$$  

c: 다음의 식과 a에 의해$$\tau_{z}(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-z-y)g(y)dy}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\tau_{z}f(x-y)g(y)dy}=((\tau_{z}f)*g)(x)$$\(\tau_{z}(f*g)=\tau_{z}(g*f)=(\tau_{z}g)*f=f*(\tau_{z}g)\)이다.  

d: \(x\notin A\)이면, 임의의 \(y\in\text{supp}(g)\)에 대하여 \(x-y\in\text{supp}(f)\)이고 따라서 모든 \(y\)에 대해 \(f(x-y)g(y)=0\)이므로 \((f*g)(x)=0\)이다.

8.5 영의 부등식(Young's Inequality) 

\(f\in L^{1}\), \(g\in L^{p}\,(1\leq p\leq\infty)\)이면, 거의 모든 \(x\)에 대해 \((f*g)(x)\)가 존재하고 \(f*g\in L^{p}\), \(\|f*g\|_{p}\leq\|f\|_{1}\|g\|_{p}\)이다.  

증명: 6.19에서 \(K(x,\,y)=f(x-y)\)인 경우이고 적분에 대한 민코프스키 부등식에 의해 다음이 성립한다.$$\|f*g\|_{p}=\left\|\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(y)g(\cdot-y)dy}\right\|_{p}\leq\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f(y)|\|\tau_{y}g\|_{p}dy}=\|f\|_{1}\|g\|_{p}$$ 

8.6 \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), \(f\in L^{p}\), \(g\in L^{q}\)이면, 모든 \(x\)에 대하여 \((f*g)(x)\)가 존재하고 \(f*g\)는 유계이고 균등연속이며 \(\|f*g\|_{u}\leq\|f\|_{p}\|g\|_{q}\)이다. \(1<p<\infty\,(1<q<\infty)\)이면, \(f*g\in C_{0}(\mathbb{R}^{n})\)이다. 

증명: 횔더 부등식에 의해 \(\|f*g\|_{u}\leq\|f\|_{p}\|g\|_{q}\)이므로 \(f*g\)가 존재하고 8.3, 8.4에 의해 균등연속이다. \(1\leq p<\infty\)이면 \(y\,\rightarrow\,0\)일 때 다음이 성립한다.$$\|\tau_{y}(f*g)-f*g\|_{u}=\|(\tau_{y}f-f)*g\|_{u}\leq\|\tau_{y}f-f\|_{p}\|g\|_{q}\,\rightarrow\,0$$(\(p=\infty\)인 경우는 \(f\)와 \(g\)의 역할을 맞바꾼다) \(1<p,\,q<\infty\)이면 \(\{f_{n}\}\), \(\{g_{n}\}\)을 선택해서 컴팩트 받침을 갖고 \(\|f_{n}-f\|_{p}\,\rightarrow\,0\), \(\|g_{n}-g\|_{q}\,\rightarrow\,0\)이라 하자. 8.4d와 \(f_{n}*g_{n}\in C_{c}\)로부터$$\|f_{n}*g_{n}-f*g\|_{u}\leq\|f_{n}-f\|_{p}\|g_{n}\|_{q}+\|f\|_{p}\|g_{n}-g\|_{q}\,\rightarrow\,0$$이므로 4.32에 의해 \(f*g\in C_{0}\)이다.   

\(f,\,g\)중 적어도 하나가 매끄러우면 \(f*g\)는 매끄러운데 그 이유는 다음과 같다.$$\partial^{\alpha}(f*g)(x)=\partial^{\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(x-y)g(y)dy}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\partial^{\alpha}f(x-y)g(y)dy}=((\partial^{\alpha}f)*g)(x)(=(f*(\partial^{\alpha}g))(x))$$  

8.7 \(f\in L^{1}\), \(g\in C^{(k)}\), \(|\alpha|\leq k\)에 대하여 \(\partial^{\alpha}g\)가 유계이면, \(f*g\in C^{(k)}\)이고 \(|\alpha|\leq k\)에 대해 \(\partial^{\alpha}(f*g)=f*(\partial^{\alpha}g)\)이다.  

증명: 2.28에 의해 분명하다.  

8.8 \(f,\,g\in\mathcal{S}\)이면, \(f*g\in\mathcal{S}\)이다.  

증명: 8.7에 의해 \(f*g\in C^{(\infty)}\)이고$$1+|x|\leq1+|x-y|+|y|\leq(1+|x-y|)(1+|y|)$$이므로 다음이 성립하고 마지막 부분은 2.49에 의해 유한하다.$$\begin{align*}(1+|x|)^{N}|\partial^{\alpha}(f*g)(x)|&\leq\int_{\mathbb{R}^{n}}{(1+|x-y|)^{N}|\partial^{\alpha}f(x-y)|(1+|y|)^{N}|g(y)|dy}\\&\leq\|f\|_{(N,\,\alpha)}\|g\|_{(N+n+1,\,\alpha)}\int_{\mathbb{R}^{n}}{(1+|y|)^{-n-1}dy}<\infty\end{align*}$$  

\(\phi\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)상의 임의의 함수이고 \(t>0\)일 때 \(\phi_{t}(x)\)를 다음과 같이 정의하자.$$\phi_{t}(x)=\frac{1}{t^{n}}\phi\left(\frac{1}{t}x\right)$$\(\phi\in L^{1}\)이면 2.44에 의해$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{\phi_{t}dm}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\phi\left(\frac{1}{t}x\right)\frac{1}{t^{n}}dx}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\phi(y)dy}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\phi dm}$$이므로 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{\phi_{t}dm}\)은 \(t\)에 의존하지 않는다.     

8.9 \(\phi\in L^{1}\), \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{\phi(x)dx}=a\)라 하자.  

a. \(f\in L^{p}\,(1\leq p<\infty)\)이면, \(t\,\rightarrow\,0\)일 때 \(L^{p}\)노름에서 \(f*\phi_{t}\,\rightarrow\,af\)이다.  

b. \(f\)가 유계이고 균등연속이면, \(t\,\rightarrow\,0\)일 때 \(f*\phi_{t}\)는 \(af\)로 균등수렴한다.  

c. \(f\in L^{\infty}\)가 열린집합 \(U\)에서 연속이면, \(t\,\rightarrow\,0\)일 때 \(f*\phi_{t}\)는 \(U\)의 컴팩트 부분집합에서 \(af\)로 균등수렴한다.  

증명: 

a: \(y=tz\)라고 하면$$\begin{align*}f*\phi_{t}(x)-af(x)&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\{f(x-y)-f(x)\}\phi_{t}(y)dy}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\{f(x-tz)-f(x)\}\phi(z)dz}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\{\tau_{tz}f(x)-f(x)\}\phi(z)dz}\end{align*}$$이고 적분에 대한 민코프스키 부등식을 적용해서 다음의 결과를 얻는다.$$\|f*\phi_{t}-af\|_{p}\leq\int_{\mathbb{R}^{n}}{\|\tau_{tz}f-f\|_{p}|\phi(z)|dz}$$\(\|\tau_{tz}f-f\|_{p}\leq2\|f\|_{p}\)이고 8.3에 의해 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\|\tau_{tz}f-f\|_{p}}=0\)이므로 지배수렴정리에 의해 성립한다.  

b: a의 증명에서 \(\|\cdot\|_{p}\)를 \(\|\cdot\|_{u}\)로 바꾼다.$$\|f*\phi_{t}-af\|_{u}\leq\int_{\mathbb{R}^{n}}{\|\tau_{tz}f-f\|_{u}|\phi(z)|dz}$$이고 \(f\)의 균등연속성에 의해 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\|\tau_{tz}f-f\|}=0\)이다.   

c: \(\epsilon>0\)에 대해 컴팩트집합 \(E\subset\mathbb{R}^{n}\)을 선택해서 \(\displaystyle\int_{E^{c}}{|\phi|dm}<\epsilon\)이라 하고 \(K\subset U\)를 컴팩트집합이라 하자. \(t\)가 충분히 작으면, 모든 \(x\in K\), \(z\in E\)에 대하여 \(x-tz\in U\)이고 \(K\)의 컴팩트성으로부터 8.2에 의해 작은 \(t\)에 대해 다음이 성립하고$$\sup_{x\in K,\,z\in E}{|f(x-tz)-f(x)|}<\epsilon$$따라서 다음으로부터 c가 성립한다.$$\begin{align*}\sup_{x\in K}{|f*\phi_{t}(x)-af(x)|}&\leq\sup_{x\in K}{\int_{E}{|f(x-tz)-f(x)||\phi(z)|dz}}+\sup_{x\in K}{\int_{E^{c}}{|f(x-tz)-f(x)||\phi(z)|dz}}\\&\leq\left\{\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\phi|dm}+2\|f\|_{\infty}\right\}\epsilon\end{align*}$$

\(\phi\)에 약간 강한 조건을 주면 \(f\in L^{p}\)에 대해 \(f*\phi_{t}\,\rightarrow\,af\,a.e.\)임을 보일 수 있다.  

8.10 적당한 \(C,\,\epsilon>0\)에 대해 \(|\phi(x)|\leq C(1+|x|)^{-n-\epsilon}\)(2.49에 의해 \(\phi\in L^{1}\)), \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{\phi(x)dx}=a\)라 하자. \(f\in L^{p}\,(1\leq p\leq\infty)\)이면, 모든 \(f\)의 르베그집합(특히 거의 모든 \(x\), \(f\)의 연속점 \(x\))에 속한 \(x\)에 대해 \(t\,\rightarrow\,0\)일 때 \(f*\phi_{t}(x)\,\rightarrow\,af(x)\)이다.  

증명: \(x\)가 \(f\)의 르베그집합의 점이면, 임의의 \(\delta>0\)에 대해 \(\eta>0\)가 존재해서 \(r\leq\eta\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{|y|<r}{|f(x-y)-f(x)|dy}\leq\delta r^{n}$$\(I_{1},\,I_{2}\)를 다음과 같다고 하자.$$\begin{align*}I_{1}&=\int_{|y|<\eta}{|f(x-y)-f(x)||\phi_{t}(y)|dy}\\I_{2}&=\int_{|y|\geq\eta}{|f(x-y)-f(x)||\phi_{t}(y)|dy}\end{align*}$$\(0\leq I_{1}\leq A\delta\)(\(A\)는 \(t\)의 영향을 받지 않음), \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,0}{I_{2}}=0\)임을 보이자.$$|f*\phi_{t}(x)-af(x)|\leq I_{1}+I_{2}$$이므로$$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\sup|f*\phi_{t}(x)-af(x)|}\leq A\delta$$이고 \(\delta\)는 임의의 양수이므로 증명이 완료된다. 

\(0\leq I_{1}\leq A\delta\)임을 보이자. \(K\in\mathbb{Z}\)를 \(\displaystyle\frac{\eta}{t}\geq1\)일 때 \(\displaystyle 2^{K}\leq\frac{\eta}{t}\leq2^{K+1}\), \(\displaystyle\frac{\eta}{t}<1\)일 때 \(K=0\)이라 하자. 공 \(|y|<\eta\)를 원환(annuli) \(2^{-k}\eta\leq|y|<2^{1-k}\eta\,(1\leq k\leq K)\)과 공 \(|y|<2^{-K}\eta\)에서 \(|\phi_{t}(y)|\leq Ct^{-n}\)이므로$$I_{1}\leq\sum_{k=1}^{K}{Ct^{-n}\left(\frac{2^{-k}\eta}{t}\right)^{-n-\epsilon}\int_{2^{-k}\leq|y|<2^{1-k}\eta}{|f(x-y)-f(x)|dy}}+Ct^{-n}\int_{|y|<2^{-k}\eta}{|f(x-y)-f(x)|dy}$$이고 \(\displaystyle2^{K}\leq\frac{\eta}{t}<2^{K+1}\)이므로$$\begin{align*}I_{1}&\leq C\delta\sum_{k=1}^{K}{(2^{1-k}\eta)^{n}t^{-n}\left(\frac{2^{-k}\eta}{t}\right)^{-n-\epsilon}}+C\delta t^{-n}(2^{-k}\eta)^{n}\\&=2^{n}C\delta\left(\frac{\eta}{t}\right)^{-\epsilon}\sum_{k=1}^{K}{2^{k\epsilon}}+C\delta\left(\frac{2^{-k}\eta}{t}\right)^{n}\\&=2^{n}C\delta\left(\frac{\eta}{t}\right)^{-\epsilon}\frac{2^{(k+1)\epsilon}-2^{\epsilon}}{2^{\epsilon}-1}+C\delta\left(\frac{2^{-k}\eta}{t}\right)^{n}\\&\leq2^{n}C\left\{\frac{2^{\epsilon}}{2^{\epsilon}-1}+1\right\}\delta\end{align*}$$이다. \(I_{2}\)에 대해서 \(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\)이고 \(\chi=\chi_{\{y\,|\,|y|\geq\eta\}}\)라고 하면 횔더 부등식에 의해$$\begin{align*}I_{2}&\leq\int_{|y|\geq\eta}{(|f(x-y)|+|f(x)|)|\phi_{t}(y)|dy}\\&\leq\|f\|_{p}\|\chi\phi_{t}\|_{p'}+|f(x)|\|\chi\phi_{t}\|_{1}\end{align*}$$이므로 \(1\leq q\leq\infty\)에 대해, 특히 \(q=1\), \(q=p'\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\|\chi\phi_{t}\|_{q}}=0\)이고 \(q=\infty\)이면 다음이 성립한다.$$\|\chi\phi_{t}\|_{\infty}\leq Ct^{-n}\left\{1+\frac{\eta}{t}\right\}^{-n-\epsilon}=Ct^{\epsilon}(t+\eta)^{-n-\epsilon}\leq C\eta^{-n-\epsilon}t^{\epsilon}$$\(q<\infty\)이면 2.48에 의해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\|\chi\phi_{t}\|_{q}^{q}&=\int_{|y|\geq\eta}{t^{-nq}\left|\phi\left(\frac{1}{t}y\right)\right|^{q}dy}=t^{n(1-q)}\int_{|z|\geq\frac{\eta}{t}}{|\phi(z)|^{q}dz}\\&\leq C_{1}t^{n(1-q)}\int_{\frac{\eta}{t}}^{\infty}{r^{n-1-(n+\epsilon)q}dr}=C_{2}t^{n(1-q)}\left(\frac{\eta}{t}\right)^{n-(n+\epsilon)q}=C_{3}t^{\epsilon q}\end{align*}$$이외의 경우 \(\|\chi\phi_{t}\|_{q}\leq Bt^{n}\)이므로 증명을 완료했다.     

8.9, 8.10에 의해 \(a=1\)이면, \(\{\phi_{t}\}_{t>0}\)을 근사항등원(approximate identity)이라고 한다.  

8.11 \(C_{c}^{(\infty)}\)는(따라서 \(\mathcal{S}\)도) \(L^{p}\,(1\leq p<\infty)\)에서 조밀하고 \(C_{0}\)에서도 조밀하다.  

증명: \(f\in L^{p}\)와 \(\epsilon>0\)에 대해 7.7에 의해 \(g\in C_{c}\)가 존재해서 \(\displaystyle\|f-g\|<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 음이 아닌 \(\phi\in C_{c}^{(\infty)}\)를 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{\phi dm}=1\)(예: \(\displaystyle\phi=\left\{\int_{\mathbb{R}^{n}}{\psi dm}\right\}^{-1}\psi\), \(\psi\)는 \(|x|<1\)일 때 \(\psi(x)=e^{-\frac{1}{|x|^{2}-1}}\), \(|x|\geq1\)일 때 \(\psi(x)=0\))라 하면 8.4d와 8.7에 의해 \(g*\phi_{t}\in C_{c}^{(\infty)}\)이고 8.9에 의해 충분히 작은 \(t\)에 대해 \(\displaystyle\|g*\phi_{t}-g\|_{p}<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 나머지 증명은 \(L^{p}\)를 \(C_{0}\)로, \(\|\cdot\|_{p}\)를 \(\|\cdot\|_{u}\)로, 7.7과 4.32를 적용한다.  

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley