[측도론] 7-3 C0(X)의 쌍대공간

[측도론] 7-3 C0(X)의 쌍대공간

$C_{0}(X)=\{f\in C(X)\,|\,f\,\text{vanishes at infinity}\}$(무한대에서의 소멸: 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $\{x\,|\,|f(x)|\geq\epsilon\}$가 컴팩트)이고 $X$가 LCH공간이면, 4.32에 의해 균등거리공간에서 $C_{0}(X)=\overline{C_{c}(X)}$이고 따라서 $\mu$가 $X$상의 라돈측도이면, 범함수 $\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}$의 연속성이 $C_{0}(X)$로 확장될 필요충분조건은 균등노름에 대해 유계인 것이다. $$\mu(X)=\sup\left\{\int_{X}{fd\mu}\,|\,f\in C_{c}(X),\,0\leq f\leq1\right\}$$ 는 $\mu(X)<\infty$일 때 $I$의 연산자 노름이다.$\displaystyle\left(\because\,\left|\int_{X}{fd\mu}\right|\leq\int_{X}{|f|d\mu}\right)$ 따라서 $C_{0}(X)$상의 양 유계선형범함수는 유한 라돈측도에 대한 적분으로 나타내어진다.        

7.13 $I\in C_{0}(X,\,\mathbb{R})^{*}$이면, 양의 범함수 $I^{+},\,I^{}-\in C_{0}(X,\,\mathbb{R})^{*}$가 존재해서 $I=I^{+}-I^{-}$이다.  

증명: $f\in C_{0}(X,\,[0,\,\infty))$일 때 범함수 $I^{+}$를 다음과 같이 정의하자. $$I^{+}(f)=\sup\left\{I(g)\,|\,g\in C_{0}(X,\,\mathbb{R}),\,0\leq g\leq f\right\}$$ $0\leq g\leq f$, $I(0)=0$에 대하여 $|I(g)|\leq\|I\|\|g\|_{u}\leq\|I\|\|f\|_{u}$이므로 $0\leq I^{+}(f)\leq\|I\|\|f\|_{u}$이다. $I^{+}$가 한 선형범함수를 $C_{0}(X,\,[0,\,\infty))$로 제한한 것임을 보이자. $c\geq0$일 때 $I^{+}(cf)=cI^{+}(f)$이고 $0\leq g_{1}\leq f_{1}$, $0\leq g_{2}\leq f_{2}$이면, $0\leq g_{1}+g_{2}\leq f_{1}+f_{2}$이므로 $I^{+}(f_{1}+f_{2})\geq I(g_{1})+I(g_{2})$이고 $I^{+}(f_{1}+f_{2})\geq I^{+}(f_{1})+I^{+}(f_{2})$이다. $0\leq g\leq f_{1}+f_{2}$일 때 $g_{1}=\min\{g,\,f_{1}\}$, $g_{2}=g-g_{1}$이라 하자. 그러면 $0\leq g_{1}\leq f_{1}$, $0\leq g_{2}\leq f_{2}$이므로 $I(g)=I(g_{1})+I(g_{2})\leq I^{+}(f_{1})+I^{+}(f_{2})$이고 $I^{+}(f_{1}+f_{2})\leq I^{+}(f_{1})+I^{+}(f_{2})$이다. 따라서 $I^{+}(f_{1}+f_{2})=I^{+}(f_{1})+I^{+}(f_{2})$이다. 

$f\in C_{0}(X,\,\mathbb{R})$이면 $f^{+},\,f^{-}\in C_{0}(X,\,[0,\,\infty))$이므로 $I^{+}(f)=I^{+}(f^{+})-I^{+}(f^{-})$로 정의할 수 있고, $f=g-h\,(g,\,h\geq0)$이면, $g+f^{-}=h+f^{+}$이므로 $I^{+}(g)+I^{+}(f^{-})=I^{+}(h)+I^{+}(f^{+})$이고 $I^{+}(f)=I^{+}(g)-I^{+}(h)$이며 2.22의 증명과정과 같은 방법으로 $I^{+}$가 $C_{0}(X,\,\mathbb{R})$에서 선형범함수가 됨을 알 수 있다. 게다가 $$|I^{+}(f)|\leq\max\{I^{+}(f^{+}),\,I^{-}(f^{-})\}\leq\|I\|\max\{\|f^{+}\|_{u},\,\|f^{-}\|_{u}\}=\|I\|\|f\|_{u}$$ 이므로 $\|I^{+}\|\leq\|I\|$이다. $I^{-}=I^{+}-I$라 하면 $I^{-}\in C_{0}(X,\,\mathbb{R})^{*}$이고 $I^{+},\,I^{-}$는 양의 범함수, $I^{+}$의 정의에 의해 $I=I^{+}-I^{-}$이다.  

임의의 $I\in C_{0}(X)^{*}$는 $C_{0}(X,\,\mathbb{R})$로의 제한 $J$에 의해 유일하게 결정되고 $J=J_{1}+iJ_{2}$($J_{1}$, $J_{2}$는 실 선형범함수)이다. 따라서 7.13과 이 단원의 서론에 의해 임의의 $I\in C_{0}(X)^{*}$에 대해 유한 라돈측도 $\mu_{1},\,\mu_{2},\,\mu_{3},\,\mu_{4}$가 존재해서 $\mu=\mu_{1}-\mu_{2}+i(\mu_{3}-\mu_{4})$이고 $\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}$이다.  

부호 라돈측도(signed Radon measure)는 양, 음의 변동이 라돈측도인 부호 보렐측도이고 복소 라돈측도(complex Radon measure)는 실수부, 허수부가 부호 라돈측도인 복소 보렐측도이다. $X$상의 복소 라돈측도들의 공간을 $M(X)$로 나타내고 $\mu\in M(X)$에 대해 $$\|\mu\|=|\mu|(X)$$ 로 정의하는데 $|\mu|$는 $\mu$의 전변동이다.  

7.14 $\mu$가 복소 보렐측도일 때 $\mu$가 라돈측도일 필요충분조건은 $|\mu|$가 라돈측도가 되는 것이고, $M(X)$는 벡터공간, $\|\mu\|$는 노름이다.   

증명: 양의 유한 보렐측도 $\nu$가 라돈측도일 필요충분조건은 모든 보렐집합 $E$와 모든 $\epsilon>0$에 대해 열린집합 $U$와 컴팩트집합 $K$가 존재해서 $K\subset E\subset U$, $\nu(U-K)<\epsilon$이다(7.3, 7.5). $\mu=\mu_{1}-\mu_{2}+i(\mu_{3}-\mu_{4})$이고 $|\mu|(U-K)<\epsilon$이면 $1\leq i\leq 4$에 대해 $|\mu_{i}|(U-K)<\epsilon$이므로 $|\mu|$가 라돈측도이면, $\mu$도 라돈측도이다. 역으로 $1\leq i\leq 4$에 대해 $\displaystyle\mu_{i}(U_{i}-K_{i})<\frac{\epsilon}{4}$이고 $\displaystyle K=\bigcup_{i=1}^{4}{K_{i}}$, $\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{4}{U_{i}}$이면 $|\mu|(U-K)<\epsilon$이므로 $\mu$가 라돈측도이면, $|\mu|$도 라돈측도이다. 이와 같은 방법으로 $M(X)$는 합과 스칼라곱에 대해 닫혀있고, 3.16에 의해 $\|\mu\|$는 노름이다. 

7.15 리즈 표현정리(Riesz Representation Theorem) 

$X$를 LCH공간, $\mu\in M(X)$, $f\in C_{0}(X)$에 대해 $\displaystyle I_{\mu}(f)=\int_{X}{fd\mu}$라 하자. 그러면 사상 $\mu\,\mapsto\,I_{\mu}$는 $M(X)$에서 $C_{0}(X)^{*}$로의 등거리적 동형사상이다.  

증명: 모든 $I\in C_{0}(X)^{*}$는 $I_{\mu}$의 형태를 갖고, $\mu\in M(X)$이면 3.5c에 의해 $$\left|\int_{X}{fd\mu}\right|\leq\int_{X}{|f|d|\mu|}\leq\|f\|_{u}\|\mu\|$$ 이므로 $I_{\mu}\in C_{0}(X)^{*}$이고 $\|I_{\mu}\|\leq\|\mu\|$이다. $\displaystyle h=\frac{d\mu}{d|\mu|}$이면, 3.15b에 의해 $|h|=1$이고 루진 정리(7.8)에 의해 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $f\in C_{c}(X)$가 존재해서 $\|f\|_{u}=1$ 집합 $E^{c}$에서 $f=\overline{h}$, $\displaystyle|\mu|(E)<\frac{\epsilon}{2}$이다. 그러면 $$\begin{align*}\|\mu\|&=\int_{X}{|h|^{2}d|\mu|}=\int_{X}{\overline{h}d\mu}\\&\leq\left|\int_{X}{fd\mu}\right|+\left|\int_{X}{(f-\overline{h})d\mu}\right|\\&\leq\left|\int_{X}{fd\mu}\right|+2|\mu|(E)\\&<\left|\int_{X}{fd\mu}\right|+\epsilon\\&\leq\|I_{\mu}\|+\epsilon\end{align*}$$ 이므로 $\|\mu\|\leq\|I_{\mu}\|$이다.   

7.16 $X$가 컴팩트 하우스도르프 공간이면, $C(X)^{*}$는 $M(X)$와 등거리적 동형이다.  

$\mu$를 $X$상의 양의 라돈측도라고 하자. $f\in L^{1}(\mu)$이면, 복소측도 $d\nu_{f}=fd\mu$는 라돈측도이고 $\displaystyle\|\nu_{f}\|=\int_{X}{|f|d\mu}=\|f\|_{1}$이다.  

($\because$ $\mu(E)<\infty$라 하자. 3.5에 의해 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $\delta>0$가 존재해서 $\mu(H)<\delta$이면 $|\nu_{f}|(H)<\epsilon$이다. $\mu$의 내정칙성에 의해 컴팩트집합 $K$가 존재해서 $\mu(E-K)<\delta$이고 따라서 $|\nu_{f}|(E-K)<\epsilon$이므로 $\nu_{f}$는 내정칙이다. $\mu(E)=\infty$일 때 $\displaystyle E_{n}=\left\{x\,|\,|f(x)|\geq\frac{1}{n}\right\}$, $E_{0}=\{x\,|\,f(x)=0\}$라 하면 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\mu(E_{n})<\infty$이고 $\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}$이므로 7.3에 의해 $\nu_{f}$는 $E$에서 내정칙이다. 따라서 $\nu_{f}$는 라돈측도이다. $\displaystyle\|\nu_{f}\|=|\nu_{f}|(X)\leq\int_{X}{|f|d\mu}$이고 $$\|\nu_{f}\|=|\nu_{f}|(X)=\sup_{|f|\leq1}{\left|\int_{X}{fd\nu_{f}}\right|}\geq\left|\int_{X}{e^{ix}d\nu_{f}}\right|=\int_{X}{|f|d\mu}$$ 이므로 $\displaystyle\|\nu_{f}\|=\int_{X}{|f|d\mu}=\|f\|_{1}$이다.)  

따라서 사상 $f\,\mapsto\,\nu_{f}$는 $L^{1}(\mu)$에서 $M(X)$로의 등거리적 매입(isometric embedding)이고, 이 사상의 치역은 $\nu\ll\mu$인 $\nu$의 집합들이며 $\mu$가 $\sigma-$유한이 아니더라도 라돈-니코딤 정리로부터 성립한다.  

$M(X)=C_{0}(X)^{*}$에서 범약위상 $$"\mu_{\alpha}\,\rightarrow\,\mu\,\Leftrightarrow\,\int_{X}{fd\mu_{\alpha}}\,\rightarrow\,\int_{X}{fd\mu}\,\text{for all}\,f\in C_{0}(X)"$$ 을 $M(X)$에서의 모호한 위상(vague topology)이라고 한다.  

7.17 $\mu,\,\mu_{1},\,\mu_{2},\,..\in M(\mathbb{R})$, $F_{n}(x)=\mu_{n}((-\infty,\,x])$, $F(x)=\mu((-\infty,\,x])$라 하자.  

a. $\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}{\|\mu_{n}\|}<\infty$이고 모든 $F$의 연속점 $x$에서 $F_{n}(x)\,\rightarrow\,F(x)$이면 $\mu_{n}$은 $\mu$로 모호하게 수렴한다.(범약위상에서 $\mu_{n}\,\rightarrow\,\mu$) 

b. $\mu_{n}\geq0$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{\sup_{n\in\mathbb{N}}{F_{n}(x)}}=0$, $\mu_{n}$이 $\mu$로 모호한 수렴을 하면 모든 $F$의 연속점 $x$에서 $F_{n}(x)\,\rightarrow\,F(x)$이다.   

증명: 

a: 3.27, 3.29에 의해 $F$는 가산개의 불연속점들을 갖고, 르베그측도에 대해 $F_{n}(x)\,\rightarrow\,F(x)$이다. 또한 $\|F_{n}\|_{u}\leq\|\mu_{n}\|$이므로 $F_{n}$들은 균등유계이다. $f$가 연속도함수를 갖고 컴팩트 받침을 가지면 부분적분(3.35)과 지배수렴정리에 의해 $$\int_{\mathbb{R}}{fd\mu_{n}}=\int_{-\infty}^{\infty}{f'(x)F_{n}(x)dx}\,\rightarrow\,\int_{-\infty}^{\infty}{f'(x)F(x)dx}=\int_{\mathbb{R}}{fd\mu}$$ 이고 컴팩트가 아닌 LCH공간에서의 스톤-바이어슈트라스 정리(이때 $C_{0}(X,\,\mathbb{R})=C_{0}(X)\cap C(X,\,\mathbb{R})$)에 의해 이러한 함수 $f$들은 $C_{0}(\mathbb{R})$에서 조밀하므로 5.14에 의해 모든 $f\in C_{0}(\mathbb{R})$에 대하여 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{fd\mu_{n}}\,\rightarrow\,\int_{X}{fd\mu}$이고 따라서 $\mu_{n}$은 $\mu$로 모호하게 수렴한다.  

b: $a\in\mathbb{R}$와 $\delta,\,\epsilon>0$에 대해 충분히 큰 $N\in\mathbb{N}$을 선택해서 $\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}{F_{n}(-N)}<\delta$라 하고 $f\in C_{0}(\mathbb{R})$를 다음과 같이 정의하자. $$f(x)=\begin{cases}1&\,(x\in[-N,\,a])\\0&\,(x\in(-\infty,\,-N-\epsilon]\cup[a+\epsilon,\,\infty))\\ \text{linear}&\,(x\in[-N-\epsilon,\,-N]\cup[a,\,a+\epsilon])\end{cases}$$ $n$이 충분히 커서 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{fd\mu_{n}}<\int_{\mathbb{R}}{fd\mu}+\delta$이면, $$\begin{align*}F_{n}(a)-\delta&<F_{n}(a)-F_{n}(-N)=\mu_{n}((-N,\,a])\\&\leq \int_{\mathbb{R}}{fd\mu_{n}}\\&<\int_{\mathbb{R}}{fd\mu}+\delta\\&\leq F(a+\epsilon)+\delta\end{align*}$$ 이고 $\delta$는 임의의 양수이므로 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup F_{n}(a)}\leq F(a+\epsilon)$$ 이고 $f$의 정의에 의해 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{F_{n}(a)}\geq F(a-\epsilon)$$ 이다. $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $F$는 $a$에서 연속이고 $F_{n}(a)\,\rightarrow\,F(a)$이다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사