[측도론] 7-3 C0(X)의 쌍대공간

[측도론] 7-3 C0(X)의 쌍대공간

\(C_{0}(X)=\{f\in C(X)\,|\,f\,\text{vanishes at infinity}\}\)(무한대에서의 소멸: 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(\{x\,|\,|f(x)|\geq\epsilon\}\)가 컴팩트)이고 \(X\)가 LCH공간이면, 4.32에 의해 균등거리공간에서 \(C_{0}(X)=\overline{C_{c}(X)}\)이고 따라서 \(\mu\)가 \(X\)상의 라돈측도이면, 범함수 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\)의 연속성이 \(C_{0}(X)\)로 확장될 필요충분조건은 균등노름에 대해 유계인 것이다.$$\mu(X)=\sup\left\{\int_{X}{fd\mu}\,|\,f\in C_{c}(X),\,0\leq f\leq1\right\}$$는 \(\mu(X)<\infty\)일 때 \(I\)의 연산자 노름이다.\(\displaystyle\left(\because\,\left|\int_{X}{fd\mu}\right|\leq\int_{X}{|f|d\mu}\right)\) 따라서 \(C_{0}(X)\)상의 양 유계선형범함수는 유한 라돈측도에 대한 적분으로 나타내어진다.        

7.13 \(I\in C_{0}(X,\,\mathbb{R})^{*}\)이면, 양의 범함수 \(I^{+},\,I^{}-\in C_{0}(X,\,\mathbb{R})^{*}\)가 존재해서 \(I=I^{+}-I^{-}\)이다.  

증명: \(f\in C_{0}(X,\,[0,\,\infty))\)일 때 범함수 \(I^{+}\)를 다음과 같이 정의하자.$$I^{+}(f)=\sup\left\{I(g)\,|\,g\in C_{0}(X,\,\mathbb{R}),\,0\leq g\leq f\right\}$$\(0\leq g\leq f\), \(I(0)=0\)에 대하여 \(|I(g)|\leq\|I\|\|g\|_{u}\leq\|I\|\|f\|_{u}\)이므로 \(0\leq I^{+}(f)\leq\|I\|\|f\|_{u}\)이다. \(I^{+}\)가 한 선형범함수를 \(C_{0}(X,\,[0,\,\infty))\)로 제한한 것임을 보이자. \(c\geq0\)일 때 \(I^{+}(cf)=cI^{+}(f)\)이고 \(0\leq g_{1}\leq f_{1}\), \(0\leq g_{2}\leq f_{2}\)이면, \(0\leq g_{1}+g_{2}\leq f_{1}+f_{2}\)이므로 \(I^{+}(f_{1}+f_{2})\geq I(g_{1})+I(g_{2})\)이고 \(I^{+}(f_{1}+f_{2})\geq I^{+}(f_{1})+I^{+}(f_{2})\)이다. \(0\leq g\leq f_{1}+f_{2}\)일 때 \(g_{1}=\min\{g,\,f_{1}\}\), \(g_{2}=g-g_{1}\)이라 하자. 그러면 \(0\leq g_{1}\leq f_{1}\), \(0\leq g_{2}\leq f_{2}\)이므로 \(I(g)=I(g_{1})+I(g_{2})\leq I^{+}(f_{1})+I^{+}(f_{2})\)이고 \(I^{+}(f_{1}+f_{2})\leq I^{+}(f_{1})+I^{+}(f_{2})\)이다. 따라서 \(I^{+}(f_{1}+f_{2})=I^{+}(f_{1})+I^{+}(f_{2})\)이다. 

\(f\in C_{0}(X,\,\mathbb{R})\)이면 \(f^{+},\,f^{-}\in C_{0}(X,\,[0,\,\infty))\)이므로 \(I^{+}(f)=I^{+}(f^{+})-I^{+}(f^{-})\)로 정의할 수 있고, \(f=g-h\,(g,\,h\geq0)\)이면, \(g+f^{-}=h+f^{+}\)이므로 \(I^{+}(g)+I^{+}(f^{-})=I^{+}(h)+I^{+}(f^{+})\)이고 \(I^{+}(f)=I^{+}(g)-I^{+}(h)\)이며 2.22의 증명과정과 같은 방법으로 \(I^{+}\)가 \(C_{0}(X,\,\mathbb{R})\)에서 선형범함수가 됨을 알 수 있다. 게다가$$|I^{+}(f)|\leq\max\{I^{+}(f^{+}),\,I^{-}(f^{-})\}\leq\|I\|\max\{\|f^{+}\|_{u},\,\|f^{-}\|_{u}\}=\|I\|\|f\|_{u}$$이므로 \(\|I^{+}\|\leq\|I\|\)이다. \(I^{-}=I^{+}-I\)라 하면 \(I^{-}\in C_{0}(X,\,\mathbb{R})^{*}\)이고 \(I^{+},\,I^{-}\)는 양의 범함수, \(I^{+}\)의 정의에 의해 \(I=I^{+}-I^{-}\)이다.  

임의의 \(I\in C_{0}(X)^{*}\)는 \(C_{0}(X,\,\mathbb{R})\)로의 제한 \(J\)에 의해 유일하게 결정되고 \(J=J_{1}+iJ_{2}\)(\(J_{1}\), \(J_{2}\)는 실 선형범함수)이다. 따라서 7.13과 이 단원의 서론에 의해 임의의 \(I\in C_{0}(X)^{*}\)에 대해 유한 라돈측도 \(\mu_{1},\,\mu_{2},\,\mu_{3},\,\mu_{4}\)가 존재해서 \(\mu=\mu_{1}-\mu_{2}+i(\mu_{3}-\mu_{4})\)이고 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\)이다.  

부호 라돈측도(signed Radon measure)는 양, 음의 변동이 라돈측도인 부호 보렐측도이고 복소 라돈측도(complex Radon measure)는 실수부, 허수부가 부호 라돈측도인 복소 보렐측도이다. \(X\)상의 복소 라돈측도들의 공간을 \(M(X)\)로 나타내고 \(\mu\in M(X)\)에 대해$$\|\mu\|=|\mu|(X)$$로 정의하는데 \(|\mu|\)는 \(\mu\)의 전변동이다.  

7.14 \(\mu\)가 복소 보렐측도일 때 \(\mu\)가 라돈측도일 필요충분조건은 \(|\mu|\)가 라돈측도가 되는 것이고, \(M(X)\)는 벡터공간, \(\|\mu\|\)는 노름이다.   

증명: 양의 유한 보렐측도 \(\nu\)가 라돈측도일 필요충분조건은 모든 보렐집합 \(E\)와 모든 \(\epsilon>0\)에 대해 열린집합 \(U\)와 컴팩트집합 \(K\)가 존재해서 \(K\subset E\subset U\), \(\nu(U-K)<\epsilon\)이다(7.3, 7.5). \(\mu=\mu_{1}-\mu_{2}+i(\mu_{3}-\mu_{4})\)이고 \(|\mu|(U-K)<\epsilon\)이면 \(1\leq i\leq 4\)에 대해 \(|\mu_{i}|(U-K)<\epsilon\)이므로 \(|\mu|\)가 라돈측도이면, \(\mu\)도 라돈측도이다. 역으로 \(1\leq i\leq 4\)에 대해 \(\displaystyle\mu_{i}(U_{i}-K_{i})<\frac{\epsilon}{4}\)이고 \(\displaystyle K=\bigcup_{i=1}^{4}{K_{i}}\), \(\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{4}{U_{i}}\)이면 \(|\mu|(U-K)<\epsilon\)이므로 \(\mu\)가 라돈측도이면, \(|\mu|\)도 라돈측도이다. 이와 같은 방법으로 \(M(X)\)는 합과 스칼라곱에 대해 닫혀있고, 3.16에 의해 \(\|\mu\|\)는 노름이다. 

7.15 리즈 표현정리(Riesz Representation Theorem) 

\(X\)를 LCH공간, \(\mu\in M(X)\), \(f\in C_{0}(X)\)에 대해 \(\displaystyle I_{\mu}(f)=\int_{X}{fd\mu}\)라 하자. 그러면 사상 \(\mu\,\mapsto\,I_{\mu}\)는 \(M(X)\)에서 \(C_{0}(X)^{*}\)로의 등거리적 동형사상이다.  

증명: 모든 \(I\in C_{0}(X)^{*}\)는 \(I_{\mu}\)의 형태를 갖고, \(\mu\in M(X)\)이면 3.5c에 의해$$\left|\int_{X}{fd\mu}\right|\leq\int_{X}{|f|d|\mu|}\leq\|f\|_{u}\|\mu\|$$이므로 \(I_{\mu}\in C_{0}(X)^{*}\)이고 \(\|I_{\mu}\|\leq\|\mu\|\)이다. \(\displaystyle h=\frac{d\mu}{d|\mu|}\)이면, 3.15b에 의해 \(|h|=1\)이고 루진 정리(7.8)에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(f\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(\|f\|_{u}=1\) 집합 \(E^{c}\)에서 \(f=\overline{h}\), \(\displaystyle|\mu|(E)<\frac{\epsilon}{2}\)이다. 그러면$$\begin{align*}\|\mu\|&=\int_{X}{|h|^{2}d|\mu|}=\int_{X}{\overline{h}d\mu}\\&\leq\left|\int_{X}{fd\mu}\right|+\left|\int_{X}{(f-\overline{h})d\mu}\right|\\&\leq\left|\int_{X}{fd\mu}\right|+2|\mu|(E)\\&<\left|\int_{X}{fd\mu}\right|+\epsilon\\&\leq\|I_{\mu}\|+\epsilon\end{align*}$$이므로 \(\|\mu\|\leq\|I_{\mu}\|\)이다.   

7.16 \(X\)가 컴팩트 하우스도르프 공간이면, \(C(X)^{*}\)는 \(M(X)\)와 등거리적 동형이다.  

\(\mu\)를 \(X\)상의 양의 라돈측도라고 하자. \(f\in L^{1}(\mu)\)이면, 복소측도 \(d\nu_{f}=fd\mu\)는 라돈측도이고 \(\displaystyle\|\nu_{f}\|=\int_{X}{|f|d\mu}=\|f\|_{1}\)이다.  

(\(\because\) \(\mu(E)<\infty\)라 하자. 3.5에 의해 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재해서 \(\mu(H)<\delta\)이면 \(|\nu_{f}|(H)<\epsilon\)이다. \(\mu\)의 내정칙성에 의해 컴팩트집합 \(K\)가 존재해서 \(\mu(E-K)<\delta\)이고 따라서 \(|\nu_{f}|(E-K)<\epsilon\)이므로 \(\nu_{f}\)는 내정칙이다. \(\mu(E)=\infty\)일 때 \(\displaystyle E_{n}=\left\{x\,|\,|f(x)|\geq\frac{1}{n}\right\}\), \(E_{0}=\{x\,|\,f(x)=0\}\)라 하면 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\mu(E_{n})<\infty\)이고 \(\displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}{E_{n}}\)이므로 7.3에 의해 \(\nu_{f}\)는 \(E\)에서 내정칙이다. 따라서 \(\nu_{f}\)는 라돈측도이다. \(\displaystyle\|\nu_{f}\|=|\nu_{f}|(X)\leq\int_{X}{|f|d\mu}\)이고$$\|\nu_{f}\|=|\nu_{f}|(X)=\sup_{|f|\leq1}{\left|\int_{X}{fd\nu_{f}}\right|}\geq\left|\int_{X}{e^{ix}d\nu_{f}}\right|=\int_{X}{|f|d\mu}$$이므로 \(\displaystyle\|\nu_{f}\|=\int_{X}{|f|d\mu}=\|f\|_{1}\)이다.)  

따라서 사상 \(f\,\mapsto\,\nu_{f}\)는 \(L^{1}(\mu)\)에서 \(M(X)\)로의 등거리적 매입(isometric embedding)이고, 이 사상의 치역은 \(\nu\ll\mu\)인 \(\nu\)의 집합들이며 \(\mu\)가 \(\sigma-\)유한이 아니더라도 라돈-니코딤 정리로부터 성립한다.  

\(M(X)=C_{0}(X)^{*}\)에서 범약위상$$"\mu_{\alpha}\,\rightarrow\,\mu\,\Leftrightarrow\,\int_{X}{fd\mu_{\alpha}}\,\rightarrow\,\int_{X}{fd\mu}\,\text{for all}\,f\in C_{0}(X)"$$을 \(M(X)\)에서의 모호한 위상(vague topology)이라고 한다.  

7.17 \(\mu,\,\mu_{1},\,\mu_{2},\,..\in M(\mathbb{R})\), \(F_{n}(x)=\mu_{n}((-\infty,\,x])\), \(F(x)=\mu((-\infty,\,x])\)라 하자.  

a. \(\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}{\|\mu_{n}\|}<\infty\)이고 모든 \(F\)의 연속점 \(x\)에서 \(F_{n}(x)\,\rightarrow\,F(x)\)이면 \(\mu_{n}\)은 \(\mu\)로 모호하게 수렴한다.(범약위상에서 \(\mu_{n}\,\rightarrow\,\mu\)) 

b. \(\mu_{n}\geq0\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}{\sup_{n\in\mathbb{N}}{F_{n}(x)}}=0\), \(\mu_{n}\)이 \(\mu\)로 모호한 수렴을 하면 모든 \(F\)의 연속점 \(x\)에서 \(F_{n}(x)\,\rightarrow\,F(x)\)이다.   

증명: 

a: 3.27, 3.29에 의해 \(F\)는 가산개의 불연속점들을 갖고, 르베그측도에 대해 \(F_{n}(x)\,\rightarrow\,F(x)\)이다. 또한 \(\|F_{n}\|_{u}\leq\|\mu_{n}\|\)이므로 \(F_{n}\)들은 균등유계이다. \(f\)가 연속도함수를 갖고 컴팩트 받침을 가지면 부분적분(3.35)과 지배수렴정리에 의해$$\int_{\mathbb{R}}{fd\mu_{n}}=\int_{-\infty}^{\infty}{f'(x)F_{n}(x)dx}\,\rightarrow\,\int_{-\infty}^{\infty}{f'(x)F(x)dx}=\int_{\mathbb{R}}{fd\mu}$$이고 컴팩트가 아닌 LCH공간에서의 스톤-바이어슈트라스 정리(이때 \(C_{0}(X,\,\mathbb{R})=C_{0}(X)\cap C(X,\,\mathbb{R})\))에 의해 이러한 함수 \(f\)들은 \(C_{0}(\mathbb{R})\)에서 조밀하므로 5.14에 의해 모든 \(f\in C_{0}(\mathbb{R})\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{fd\mu_{n}}\,\rightarrow\,\int_{X}{fd\mu}\)이고 따라서 \(\mu_{n}\)은 \(\mu\)로 모호하게 수렴한다.  

b: \(a\in\mathbb{R}\)와 \(\delta,\,\epsilon>0\)에 대해 충분히 큰 \(N\in\mathbb{N}\)을 선택해서 \(\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}{F_{n}(-N)}<\delta\)라 하고 \(f\in C_{0}(\mathbb{R})\)를 다음과 같이 정의하자.$$f(x)=\begin{cases}1&\,(x\in[-N,\,a])\\0&\,(x\in(-\infty,\,-N-\epsilon]\cup[a+\epsilon,\,\infty))\\ \text{linear}&\,(x\in[-N-\epsilon,\,-N]\cup[a,\,a+\epsilon])\end{cases}$$\(n\)이 충분히 커서 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{fd\mu_{n}}<\int_{\mathbb{R}}{fd\mu}+\delta\)이면,$$\begin{align*}F_{n}(a)-\delta&<F_{n}(a)-F_{n}(-N)=\mu_{n}((-N,\,a])\\&\leq \int_{\mathbb{R}}{fd\mu_{n}}\\&<\int_{\mathbb{R}}{fd\mu}+\delta\\&\leq F(a+\epsilon)+\delta\end{align*}$$이고 \(\delta\)는 임의의 양수이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sup F_{n}(a)}\leq F(a+\epsilon)$$이고 \(f\)의 정의에 의해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{F_{n}(a)}\geq F(a-\epsilon)$$이다. \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(F\)는 \(a\)에서 연속이고 \(F_{n}(a)\,\rightarrow\,F(a)\)이다.   

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley

실해석&함수해석학, 방현수, 교우사