[측도론] 7-4 라돈측도의 곱

[측도론] 7-4 라돈측도의 곱

여기서 \(X\)와 \(Y\)는 LCH공간, \(\pi_{X}:X\times Y\,\rightarrow\,X\)와 \(\pi_{Y}:X\times Y\,\rightarrow\,Y\)는 사영이다. 

7.18 

a. \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}\subset\mathcal{B}_{X\times Y}\) 

b. \(X,\,Y\)가 제2가산이면, \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}=\mathcal{B}_{X\times Y}\) 

c. \(X,\,Y\)가 제2가산이고 \(\mu\), \(\nu\)가 각각 \(X,\,Y\)에서 라돈측도이면, \(\mu\times\nu\)는 \(X\times Y\)에서의 라돈측도이다.  

증명: 

a: 1.4에 의해 \(\mathcal{B}\otimes\mathcal{Y}\)는 \(U\times V\)에 의해 생성되고 여기서 \(U\subset X\), \(V\subset Y\)는 열린집합이다. \(U\times V\)는 열린집합이므로 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}\subset\mathcal{B}_{X\times Y}\)이다.  

b: \(X\)와 \(Y\)가 가산기저 \(\mathcal{E}\)와 \(\mathcal{F}\)를 가지면 \(X,\,Y\) 또는 \(X\times Y\)상의 열린집합은 \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) 또는 \(\{U\times V\,|\,U\in\mathcal{E},\,V\in\mathcal{F}\}\)의 원소들의 가산합집합이다. 이것은 \(\mathcal{B}_{X}\), \(\mathcal{B}_{Y}\), \(\mathcal{B}_{X\times Y}\)가 \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\), \(\{U\times V\,|\,U\in\mathcal{E},\,V\in\mathcal{F}\}\)에 의해 생성됨을 뜻하고 따라서 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}=\mathcal{B}_{X\times Y}\)이다.  

c: b에 의해 \(\mu\times\nu\)는 보렐측도이므로 7.6에 의해 모든 컴팩트집합 \(K\subset X\times Y\)에 대하여 \((\mu\times\nu)(K)<\infty\)임을 보이면 된다. \(\pi_{X}[K]\), \(\pi_{Y}[K]\)는 컴팩트이고 \(K\subset\pi_{X}[K]\times\pi_{Y}[K]\)이므로 \((\mu\times\nu)(K)=\mu(\pi_{X}[K])\nu(\pi_{Y}[K])<\infty\)이다.  

\(X,\,Y\)중 하나가 제2가산이 아니면 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}\neq\mathcal{B}_{X\times Y}\)일 수 있다. 이 경우 라돈측도의 곱은 라돈측도라는 보장이 없으나 라돈측도가 되게 할 수 있다. \(g,\,h\)가 \(X,\,Y\)상의 함수이면 \(g\otimes h\)를 \(X\times Y\)상의 함수로 다음과 같이 정의한다.$$(g\otimes h)(x,\,y)=g(x)h(y)$$  

7.19 \(\mathcal{P}\)를 함수 \(g\otimes h\,(g\in C_{c}(X),\,h\in C_{c}(Y))\)에 의해 생성되는 벡터공간이라 하자. 그러면 \(\mathcal{P}\)는 \(C_{c}(X\times Y)\)에서 균등노름에 대해 조밀하고 \(f\in C_{c}(X\times Y)\), \(\epsilon>0\), \(\pi_{X}[\text{supp}(f)]\)와 \(\pi_{Y}[\text{supp}(f)]\)를 포함하는 예비컴팩트 열린집합 \(U\subset X\), \(V\subset Y\)에 대해 \(F\in\mathcal{P}\)가 존재해서 \(\|F-f\|_{u}<\epsilon\)이고 \(\text{supp}(F)\subset U\times V\)이다.  

증명: \(\overline{U}\times\overline{V}\)는 컴팩트 하우스도르프공간이므로 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 \(\{g\otimes h\,|\,g\in C(\overline{U}),\,h\in C(\overline{V})\}\)의 선형생성은 \(C(\overline{U}\times\overline{V})\)에서 조밀하고 특히 이 생성의 원소 \(G\)가 존재해서 \(\displaystyle\sup_{\overline{U}\times\overline{V}}{|G-f|}<\epsilon\)이다. 또한 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 \(\phi\in C_{c}(U,\,[0,\,1])\), \(\psi\in C_{c}(V,\,[0,\,1])\)가 존재해서 \(\phi|_{\pi_{X}[\text{supp}(f)]}=1\), \(\psi|_{\pi_{X}[\text{supp}(f)]}=1\)이다. 따라서 \(F=(\phi\otimes\psi)G\chi_{U\times V}\)라 하면 \(F\in\mathcal{P}\), \(\text{supp}(F)\subset U\times V\), \(\|F-f\|_{u}<\epsilon\)이다.   

7.20 모든 \(f\in C_{c}(X\times Y)\)는 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}-\)가측이다. \(\mu\), \(\nu\)가 \(X,\,Y\)에서 라돈측도이면, \(C_{c}(X\times Y)\subset L^{1}(\mu\times\nu)\)이고 모든 \(f\in C_{c}(X\times Y)\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}=\iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}=\iint_{Y\times X}{fd\nu d\mu}$$ 

증명: \(g\in C_{c}(X)\), \(h\in C_{c}(Y)\)이면, \(g\otimes h=(g\circ\pi_{X})(h\circ\pi_{Y})\)이고 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}\)의 정의에 의해 \(\pi_{X}\)와 \(\pi_{Y}\)는 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}\)에서 \(\mathcal{B}_{X}\)와 \(\mathcal{B}_{Y}\)로의 가측함수, \(g,\,h\)는 연속함수이므로 \(g\circ\pi_{X}\), \(h\circ\pi_{Y}\)는 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}-\)가측이다. 가측함수의 합과 곱, 점별수렴극한은 가측이므로 7.19에 의해 모든 \(f\in C_{c}(X\times Y)\)는 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}-\)가측이다. 또한 모든 \(f\in C_{c}(X\times Y)\)는 유계이고 \((\mu\times\nu)(\text{supp}(f))<\infty\)이므로 \(f\in L^{1}(\mu\times\nu)\)이고 \(C_{c}(X\times Y)\subset L^{1}(\mu\times\nu)\)이다. 마지막은 \(f\in C_{c}(X\times Y)\)에 대해 푸비니정리를 적용하고 \(\mu,\,\nu\)가 \(\sigma-\)유한이 아니면 \(\mu\)와 \(\nu\)를 유한측도 \(\mu|_{\pi_{X}(\text{supp}(f))}\)와 \(\nu|_{\pi_{Y}(\text{supp}(f))}\)로 대체한다. 

\(X,\,Y\)에서의 라돈측도 \(\mu,\,\nu\)로부터 \(X\times Y\)에서의 라돈측도를 얻을 수 있다. 7.20에 의해 \(\displaystyle I(f)=\int_{X\times Y}{fd(\mu\times\nu)}\)는 \(C_{c}(X\times Y)\)상의 양 선형범함수이므로 리즈 표현정리(7.15)에 의해 \(X\times Y\)상의 라돈측도가 결정된다. 이 측도를 \(\mu\)와 \(\nu\)의 라돈 곱(Radon product)이라 하고 \(\mu\hat{\times}\nu\)로 나타낸다. 이때 "\(\mu\hat{\times}\nu\)가 \(\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}\)상의 \(\mu\times\nu\)와 같은가?"라는 의문이 생기는데 그 답은 '아니다'이고, 그 반례는 \(X=\mathbb{R}\), \(Y=\mathbb{R}_{d}(=2^{\mathbb{R}})\)(실수 상의 이산위상), \(\mu\)가 르베그측도, \(\nu\)가 셈측도이다.  

*\(E_{x}=\{y\in Y\,|\,(x,\,y)\in E\}\), \(E^{y}=\{x\in X\,|\,(x,\,y)\in E\}\), \(f_{x}(y)=f^{y}(x)=f(x,\,y)\)임을 상기하자. 

7.21  

a. \(E\in\mathcal{B}_{X\times Y}\)이면, 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(E_{x}\in\mathcal{B}_{Y}\)이고 모든 \(y\in Y\)에 대하여 \(E^{y}\in\mathcal{B}_{X}\)이다.   

b. \(f:X\times Y\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)가 \(\mathcal{B}_{X\times Y}-\)가측이면, 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(f_{x}\)는 \(\mathcal{B}_{X}-\)가측, 모든 \(y\in Y\)에 대하여 \(f^{y}\)는 \(\mathcal{B}_{Y}-\)가측이다.   

증명: 

a: 모든 \(x\in X,\,y\in Y\)에 대해 \(E_{x}\in\mathcal{B}_{Y}\), \(E^{y}\in\mathcal{B}_{X}\)인 모든 \(E\subset X\times Y\)들의 집합족은 \(\sigma-\)대수이고 모든 열린집합들을 포함하며(\(\because\) \(E\)가 열린집합이면, 사상 \(y'\,\mapsto\,(x,\,y')\), \(x'\,\mapsto\,(x',\,y)\)에 의한 \(E\)의 역상으로부터 \(E_{x}\), \(E^{y}\)도 열린집합이다)따라서 \(\mathcal{B}_{X\times Y}\)를 포함한다.  

b: \((f_{x})^{-1}[A]=(f^{-1}[A])_{x}\), \((f^{y})^{-1}[A]=(f^{-1}[A])^{y}\)이므로 a에 의해 성립한다.  

7.22 \(f\in C_{c}(X\times Y)\)이고 \(\mu,\,\nu\)가 \(X,\,Y\)상의 라돈측도이면, 함수 \(\displaystyle x\,\mapsto\,\int_{X}{f_{x}d\nu}\), \(\displaystyle y\,\mapsto\,\int_{X}{f^{y}d\mu}\)는 연속이다.  

증명: \(f_{x}\)에 대해 보이자. 임의의 \(x_{0}\in X\)와 \(\epsilon>0\)에 대해 \(x_{0}\)의 근방 \(U\)가 존재해서 모든 \(x\in U\)에 대해 \(\|f_{x}-f_{x_{0}}\|_{u}<\epsilon\)가 됨을 보이면 충분하고 이때 다음이 성립한다.$$\left|\int_{Y}{(f_{x}-f_{x_{0}})d\nu}\right|<\epsilon\nu(\pi_{Y}[\text{supp}(f)])$$모든 \(y\in\pi_{Y}[\text{supp}(f)]\)에 대하여 \(x_{0}\)와 \(y\)의 근방 \(U_{y}\), \(V_{y}\)가 존재해서 \((x,\,z)\in U_{y}\times V_{y}\)이면 \(\displaystyle|f(x_{0},\,y)-f(x,\,z)|<\frac{1}{2}\epsilon\)이다. \(\pi_{Y}[\text{supp}(f)]\)의 유한부분덮개 \(V_{y_{1}},\,...,\,V_{y_{n}}\)를 선택하고 \(\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{n}{U_{y_{i}}}\)라 하면 \(U\)는 \(x_{0}\)의 근방이다. \(x\in U\)이면 \((x_{0},\,y),\,(x,\,y)\in U_{y_{i}}\times V_{y_{i}}\)이고$$|f(x_{0},\,y)-f(x,\,y)|\leq|f(x_{0},\,y)-f(x_{0},\,z)|+|f(x_{0},\,z)-f(x,\,y)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$이다. 그러면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\left|\int_{Y}{(f_{x}-f_{x_{0}})d\nu}\right|\leq\nu(\pi_{Y}[\text{supp}(f)])$$가 성립한다.  

7.23 \(\mu,\,\nu\)를 \(X,\,Y\)에서 라돈측도라 하자. \(U\)가 \(X\times Y\)에서 열린집합이면, 함수 \(x\,\mapsto\,\nu(U_{x})\), \(y\,\mapsto\,\mu(U^{y})\)는 \(X,\,Y\)에서 보렐가측이고 다음이 성립한다.$$(\mu\hat{\times}\nu)(U)=\int_{X}{\nu(U_{x})d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(U^{y})d\nu(y)}$$ 

증명: \(\mathcal{F}=\{f\in C_{c}(X\times Y)\,|\,0\leq f\leq\chi_{U}\}\)라고 하자. 7.9에 의해 \(\displaystyle\chi_{U}=\sup_{f\in\mathcal{F}}{f}\)이고 따라서 \(\displaystyle\chi_{U_{x}}=\sup_{f\in\mathcal{F}}{f_{x}}\), \(\displaystyle\chi_{U^{y}}=\sup_{f\in\mathcal{F}}{f^{y}}\)이므로 7.10에 의해 다음이 성립한다.$$(\mu\hat{\times}\nu)(U)=\sup_{f\in\mathcal{F}}{\int_{X\times Y}{fd(\mu\hat{\times}\nu)}},\,\nu(U_{x})=\sup_{f\in\mathcal{F}}{\int_{Y}{f_{x}d\nu}},\,\mu(U^{y})=\sup_{f\in\mathcal{F}}{\int_{X}{f^{y}d\mu}}$$7.22와 7.9에 의해 \(x\,\mapsto\,\nu(U_{x})\)와 \(y\,\mapsto\,\mu(U^{y})\)는 LSC이고 따라서 보렐가측이다. 7.10과 7.20에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\begin{align*}(\mu\hat{\times}\nu)(U)&=\sup_{f\in\mathcal{F}}{\iint_{X\times Y}{f_{x}d\nu d\mu(x)}}=\int_{X}{\left\{\sup_{f\in\mathcal{F}}{\int_{Y}{f_{x}d\nu}}\right\}d\mu(x)}=\int_{X}{\nu(U_{x})d\mu(x)}\\&=\sup_{f\in\mathcal{F}}{\iint_{X\times Y}{f^{y}d\mu d\nu(y)}}=\int_{Y}{\left\{\sup_{f\in\mathcal{F}}{\int_{X}{f^{y}d\mu}}\right\}d\nu(y)}=\int_{Y}{\mu(U^{y})d\nu(y)}\end{align*}$$

7.24 \(\mu,\,\nu\)를 각각 \(X,\,Y\)에서 \(\sigma-\)유한 라돈측도라 하자. \(E\in\mathcal{B}_{X\times Y}\)이면, 함수 \(x\,\mapsto\,\nu(E_{x})\), \(y\,\mapsto\,\mu(E^{y})\)(7.21 참고)는 각각 \(X,\,Y\)에서 보렐가측이고$$(\mu\hat{\times}\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x})d\mu(x)}=\int_{Y}{\mu(E^{y})d\nu(y)}$$이며 \(\mu\hat{\times}\nu|_{\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}}=\mu\times\nu\)이다.   

증명: 열린집합 \(U\subset X\), \(V\subset Y\)를 고정해서 \(\mu(U)<\infty\), \(\nu(V)<\infty\), \(W=U\times V\), \(\mathcal{M}\)을 \(E\cap W\)가 이 정리의 결론을 만족하게 하는 \(E\in\mathcal{B}_{X\times Y}\)들의 집합족이라 하자.  

i. 7.23에 의해 \(\mathcal{M}\)은 모든 열린집합들을 포함한다.  

ii. \(E,\,F\in\mathcal{M}\), \(F\subset E\)이면 \(E-F\in\mathcal{M}\)이고 특히 \(F\in\mathcal{M}\)이면 \(F^{c}=X-F\in\mathcal{M}\)이다.$$(\mu\hat{\times}\nu)(E\cap W)=(\mu\hat{\times}\nu)(F\cap W)+(\mu\hat{\times}\nu)((E-F)\cap W)$$이고 \(\nu((E\cap W)_{x})\)와 \(\mu((E\cap W)^{y})\)에 대해서도 같은 결과를 얻는다. 이 결론은 \(E\cap W\), \(F\cap W\), 유한측도집합에서 참이므로(\(W=U\times V\)를 도입한 이유), \((E-F)\cap W\)에 대해서도 참이다.  

iii. \(\mathcal{M}\)은 유한개의 서로소인 합집합에 대해 닫혀있다.(측도의 덧셈) 

iv. \(\mathcal{M}\)은 증가집합(\(E_{n}\subset E_{n+1}\))들의 가산합집합에 대해 닫혀있으므로 ii에 의해 감소집합(\(E_{n+1}\subset E_{n}\))들의 가산교집합에 대해 닫혀있다.(단조수렴정리에 의해 성립한다) 

\(\mathcal{E}=\{A-B\,|\,A,\,B\,\text{open in}\,X\times Y\}\), \(\mathcal{A}\)를 유한개의 서로소인 \(\mathcal{E}\)의 집합들의 합집합들을 모은 집합족이라 하자.$$\begin{align*}(A_{1}-B_{1})&\cap(A_{2}-B_{2})=(A_{1}\cap A_{2})-(B_{1}\cup B_{2})\\(A-B)^{c}&=((X\times Y)-A)\cup((A\cap B)-\phi)\end{align*}$$이므로 \(\mathcal{E}\)은 기본 집합족이고 1.7에 의해 \(\mathcal{A}\)는 대수이다. 단조류 보조정리(2.36)에 의해 \(\mathcal{A}\)에 의해 생성된 단조류는 \(\mathcal{A}\)에 의해 생성되는 \(\sigma-\)대수와 일치하고 \(\mathcal{B}_{X\times Y}\)이다. i, ii, iii, iv에 의해(\(\because\,A-B=A-(A\cap B)\)) \(\mathcal{M}\)은 이 단조류들을 포함하고 \(\mathcal{M}=\mathcal{B}_{X\times Y}\)이다.    

\(\mu,\,\nu\)는 \(\sigma-\)유한이고 외정칙이므로 \(\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}{U_{n}}\), \(\displaystyle Y=\bigcup_{n=1}^{\infty}{V_{n}}\)이고 \(U_{n},\,V_{n}\)은 측도가 유한한 열린집합이며 \(U_{n}\subset U_{n+1}\), \(V_{n}\subset V_{n+1}\)이라고 할 수 있다. 앞의 결과들에 의해 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E\cap(U_{n}\times V_{n})\)은 이 정리의 결론을 만족하고 단조수렴정리에 의해 \(E\)도 이 정리의 결론을 만족한다. 마지막으로 \(E\in\mathcal{B}_{X}\otimes\mathcal{B}_{Y}\)이면 토넬리 정리에 의해 다음이 성립한다.$$(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}{\nu(E_{x})d\mu(x)}=(\mu\hat{\times}\nu)(E)$$ 

7.25 라돈 곱에 대한 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli Theorem for Radon Products) 

\(\mu,\,\nu\) 를 각각 \(X,\,Y\)에서 \(\sigma-\)유한 라돈측도, \(f\)를 \(X\times Y\)에서 보렐측도라 하자. 그러면 모든 \(x,\,y\)에 대해 \(f_{x}\), \(f^{y}\)는 보렐가측이다. \(f\geq0\)이면, \(\displaystyle x\,\mapsto\,\int_{Y}{f_{x}d\nu}\), \(\displaystyle y\,\mapsto\,\int_{Y}{f^{y}d\mu}\)는 각각 \(X\), \(Y\)에서 보렐측도이다.  

\(f\in L^{1}(\mu\hat{\times}\nu)\)이면 \(a.e.\,x\)에 대해 \(f_{x}\in L^{1}(\nu)\), \(a.e.\,y\)에 대해 \(f^{y}\in L^{1}(\mu)\)이고 \(\displaystyle x\,\mapsto\,\int_{Y}{f_{x}d\nu}\in L^{1}(\mu)\), \(\displaystyle y\,\mapsto\,\int_{X}{f^{y}d\mu}\in L^{1}(\nu)\)이며, 이 두 경우 다음이 성립한다.$$\int_{X\times Y}{fd(\mu\hat{\times}\nu)}=\iint_{X\times Y}{fd\mu d\nu}=\iint_{X\times Y}{fd\nu d\mu}$$ 

증명: 7.21에 의해 \(f_{x},\,f^{y}\)는 가측이고, 일반적인 푸비니-토넬리 정리의 증명에서 2.37대신 7.24를 사용한다.  

임의의 유한개의 라돈 곱의 개념의 확장은 쉽다. 이 이론을 무한히 많은 개수의 라돈 곱으로 확장할 수 있고 이때 공간은 컴팩트공간, 각 공간의 측도는 정규화해서 그 값이 1이다. 

\(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 컴팩트 하우스도르프공간들의 집합족, 각 \(\alpha\)에 대해 \(\mu_{\alpha}\)는 \(X_{\alpha}\)에서 라돈측도이고 \(\mu_{\alpha}(X_{\alpha})=1\), \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)라 하자. 티코노프 정리에 의해 \(X\)는 컴팩트 하우스도르프 공간이다.  

\(X\)상의 라돈측도 \(\mu\)를 모든 \(\alpha\)에 대해 \(E_{\alpha}\)가 \(X_{\alpha}\)에서 보렐집합이고 유한개를 제외한 \(\alpha\)에 대하여 \(E_{\alpha}=X_{\alpha}\)이면, \(\displaystyle\mu\left(\prod_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\right)=\prod_{\alpha\in A}{\mu_{\alpha}(E_{\alpha})}\)가 되게 정의하고자 한다. \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in A\)에 대하여 사영 \(\pi_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)을 다음과 같이 정의하자.$$\pi_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}(x)=(x_{\alpha_{1}},\,...,\,x_{\alpha_{n}})$$그러면 \(\displaystyle\pi^{-1}_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\left(\prod_{i=1}^{n}{E_{\alpha_{i}}}\right)=\prod_{\alpha\in A}{E_{\alpha}}\)이고 여기서 \(\alpha\neq\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\)에 대하여 \(E_{\alpha}=X_{\alpha}\)이다. 

7.26 모든 \(\alpha\in A\)에 대하여 \(\mu_{\alpha}\)를 컴팩트 하우스도르프공간 \(X_{\alpha}\)에서의 라돈측도이고 \(\mu_{\alpha}(X_{\alpha})=1\)이라고 하자. 그러면 \(\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}{X_{\alpha}}\)에서의 유일한 라돈측도 \(\mu\)가 존재해서 임의의 \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in A\)와 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{X_{\alpha_{i}}}\)에서의 임의의 보렐집합 \(E\)에 대해 다음이 성립한다.$$\mu(\pi^{-1}_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}[E])=(\mu_{\alpha_{1}}\hat{\times}\cdots\hat{\times}\mu_{\alpha_{n}})(E)$$ 

증명: \(C_{F}(X)\)를 다음과 같이 정의하자$$C_{F}(X)=\left\{f\in C(X)\,|\,f=g\circ\pi_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\,\text{for some}\,\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in A\,\text{and}g\in C\left(\prod_{i=1}^{n}{X_{\alpha_{i}}}\right)\right\}$$\(f\in C_{F}(X)\)에 대하여 \(I(f)\)를 다음과 같이 정의하는데$$I(f)=\int_{X_{\alpha_{1}}\times\cdots\times X_{\alpha_{n}}}{fd(\mu_{\alpha_{1}}\hat{\times}\cdots\hat{\times}\mu_{\alpha_{n}})}$$모든 \(\alpha\)에 대하여 \(\mu_{\alpha}(X_{\alpha})=1\)이므로 \(I(f)\)식에 좌표를 추가해도 아무런 영향이 없다. 따라서 \(I(f)\)는 \(C_{F}(X)\)에서 잘 정의된 양 선형범함수이고 \(|I(f)|\leq\|f\|_{u}\)이며 등식은 \(f\)가 상수함수일 때 성립한다. 

\(C_{F}(X)\)는 점을 분리하는 대수이고 상수함수를 포함하며 복소공액에 대해 닫혀있으므로 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 \(C(X)\)에서 조밀하다. 따라서 범함수 \(I\)는 \(C(X)\)에서 노름이 1인 양 선형범함수로 유일하게 확장하고 리즈 표현정리에 의해 \(X\)에서 유일한 라돈측도 \(\mu\)가 존재해서 모든 \(f\in C_{F}(X)\)에 대해 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\)이다. \(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in A\)에 대해 \(\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}=\mu\circ\pi^{-1}_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)이라 하자. 그러면 \(\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)은 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{X_{\alpha_{i}}}\)에서의 보렐측도이고$$\int_{X_{\alpha_{1}}\times\cdots\times X_{\alpha_{n}}}{gd\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}}=\int_{X}{g\circ\pi_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}d\mu}$$이며 여기서 \(g\)는 보렐집합에 대한 특성함수이다. 2.10에 의해 \(g\)가 임의의 보렐함수일 때도 성립한다. 특히 \(\mu\)의 정의와 모든 \(\displaystyle g\in C\left(\prod_{i=1}^{n}{X_{\alpha_{i}}}\right)\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\int_{X_{\alpha_{1}\times\cdots\times X_{\alpha_{n}}}}{gd\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}}=\int_{X_{\alpha_{1}}\times\cdots\times X_{\alpha_{n}}}{gd(\mu_{\alpha_{1}}\hat{\times}\cdots\hat{\times}\mu_{\alpha_{n}})}$$\(\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)이 라돈측도이면, 리즈 표현의 유일성으로부터 \(\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}=\mu_{\alpha_{1}}\hat{\times}\cdots\hat{\times}\mu_{\alpha_{n}}\)이다. \(\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)이 라돈측도임을 보이자. \(E\)를 \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{X_{\alpha_{i}}}\)에서 보렐측도, 편의를 위해 \(\pi=\pi_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)이라 하자. \(\mu\)가 정칙이므로 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 컴팩트집합 \(K\subset\pi^{-1}[E]\)가 존재해서 \(\mu(K)>\mu(\pi^{-1}[E])-\epsilon\)이다. 그러면 \(K'=\pi[K]\)는 \(E\)의 컴팩트 부분집합이고 \(\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}[K']=\mu(\pi^{-1}[K'])\geq\mu(K)\)이며 \(K\subset \pi^{-1}[K']\)이므로$$\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}(K')>\mu(\pi^{-1}[E])-\epsilon=\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}(E)-\epsilon$$이다. 따라서 \(\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)은 내정칙이고 \(E^{c}\)에 대해 위와 같은 방법을 적용해서 외정칙임을 보일 수 있으므로 \(\mu_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)은 라돈측도이다.     

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley