[측도론] 7-1 라돈 측도와 Cc(X)에서의 양 선형범함수

[측도론] 7-1 라돈 측도와 Cc(X)에서의 양 선형범함수

여기서 \(X\)는 LCH(국소컴팩트 하우스도르프(\(T_{2}\))공간), \(\mathcal{B}_{X}\)는 \(X\)상의 보렐 \(\sigma-\)대수(열린집합에 의해 생성됨), \(\mathcal{B}_{X}\)상의 측도는 보렐측도, 닫힌집합들의 가산합집합은 \(F_{\sigma}\)집합, 열린집합들의 가산교집합은 \(G_{\delta}\)집합이다.  

\(f\in C(X)\)의 받침은 \(\text{supp}(f)=\overline{\{x\,|\,f(x)=0\}}\)이고 \(C_{c}(X)=\{f\in C(X)\,|\,\text{supp}(f)\,\text{is compact}\}\)이다. \(C_{c}(X)\)상의 선형범함수 \(I\)가 \(f\geq0\)일 때 \(I(f)\geq0\)이면 \(I\)를 양 선형범함수(positive linear functional)라고 한다.  

7.1 \(I\)가 \(C_{c}(X)\)에서 양 선형범함수이면, 모든 컴팩트집합 \(K\subset X\)에 대해 상수 \(C_{k}\)가 존재해서 \(\text{supp}(f)\subset K\)인 모든 \(f\in C_{c}(X)\)에 대해 \(|I(f)|\leq C_{k}\|f\|_{u}\)이다.  

증명: \(f\)가 실함수인 경우에 대해서 보이면 충분하다. 우리존의 보조정리(4.30)를 이용하여 한 컴팩트집합 \(K\)에 대해 \(\phi\in C_{c}(X,\,[0,\,1])\)를 선택해서 \(\phi|_{K}=1\)이라 하자. 그러면 \(\text{supp}(f)\subset K\)이면 \(|f|\leq\|f\|_{u}\phi\)이고 \(\|f\|_{u}\phi-f\geq0\), \(\|f\|_{u}\phi+f\geq0\)이다. 따라서 \(\|f\|_{u}I(\phi)-I(f)\geq0\), \(\|f\|_{u}I(\phi)+I(f)\geq0\)이므로 \(|I(f)|\leq I(\phi)\|f\|_{u}\)이다.  

\(\mu\)가 모든 컴팩트집합 \(K\subset X\)에 대해 \(\mu(K)<\infty\)인 \(X\)상의 보렐측도이면, 분명히 \(C_{c}(X)\subset L^{1}(\mu)\)이므로 사상 \(\displaystyle f\,\mapsto\,\,\int_{X}{fd\mu}\)는 \(C_{c}(X)\)에서의 양 선형범함수이다. \(\mu\)를 \(X\)에서의 보렐측도, \(E\subset X\)를 보렐집합이라 하자. \(\mu\)가 \(E\)에서 다음 식을 만족하면 \(\mu\)를 \(E\)에서 외정칙(outer regular)이라 하고$$\mu(E)=\inf\{\mu(U)\,|\,E\subset U,\,U\text{open}\}$$\(\mu\)가 \(E\)에서 다음 식을 만족하면 \(\mu\)를 \(E\)에서 내정칙(inner regular)이라고 한다.$$\mu(E)=\sup\{\mu(K)\,|\,K\,\text{compact}\}$$\(\mu\)가 모든 보렐집합에서 외정칙이고 내정칙이면, \(\mu\)를 정칙(regular)이라고 한다.   

\(X\)상의 라돈측도(Radon measure)는 컴팩트집합에서 유한하고 보렐집합에서 외정칙, 열린집합에서 내정칙인 측도이다. 

\(U\)가 \(X\)에서 열린집합이고 \(f\in C_{c}(X)\)일 때 \(f\prec U\)는 \(0\leq f\leq1\)이고 \(\text{supp}(f)\subset U\)를 의미한다. 이것은 조건 \(0\leq f\leq\chi_{U}\)보다 강력하고, \(\text{supp}(f)\subset\overline{U}\)를 뜻한다. 

 

7.2 리즈 표현정리(Riesz Representation Theorem) 

\(I\)가 \(C_{c}(X)\)에서 양 선형범함수이면, \(X\)에서 유일한 라돈측도 \(\mu\)가 존재해서 모든 \(f\in C_{c}(X)\)에 대해 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\)이고 다음의 두 조건들을 만족한다. 

(*) 모든 열린집합 \(U\subset X\)에 대해 \(\mu(U)=\sup\{I(f)\,|\,f\in C_{c}(X),\,f\prec U\}\)

(#) 모든 컴팩트집합 \(K\subset X\)에 대해 \(\mu(K)=\inf\{I(f)\,|\,f\in C_{c}(X),\,f\geq\chi_{K}\}\) 

증명: 유일성을 보이자. \(\mu\)가 라돈측도이고 모든 \(f\in C_{c}(X)\)에 대해 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\), \(U\subset X\)가 열린집합이면, \(f\prec U\)일 때 \(I(f)\leq\mu(U)\)이다. \(K\subset U\)가 컴팩트집합이면, 우리존의 보조정리에 의해 \(f\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(f\prec U\)이고 \(f|_{K}=1\)이므로 \(\displaystyle\mu(K)\leq\int_{X}{fd\mu}=I(f)\)이다. \(\mu\)는 \(U\)에서 내정칙이므로 (*)를 만족하고 따라서 \(\mu\)는 열린집합에서 \(I\)에 의해 결정되고, 외정칙성에 의해 모든 보렐집합에서 \(I\)에 의해 결정된다. 이것으로 \(\mu\)가 유일함을 보였다. 

\(\mu\)가 존재함을 보이자. 열린집합 \(U\)에 대해$$\mu(U)=\sup\{I(f)\,|\,f\in C_{c}(X),\,f\prec U\}$$로 정의하고 다음으로 임의의 \(E\subset X\)에 대해 \(\mu^{*}(E)\)를 다음과 같이 정의하자.$$\mu^{*}(E)=\inf\{\mu(U)\,|\,E\subset U,\,U\,\text{open}\}$$그러면 \(U\subset V\)일 때 분명히 \(\mu(U)\leq\mu(V)\)이고 따라서 \(U\)가 열린집합일 때 \(\mu^{*}(U)=\mu(U)\)이다. 

이 정리를 증명하기 위해 다음의 i, ii, iii, iv가 성립함을 보여야 한다. 

i. \(\mu^{*}\)는 외측도이다.  

ii. 모든 열린집합은 \(\mu^{*}-\)가측이다. 

카라테오도리 정리에 의해 모든 보렐집합은 \(\mu^{*}-\)가측이고 \(\mu=\mu^{*}|_{\mathcal{B}_{X}}\)는 보렐측도이다.(\(\because\) \(U\)가 열린집합이면 \(\mu^{*}(U)=\mu(U)\)) 측도 \(\mu\)는 외정칙이고 정의에 의해 (*)를 만족시킨다. 그 다음으로 iii가 성립함을 보인다.    

iii. \(\mu\)는 (#)를 만족시킨다. 

이것은 \(\mu\)가 컴팩트집합에서 유한하고 열린집합에서 내정칙임을 뜻한다. \(U\)가 열린집합이고 \(\alpha<\mu(U)\)이면 \(f\in C_{c}(X)\)를 선택해서 \(f\prec U\), \(I(f)>\alpha\)가 되게 하고 \(K=\text{supp}(f)\)라 하자. \(g\in C_{c}(X)\), \(g\geq\chi_{K}\)이면, \(g-f\geq0\)이고 따라서 \(I(g)\geq I(f)>\alpha\)이다. (#)에 의해 \(\mu(K)>\alpha\)이므로 \(\mu\)는 \(U\)에서 내정칙이다. 마지막으로 iv가 성립함을 보여 증명을 마무리한다.  

iv. 모든 \(f\in C_{c}(X)\)에 대하여 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\)이다. 

(i)의 증명: \(\{U_{i}\}\)가 열린집합열이고 \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\)일 때, \(\displaystyle\mu(U)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i})}\)가 성립함을 보이면 충분하다. 임의의 \(E\subset X\)에 대하여$$\mu^{*}(E)=\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i})}\,|\,U_{i}\,\text{open},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\right\}$$라고 하면 이 식의 우변은 1.10에 의해 외측도이다. \(\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\), \(f\in C_{c}(X)\), \(f\prec U\)일 때 \(K=\text{supp}(f)\)라 하자. \(K\)는 컴팩트이므로 적당한 \(n\)에 대해 \(\displaystyle K\subset\bigcup_{i=1}^{n}{U_{i}}\)이고 4.37에 의해 \(g_{1},\,...,\,g_{n}\in C_{c}(X)\)이 존재해서 \(g_{i}\prec U_{i}\)이고 \(K\)에서 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{g_{i}}=1\)이다. \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{fg_{i}}\), \(fg_{i}\prec U_{i}\)이므로$$I(f)\leq\sum_{i=1}^{n}{I(fg_{i})}\leq\sum_{i=1}^{n}{\mu(U_{i})}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i})}$$이고 임의의 \(f\prec U\)에 대해 성립하므로 \(\displaystyle\mu(U)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i})}\)이다.   

(ii)의 증명: \(U\)가 열린집합이고 \(E\subset X\), \(\mu^{*}(E)<\infty\)이면, \(\mu^{*}(E)\geq\mu^{*}(E\cap U)+\mu^{*}(E\cap U^{c})\)가 성립함을 보여야 한다. 먼저 \(E\)를 열린집합이라고 하면 \(E\cap U\)는 열린집합이므로 \(\epsilon>0\)에 대해 \(f\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(f\prec E\cap U\)이고 \(I(f)>\mu(E\cap U)-\epsilon\)이다. 또한 \(E-(\text{supp}(f))\)는 열린집합이므로 \(g\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(g\prec E-(\text{supp}(f))\), \(I(g)>\mu(E-\text{supp}(f))-\epsilon\)이다. \(f+g\prec E\)이므로$$\begin{align*}\mu(E)&\geq I(f)+I(g)\\&>\mu(E\cap U)+\mu(E-\text{supp}(f))-2\epsilon\\&\geq\mu^{*}(E\cap U)+\mu^{*}(E-U)-2\epsilon\end{align*}$$이고 이 부등식에서 \(\epsilon\,\rightarrow\,0\)이라고 하면 된다. 

일반적인 경우, \(\mu^{*}(E)<\infty\)이면 열린집합 \(E\subset V\)가 존재해서 \(\mu(V)<\mu^{*}(E)+\epsilon\)이고 따라서 다음의 부등식이 성립하며 이때 \(\epsilon\,\rightarrow\,0\)이라고 하면 된다.$$\begin{align*}\mu^{*}(E)+\epsilon&>\mu(V)\\&\geq\mu^{*}(V\cap U)+\mu^{*}(V-U)\\&\geq\mu^{*}(E\cap U)+\mu^{*}(E-U)\end{align*}$$   

(iii)의 증명: \(K\)가 컴팩트 \(f\in C_{c}(X)\), \(f\geq\chi_{K}\)일 때 \(U_{\epsilon}=\{x\,|\,f(x)>1-\epsilon\}\)이라 하면 \(U_{\epsilon}\)은 열린집합이고 \(g\prec U_{\epsilon}\)이면 \(\displaystyle\frac{1}{1-\epsilon}f-g\geq0\)이고 \(\displaystyle I(g)\leq\frac{1}{1-\epsilon}I(f)\)이다. 따라서 \(\displaystyle\mu(K)\leq\mu(U_{\epsilon})\leq\frac{1}{1-\epsilon}I(f)\)이고 \(\epsilon\,\rightarrow\,0\)이면 \(\mu(K)\leq I(f)\)이다. 반면에 임의의 열린집합 \(K\subset U\)에 대해 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 \(f\in C_{c}(X)\)가 존재해서 \(f\geq\chi_{K}\)이고 \(f\prec U\)이므로 \(I(f)\leq\mu(U)\)이다. \(\mu\)는 \(K\)에서 외정칙이므로 (#)이 성립한다.   

(iv)의 증명: \(f\in C_{c}(X)\)일 때 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\)가 성립함을 보이자. \(n\in\mathbb{N}\), \(1\leq i\leq N\)에 대하여 \(\displaystyle K_{i}=\left\{x\,|\,f(x)\geq\frac{i}{N}\right\}\), \(K_{0}=\text{supp}(f)\)라 하고 \(f_{1},\,...,\,f_{N}\in C_{c}(X)\)를 다음과 같이 정의하면$$f_{i}(x)=\begin{cases}0&\,(x\notin K_{i-1})\\f(x)-\frac{i-1}{N}&\,(x\in K_{i-1}-K_{i})\\ \frac{1}{N}&\,(x\in K_{i})\end{cases}$$\(\displaystyle f_{i}=\min\left\{\max\left\{f-\frac{i-1}{N},\,0\right\},\,\frac{1}{N}\right\}\)이고 \(\displaystyle\frac{1}{N}\chi_{K_{i}}\leq f_{i}\leq\frac{1}{N}\chi_{K_{i-1}}\)이므로 다음의 부등식이 성립한다.$$\frac{1}{N}\mu(K_{i})\leq\int_{X}{f_{i}d\mu}\leq\frac{1}{N}\mu(K_{i-1})$$또한 \(U\)가 \(K_{i-1}\)을 포함하는 열린집합이면 \(Nf_{i}\prec U\)이고 \(\displaystyle I(f_{i})\leq\frac{1}{N}\mu(U)\)이므로 (#)과 외정칙성에 의해$$\frac{1}{N}\mu(K_{i})\leq I(f_{i})\leq\frac{1}{N}\mu(K_{i-1})$$이고 \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{N}{f_{i}}\)이므로 다음의 두 부등식이 성립한다.$$\begin{align*}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{\mu(K_{i})}&\leq\int_{X}{fd\mu}\leq\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{\mu(K_{i})}\\ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{\mu(K_{i})}&\leq I(f)\leq\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{\mu(K_{i})}\end{align*}$$그러면$$\left|I(f)-\int_{X}{fd\mu}\right|\leq\frac{\mu(K_{0})-\mu(K_{N})}{N}\leq\frac{\mu(\text{supp}(f))}{N}$$이고 \(\mu(\text{supp}(f))<\infty\)이며 \(N\)은 임의의 자연수이므로 \(\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}\)이다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley