[측도론] 7-1 라돈 측도와 Cc(X)에서의 양 선형범함수

[측도론] 7-1 라돈 측도와 Cc(X)에서의 양 선형범함수

여기서 $X$는 LCH(국소컴팩트 하우스도르프($T_{2}$)공간), $\mathcal{B}_{X}$는 $X$상의 보렐 $\sigma-$대수(열린집합에 의해 생성됨), $\mathcal{B}_{X}$상의 측도는 보렐측도, 닫힌집합들의 가산합집합은 $F_{\sigma}$집합, 열린집합들의 가산교집합은 $G_{\delta}$집합이다.  

$f\in C(X)$의 받침은 $\text{supp}(f)=\overline{\{x\,|\,f(x)=0\}}$이고 $C_{c}(X)=\{f\in C(X)\,|\,\text{supp}(f)\,\text{is compact}\}$이다. $C_{c}(X)$상의 선형범함수 $I$가 $f\geq0$일 때 $I(f)\geq0$이면 $I$를 양 선형범함수(positive linear functional)라고 한다.  

7.1 $I$가 $C_{c}(X)$에서 양 선형범함수이면, 모든 컴팩트집합 $K\subset X$에 대해 상수 $C_{k}$가 존재해서 $\text{supp}(f)\subset K$인 모든 $f\in C_{c}(X)$에 대해 $|I(f)|\leq C_{k}\|f\|_{u}$이다.  

증명: $f$가 실함수인 경우에 대해서 보이면 충분하다. 우리존의 보조정리(4.30)를 이용하여 한 컴팩트집합 $K$에 대해 $\phi\in C_{c}(X,\,[0,\,1])$를 선택해서 $\phi|_{K}=1$이라 하자. 그러면 $\text{supp}(f)\subset K$이면 $|f|\leq\|f\|_{u}\phi$이고 $\|f\|_{u}\phi-f\geq0$, $\|f\|_{u}\phi+f\geq0$이다. 따라서 $\|f\|_{u}I(\phi)-I(f)\geq0$, $\|f\|_{u}I(\phi)+I(f)\geq0$이므로 $|I(f)|\leq I(\phi)\|f\|_{u}$이다.  

$\mu$가 모든 컴팩트집합 $K\subset X$에 대해 $\mu(K)<\infty$인 $X$상의 보렐측도이면, 분명히 $C_{c}(X)\subset L^{1}(\mu)$이므로 사상 $\displaystyle f\,\mapsto\,\,\int_{X}{fd\mu}$는 $C_{c}(X)$에서의 양 선형범함수이다. $\mu$를 $X$에서의 보렐측도, $E\subset X$를 보렐집합이라 하자. $\mu$가 $E$에서 다음 식을 만족하면 $\mu$를 $E$에서 외정칙(outer regular)이라 하고 $$\mu(E)=\inf\{\mu(U)\,|\,E\subset U,\,U\text{open}\}$$ $\mu$가 $E$에서 다음 식을 만족하면 $\mu$를 $E$에서 내정칙(inner regular)이라고 한다. $$\mu(E)=\sup\{\mu(K)\,|\,K\,\text{compact}\}$$ $\mu$가 모든 보렐집합에서 외정칙이고 내정칙이면, $\mu$를 정칙(regular)이라고 한다.   

$X$상의 라돈측도(Radon measure)는 컴팩트집합에서 유한하고 보렐집합에서 외정칙, 열린집합에서 내정칙인 측도이다. 

$U$가 $X$에서 열린집합이고 $f\in C_{c}(X)$일 때 $f\prec U$는 $0\leq f\leq1$이고 $\text{supp}(f)\subset U$를 의미한다. 이것은 조건 $0\leq f\leq\chi_{U}$보다 강력하고, $\text{supp}(f)\subset\overline{U}$를 뜻한다. 

 

7.2 리즈 표현정리(Riesz Representation Theorem) 

$I$가 $C_{c}(X)$에서 양 선형범함수이면, $X$에서 유일한 라돈측도 $\mu$가 존재해서 모든 $f\in C_{c}(X)$에 대해 $\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}$이고 다음의 두 조건들을 만족한다. 

(*) 모든 열린집합 $U\subset X$에 대해 $\mu(U)=\sup\{I(f)\,|\,f\in C_{c}(X),\,f\prec U\}$

(#) 모든 컴팩트집합 $K\subset X$에 대해 $\mu(K)=\inf\{I(f)\,|\,f\in C_{c}(X),\,f\geq\chi_{K}\}$ 

증명: 유일성을 보이자. $\mu$가 라돈측도이고 모든 $f\in C_{c}(X)$에 대해 $\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}$, $U\subset X$가 열린집합이면, $f\prec U$일 때 $I(f)\leq\mu(U)$이다. $K\subset U$가 컴팩트집합이면, 우리존의 보조정리에 의해 $f\in C_{c}(X)$가 존재해서 $f\prec U$이고 $f|_{K}=1$이므로 $\displaystyle\mu(K)\leq\int_{X}{fd\mu}=I(f)$이다. $\mu$는 $U$에서 내정칙이므로 (*)를 만족하고 따라서 $\mu$는 열린집합에서 $I$에 의해 결정되고, 외정칙성에 의해 모든 보렐집합에서 $I$에 의해 결정된다. 이것으로 $\mu$가 유일함을 보였다. 

$\mu$가 존재함을 보이자. 열린집합 $U$에 대해 $$\mu(U)=\sup\{I(f)\,|\,f\in C_{c}(X),\,f\prec U\}$$ 로 정의하고 다음으로 임의의 $E\subset X$에 대해 $\mu^{*}(E)$를 다음과 같이 정의하자. $$\mu^{*}(E)=\inf\{\mu(U)\,|\,E\subset U,\,U\,\text{open}\}$$ 그러면 $U\subset V$일 때 분명히 $\mu(U)\leq\mu(V)$이고 따라서 $U$가 열린집합일 때 $\mu^{*}(U)=\mu(U)$이다. 

이 정리를 증명하기 위해 다음의 i, ii, iii, iv가 성립함을 보여야 한다. 

i. $\mu^{*}$는 외측도이다.  

ii. 모든 열린집합은 $\mu^{*}-$가측이다. 

카라테오도리 정리에 의해 모든 보렐집합은 $\mu^{*}-$가측이고 $\mu=\mu^{*}|_{\mathcal{B}_{X}}$는 보렐측도이다.($\because$ $U$가 열린집합이면 $\mu^{*}(U)=\mu(U)$) 측도 $\mu$는 외정칙이고 정의에 의해 (*)를 만족시킨다. 그 다음으로 iii가 성립함을 보인다.    

iii. $\mu$는 (#)를 만족시킨다. 

이것은 $\mu$가 컴팩트집합에서 유한하고 열린집합에서 내정칙임을 뜻한다. $U$가 열린집합이고 $\alpha<\mu(U)$이면 $f\in C_{c}(X)$를 선택해서 $f\prec U$, $I(f)>\alpha$가 되게 하고 $K=\text{supp}(f)$라 하자. $g\in C_{c}(X)$, $g\geq\chi_{K}$이면, $g-f\geq0$이고 따라서 $I(g)\geq I(f)>\alpha$이다. (#)에 의해 $\mu(K)>\alpha$이므로 $\mu$는 $U$에서 내정칙이다. 마지막으로 iv가 성립함을 보여 증명을 마무리한다.  

iv. 모든 $f\in C_{c}(X)$에 대하여 $\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}$이다. 

(i)의 증명: $\{U_{i}\}$가 열린집합열이고 $\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}$일 때, $\displaystyle\mu(U)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i})}$가 성립함을 보이면 충분하다. 임의의 $E\subset X$에 대하여 $$\mu^{*}(E)=\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i})}\,|\,U_{i}\,\text{open},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}\right\}$$ 라고 하면 이 식의 우변은 1.10에 의해 외측도이다. $\displaystyle U=\bigcup_{i=1}^{\infty}{U_{i}}$, $f\in C_{c}(X)$, $f\prec U$일 때 $K=\text{supp}(f)$라 하자. $K$는 컴팩트이므로 적당한 $n$에 대해 $\displaystyle K\subset\bigcup_{i=1}^{n}{U_{i}}$이고 4.37에 의해 $g_{1},\,...,\,g_{n}\in C_{c}(X)$이 존재해서 $g_{i}\prec U_{i}$이고 $K$에서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{g_{i}}=1$이다. $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{fg_{i}}$, $fg_{i}\prec U_{i}$이므로 $$I(f)\leq\sum_{i=1}^{n}{I(fg_{i})}\leq\sum_{i=1}^{n}{\mu(U_{i})}\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i})}$$ 이고 임의의 $f\prec U$에 대해 성립하므로 $\displaystyle\mu(U)\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(U_{i})}$이다.   

(ii)의 증명: $U$가 열린집합이고 $E\subset X$, $\mu^{*}(E)<\infty$이면, $\mu^{*}(E)\geq\mu^{*}(E\cap U)+\mu^{*}(E\cap U^{c})$가 성립함을 보여야 한다. 먼저 $E$를 열린집합이라고 하면 $E\cap U$는 열린집합이므로 $\epsilon>0$에 대해 $f\in C_{c}(X)$가 존재해서 $f\prec E\cap U$이고 $I(f)>\mu(E\cap U)-\epsilon$이다. 또한 $E-(\text{supp}(f))$는 열린집합이므로 $g\in C_{c}(X)$가 존재해서 $g\prec E-(\text{supp}(f))$, $I(g)>\mu(E-\text{supp}(f))-\epsilon$이다. $f+g\prec E$이므로 $$\begin{align*}\mu(E)&\geq I(f)+I(g)\\&>\mu(E\cap U)+\mu(E-\text{supp}(f))-2\epsilon\\&\geq\mu^{*}(E\cap U)+\mu^{*}(E-U)-2\epsilon\end{align*}$$ 이고 이 부등식에서 $\epsilon\,\rightarrow\,0$이라고 하면 된다. 

일반적인 경우, $\mu^{*}(E)<\infty$이면 열린집합 $E\subset V$가 존재해서 $\mu(V)<\mu^{*}(E)+\epsilon$이고 따라서 다음의 부등식이 성립하며 이때 $\epsilon\,\rightarrow\,0$이라고 하면 된다. $$\begin{align*}\mu^{*}(E)+\epsilon&>\mu(V)\\&\geq\mu^{*}(V\cap U)+\mu^{*}(V-U)\\&\geq\mu^{*}(E\cap U)+\mu^{*}(E-U)\end{align*}$$    

(iii)의 증명: $K$가 컴팩트 $f\in C_{c}(X)$, $f\geq\chi_{K}$일 때 $U_{\epsilon}=\{x\,|\,f(x)>1-\epsilon\}$이라 하면 $U_{\epsilon}$은 열린집합이고 $g\prec U_{\epsilon}$이면 $\displaystyle\frac{1}{1-\epsilon}f-g\geq0$이고 $\displaystyle I(g)\leq\frac{1}{1-\epsilon}I(f)$이다. 따라서 $\displaystyle\mu(K)\leq\mu(U_{\epsilon})\leq\frac{1}{1-\epsilon}I(f)$이고 $\epsilon\,\rightarrow\,0$이면 $\mu(K)\leq I(f)$이다. 반면에 임의의 열린집합 $K\subset U$에 대해 우리존의 보조정리(4.30)에 의해 $f\in C_{c}(X)$가 존재해서 $f\geq\chi_{K}$이고 $f\prec U$이므로 $I(f)\leq\mu(U)$이다. $\mu$는 $K$에서 외정칙이므로 (#)이 성립한다.   

(iv)의 증명: $f\in C_{c}(X)$일 때 $\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}$가 성립함을 보이자. $n\in\mathbb{N}$, $1\leq i\leq N$에 대하여 $\displaystyle K_{i}=\left\{x\,|\,f(x)\geq\frac{i}{N}\right\}$, $K_{0}=\text{supp}(f)$라 하고 $f_{1},\,...,\,f_{N}\in C_{c}(X)$를 다음과 같이 정의하면 $$f_{i}(x)=\begin{cases}0&\,(x\notin K_{i-1})\\f(x)-\frac{i-1}{N}&\,(x\in K_{i-1}-K_{i})\\ \frac{1}{N}&\,(x\in K_{i})\end{cases}$$ $\displaystyle f_{i}=\min\left\{\max\left\{f-\frac{i-1}{N},\,0\right\},\,\frac{1}{N}\right\}$이고 $\displaystyle\frac{1}{N}\chi_{K_{i}}\leq f_{i}\leq\frac{1}{N}\chi_{K_{i-1}}$이므로 다음의 부등식이 성립한다. $$\frac{1}{N}\mu(K_{i})\leq\int_{X}{f_{i}d\mu}\leq\frac{1}{N}\mu(K_{i-1})$$ 또한 $U$가 $K_{i-1}$을 포함하는 열린집합이면 $Nf_{i}\prec U$이고 $\displaystyle I(f_{i})\leq\frac{1}{N}\mu(U)$이므로 (#)과 외정칙성에 의해 $$\frac{1}{N}\mu(K_{i})\leq I(f_{i})\leq\frac{1}{N}\mu(K_{i-1})$$ 이고 $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{N}{f_{i}}$이므로 다음의 두 부등식이 성립한다. $$\begin{align*}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{\mu(K_{i})}&\leq\int_{X}{fd\mu}\leq\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{\mu(K_{i})}\\ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{\mu(K_{i})}&\leq I(f)\leq\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{\mu(K_{i})}\end{align*}$$ 그러면 $$\left|I(f)-\int_{X}{fd\mu}\right|\leq\frac{\mu(K_{0})-\mu(K_{N})}{N}\leq\frac{\mu(\text{supp}(f))}{N}$$ 이고 $\mu(\text{supp}(f))<\infty$이며 $N$은 임의의 자연수이므로 $\displaystyle I(f)=\int_{X}{fd\mu}$이다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley